1994-11 1995학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

1995학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1994년 11월 23일 (수)에 시행되었습니다.

1995학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

시행 : 1994.11.23(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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이차방정식 $2x^{2} -4x-1=0$의 두 근을 $\alpha $, $\beta $라 할 때, $\alpha^{3} + \beta^{3}$의 값은?

① $1$

② $3$

③ $4$

④ $8$

⑤ $11$

지수방정식 $3^{x+2} =96$의 근을 $\alpha $라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① $0 < \alpha < 1$

② $1 < \alpha < 2$

③ $2 < \alpha < 3$

④ $3 < \alpha < 4$

⑤ $4 < \alpha < 5$

이차정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $A= \begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$일 때, 행렬 $\dfrac{1}{3} AB-BA$는?

① $\begin{pmatrix}-2&-4\\1&2\end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix}-2&8\\2&-4\end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix}-4&-8\\2&4\end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix}-6&-12\\3&6\end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi} (1- \cos^3 x ) \cos x \sin x dx$의 값은?

① $0$

② $- \dfrac{1}{5}$

③ $- \dfrac{2}{5}$

④ $- \dfrac{3}{5}$

⑤ $- \dfrac{4}{5}$

전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? (단, $U \ne \phi$)

① $A \cup B=B$

② $A \cap B=A$

③ $(A \cap B)^{c} =B^{c}$

④ $B^{c} \subset A^{c}$

⑤ $A-B= \phi$

$f(x)= 2x-1$이다. 함수 $g(x)$는 모든 함수 $h(x)$에 대하여 $(h \circ g \circ f)(x) = h(x)$를 만족시킨다. $g(3)$의 값은? (단, $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$는 실수 전체의 집합 $R$에서 $R$로의 함수이다.)

① $-2$

② $-1$

③ $0$

④ $1$

⑤ $2$

아래 그림과 같이 반원 위에 $7$개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수는?

① $34$

② $33$

③ $32$

④ $31$

⑤ $30$

다음 식의 분모를 $0$으로 만들지 않는 모든 실수 $x$에 대하여 $$\dfrac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-10)}= \dfrac{a_{1}}{x-1} + \dfrac{a_{2}}{x-2} + \cdots + \dfrac{a_{10}}{x-10}$$ 이 성립할 때, $a_{1} +a_{2} + \cdots +a_{10}$의 값은?

① $0$

② $-1$

③ $1$

④ $-10$

⑤ $10$

$x$와 $y$는 $(x+y)(x-y) \ne 0$인 실수이고 $$\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}} =- \dfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-y}}$$ 가 성립할 때, 점 $(x, y)$가 존재하는 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면? (단, 점선은 제외)

함수 $f(x)$는 $x=0$에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 다음 [보기]중 $x=0$에서 미분가능한 함수를 모두 고르면?

보기

ㄱ. $y = x f(x)$
ㄴ. $y = x^2 f(x)$
ㄷ. $y = \dfrac{1}{1+x f(x)}$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

원점을 출발하여 수직선 위를 $7$초 동안 움직이는 점 $P$의 $t$초 후의 속도 $v(t)$가 다음 그림과 같을 때, [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. 점 $P$는 출발하고 나서 $1$초 동안 멈춘 적이 있었다.
ㄴ. 점 $P$는 움직이는 동안 방향을 $4$번 바꿨다.
ㄷ. 점 $P$는 출발하고 나서 $4$초 후 출발점에 있었다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

폐구간 $[0, 1]$에서 정의된 모든 확률밀도함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 다음 중 확률밀도함수인 것은?

① $f(x)-g(x)$

② $f(x)+g(x)$

③ $\dfrac{1}{2} \left\{ f(x)-g(x) \right\}$

④ $\dfrac{1}{3} \left\{ 2f(x)+g(x) \right\}$

⑤ $2f(x)-g(x)$

$|z|=1$인 모든 복소수 $z$에 대하여 $|z-\alpha |$의 값을 일정하게 만드는 복소수 $\alpha $의 개수는?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ 무한히 많다.

다음 순서도에 의하여 인쇄되는 $m$, $n$, $k$의 값을 순서대로 적으면?

① $0$, $2$, $5$

② $0$, $2$, $6$

③ $0$, $5$, $3$

④ $2$, $3$, $6$

⑤ $2$, $3$, $5$

좌표공간에 두 점 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$이 있고, 점 $P(x, y, z)$는 $\triangle OAP$의 넓이가 $2$가 되도록 움직인다. $0\le x\le 1$일 때, 점 $P$의 자취가 만드는 도형을 평면 위에 펼쳤을 때의 넓이는?

① $16\pi$

② $8 \pi$

③ $5 \pi$

④ $2 \pi$

⑤ $\pi$

$\angle C$가 직각이고 $\angle B$의 크기가 $\dfrac{\pi}{3}$인 직각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $D$를 잡고, $\angle BAD$의 크기를 $\theta $라 할 때, $\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}}$를 $\theta $의 함수로 나타내면?

① $\sin \theta $

② $\dfrac{\sin \theta}{1+ \cos \theta}$

③ $\dfrac{2\sin \theta}{1+ 2 \sin \theta}$

④ $\dfrac{2\sin \theta}{\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta}$

⑤ $\dfrac{1-\cos \theta}{2}$

오른쪽 그림과 같이 원점을 출발하여 나선형의 경로를 따라 일정한 속력으로 움직이는 물체가 있다. 이 물체의 시각 $t$에서의 $x$좌표를 $x(t)$라 할 때, $t$와 $x(t)$ 사이의 관계를 나타낸 그래프의 개형은?

아래 그림은 함수 $y = f(x)$의 그래프이다. $x$에 관한 방정식 $f(f(x+2) )=4$의 서로 다른 실근의 개수와 합을 순서대로 적으면? (단, $x < 2$ 또는 $x > 19$일 때, $f(x) < 0$이다.)

① $2$, $20$

② $2$, $22$

③ $3$, $20$

④ $4$, $42$

⑤ $4$, $50$

자연수 $n$을 $n= 2^{p} \cdot k$ ($p$는 음이 아닌 정수, $k$는 홀수)로 나타냈을 때, $f(n) = p$라 하자. 예를 들면, $f(12) =2$이다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $n$이 홀수이면 $f(n)=0$이다.
ㄴ. $f(8) < f(24)$이다.
ㄷ. $f(n) =3$인 자연수 $n$은 무한히 많다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

집합 $U = \left\{1, 2, 3, \cdots, 100 \right\}$이다. 다음 $U$의 부분집합 $A$ 중 아래 조건 ㈎와 ㈏를 만족시키며 원소의 개수가 가장 적은 것은?

㈎ $3\in A$
㈏ $m$, $n \in A$이고 $m+n \in U$이면, $m+n \in A$이다.

① $A = \left\{ 3, 9, 15, 21, \cdots , 99 \right\}$

② $A = \left\{3, 6, 9, 12, \cdots , 99 \right\}$

③ $A = \left\{ 3, 4, 5, 6, \cdots , 100 \right\}$

④ $A = \left\{1, 3, 5, 7, \cdots , 99 \right\}$

⑤ $A = \left\{ 1, 2, 3, 4, \cdots , 100 \right\}$

그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$가 있다. $\overline{AB} = \overline{AD} = 1$, $\overline{BC} = 2$, $\angle A$와 $\angle B$의 크기는 $\dfrac{\pi}{2}$이다. 윗변 $AD$에 임의의 점 $P$를 잡아 $\overline{PB} = x$, $\overline{PC} = y$라 할 때, 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $xy\ge 2$이다.
ㄴ. $xy=2$이면 $\triangle PBC$는 직각삼각형이다.
ㄷ. $xy\le \sqrt{5}$이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이의 관계인 코사인법칙을 $\triangle ABC$에서 $\angle A$가 둔각인 경우에 대하여 증명한 것이다.

증명

오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 $\triangle ABC$를 좌표평면의 원점에 꼭지점 $A$가 놓이도록 하자.
꼭지점 $C$의 좌표를 $(x, y)$라 하면
$x = \fbox{　㈎　}$, $y = \fbox{　㈏　}$
이므로 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다.
$a^2 = \left(\fbox{　㈐　}\right)^2 + y^2= b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $b \cos A$, $b \sin A$, $c+x$

② $b \cos A$, $b \sin A$, $c-x$

③ $b \cos A$, $- b \sin A$, $c+x$

④ $- b \cos A$, $-b \sin A$, $c-x$

⑤ $- b \cos A$, $- b \sin A$, $c+x$

세 개의 실근을 갖는 삼차방정식 $x^{3} +ax^{2} +bx+c=0$의 세 근을 $\alpha $, $\beta $, $\gamma $라 하자. 다음은 세 근의 절대값 중 적어도 하나는 $\dfrac{|a|}{3}$보다 크거나 같음을 증명한 것이다.

증명

결론을 부정하여 $\fbox{　㈎　}$ 가정하면
$| \alpha | < \dfrac{|a|}{3}$, $| \beta | < \dfrac{|a|}{3}$, $| \gamma | < \dfrac{|a|}{3}$
이다. 근과 계수와의 관계에서
$a=\fbox{　㈏　}$
이므로
$|a|\le | \alpha + \beta |+| \gamma |$
$\phantom{|a|}\le \fbox{　㈐　}$
$\phantom{|a|}< \dfrac{|a|}{3} + \dfrac{|a|}{3} + \dfrac{|a|}{3} =|a|$
이다. 그런데 이것은 모순이므로 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 어떤 근의 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 작다고,
$-( \alpha + \beta + \gamma )$,
$| \alpha |+| \beta |+| \gamma |$

② 어떤 근의 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 작거나 같다고,
$\alpha + \beta + \gamma $,
$| \alpha |+| \beta |+| \gamma |$

③ 모든 근의 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 작다고,
$\alpha + \beta + \gamma $,
$| \alpha + \beta + \gamma |$

④ 모든 근의 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 작다고,
$-( \alpha + \beta + \gamma )$,
$| \alpha |+| \beta |+| \gamma |$

⑤ 모든 근의 절대값이 $\dfrac{|a|}{3}$보다 작거나 같다고,
$\alpha + \beta + \gamma $,
$| \alpha + \beta + \gamma |$

다음은 조화평균 $H$에 관한 어떤 수학적 사실을 증명한 것이다.

증명

양수 $a$, $b$, $H$에 대하여 적당한 실수 $r$가 존재하여
$a=H+ \dfrac{a}{r}$, $H=b+ \dfrac{b}{r}$ $\cdots$ (A)
가 성립한다고 하자. 그러면 $a \ne b$이고
$\dfrac{a-H}{a} =\fbox{　㈎　}$ $\cdots$ (B)
이므로 $H=\fbox{　㈏　}$이다.
역으로 $a \ne b$인 양수 $a$, $b$에 대하여
$H=\fbox{　㈏　}$이면 식 (B)가 성립하고 $\dfrac{a-H}{a} \ne 0$이다.
(B)에서 $\dfrac{a-H}{a} = \dfrac{1}{r}$이라 놓으면 식 (A)가 성립한다.
따라서, 양수 $a$, $b$, $H$에 대하여 적당한 실수 $r$가 존재하여
식 (A)가 성립하기 위한 $\fbox{　㈐　}$조건은
$a \ne b$이고 $H=\fbox{　㈏　}$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $\dfrac{H-b}{b}$, $\dfrac{2ab}{a+b}$, 필요충분

② $\dfrac{H-b}{b}$, $\dfrac{ab}{a+b}$, 필요충분

③ $\dfrac{H-b}{b}$, $\dfrac{2ab}{a+b}$, 충분

④ $\dfrac{b-H}{b}$, $\dfrac{2ab}{a+b}$, 필요

⑤ $\dfrac{b-H}{b}$, $\dfrac{ab}{a+b}$, 충분

모든 자연수 $n$에 대하여 다항식 $f_{n} (x)$는 다음 두 성질 ㈎와 ㈏를 갖는다.

㈎ $f_{1} (x) = x^2$
㈏ $f_{n+1} (x) = f_{n} (x) + {f_n}^{\prime} (x)$

$f_{25} (x)$의 상수항은?

① $548$

② $550$

③ $552$

④ $554$

⑤ $556$

좌표평면 위에 두 점 $O(0, 0)$, $A(2, 0)$과 직선 $y =2$ 위를 움직이는 점 $P(t, 2)$가 있다. 선분 $AP$와 직선 $y = \dfrac{1}{2} x$가 만나는 점을 $Q$라 하자. $\triangle QOA$의 넓이가 $\triangle POA$의 넓이의 $\dfrac{1}{3}$일 때, $t$의 값을 $t_1$, $\dfrac{1}{2}$일 때 $t$의 값을 $t_2$, $\cdots $, $\dfrac{n}{n+2}$일 때 $t$의 값을 $t_n$이라 하면 $\displaystyle\lim_{n\to \infty} t_n$의 값은?

① $0$

② $1$

③ $2$

④ $3$

⑤ $4$

함수 $f(x)=\log_{9} (5-x)+\log_{3} (x+4)$의 최대값은?

① $\dfrac{7}{2}$

② $4$

③ $\dfrac{2}{5} +\log_{3} 4$

④ $\dfrac{3}{2} +\log_{3} 2$

⑤ $4+\log_{3} 6$

좌표평면 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$가 다음 두 조건 ㈎와 ㈏를 만족시킨다.

㈎ 두 점 $P$와 $Q$는 직선 $y =x$에 대하여 대칭이다.
㈏ $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR}$ (단, $O$는 원점)

점 $P$가 원점으로 하는 단위원 위를 움직일 때, 점 $R$는 어떤 도형 위를 움직이는가?

① 점

② 타원

③ 선분

④ 쌍곡선

⑤ 평행사변형

어떤 산업에서 노동의 투입량을 $x$, 자본의 투입량을 $y$라 할 때, 그 산업의 생산량 $z$는 다음과 같다.
$z=2x^{\alpha } y^{1- \alpha }$ ($\alpha $는 $0 < \alpha < 1$인 상수)
자료에 의하면 $1993$년도의 노동 및 자본의 투입량은 $1980$년도 보다 각각 $4$배와 $2$배이고, $1993$년도 산업생산량은 $1980$년도 산업생산량이 $2.5$배이다. 이 사실로부터 상수 $\alpha $의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하면? (단, $\log_{10} 2=0.30$)

① $0.50$

② $0.33$

③ $0.25$

④ $0.20$

⑤ $0.10$

사각형 모양의 철판 세 장을 구입하여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일러를 제작하려 한다. 철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를 임의로 정해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 $1\text{m}^3$당 $1$만원이다. 보일러의 부피가 $64\text{m}^3$가 되도록 만들기 위해 필요한 철판을 구입하는데 드는 최소 비용은?

① $110만원$

② $104만원$

③ $100만원$

④ $96만원$

⑤ $90만원$