2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [선택] [기하]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [선택] [기하]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com에 있습니다.

23. 좌표공간의 두 점 $A(a, -2, 6)$, $B(9, 2, b)$에 대하여 선분 $AB$의 중점의 좌표가 $(4, 0, 7)$일 때, $a + b$의 값은? [2점]

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

24. 타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{6}= 1$ 위의 점 $\left(\sqrt{3}, -2\right)$에서의 접선의 기울기는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]

① $\sqrt{3}$
② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

25. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$\left|\overrightarrow{a}\right| = \sqrt{11},\,\,\,\,\left|\overrightarrow{b}\right| = 3,\,\,\,\,\left|2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right| = \sqrt{17}$$일 때, $\left|\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right|$의 값은? [3점]

① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
② $\sqrt{2}$
③ $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
④ $2\sqrt{2}$
⑤ $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

26. 좌표공간에 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $A$, $B$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $A^{\prime}$, $B^{\prime}$이라 할 때, $$\overline{AB} =\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 6$$이다. 선분 $AB$의 중점 $M$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $M^{\prime}$이라 할 때, $$\overline{PM^{\prime}}\, ⊥\, \overline{A^{\prime}B^{\prime}}, \,\,\,\,\overline{PM^{\prime}} = 6$$이 되도록 평면 $\alpha$ 위에 점 $P$를 잡는다. 삼각형 $A^{\prime}B^{\prime}P$의 평면 $ABP$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 선분 $PM$의 길이는? [3점]

① $12$
② $15$
③ $18$
④ $21$
⑤ $24$

27. 초점이 $F$인 포물선 $y^{2} = 8x$ 위의 한 점 $A$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $B$라 하고, 직선 $BF$와 포물선이 만나는 두 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\overline{BC} =\overline{CD}$일 때, 삼각형 $ABD$의 넓이는? (단, $\overline{CF} <\overline{DF}$이고, 점 $A$는 원점이 아니다.) [3점]

① $100\sqrt{2}$
② $104\sqrt{2}$
③ $108\sqrt{2}$
④ $112\sqrt{2}$
⑤ $116\sqrt{2}$

28. 그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 위에 $\overline{AB} = 18$인 두 점 $A$, $B$가 있다. 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 $C_{1}$이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $AB$를 장축으로 하고 두 점 $F$, $F^{\prime}$을 초점으로 하는 타원 $C_{2}$가 평면 $\beta$ 위에 있다. 원 $C_{1}$ 위의 한 점 $P$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, $\overline{HF^{\prime}} <\overline{HF}$이고 $\angle HFF^{\prime}= \dfrac{\pi}{6}$이다. 직선 $HF$와 타원 $C_{2}$가 만나는 점 중 점 $H$와 가까운 점을 $Q$라 하면, $\overline{FH} <\overline{FQ}$이다. 점 $H$를 중심으로 하고 점 $Q$를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 $4$이고 직선 $AB$에 접한다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값은? (단, 점 $P$는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]

① $\dfrac{2\sqrt{66}}{33}$
② $\dfrac{4\sqrt{69}}{69}$
③ $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
④ $\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$
⑤ $\dfrac{2\sqrt{78}}{39}$

29. 양수 $c$에 대하여 두 점 $F(c, 0)$, $F^{\prime}(-c, 0)$을 초점으로 하고, 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $P$, $Q$가 존재하도록 하는 모든 $c$의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 점 $P$는 제$1$사분면 위에 있고, 점 $Q$는 직선 $PF^{\prime}$ 위에 있다.
(나) 삼각형 $PF^{\prime}F$는 이등변삼각형이다.
(다) 삼각형 $PQF$의 둘레의 길이는 $28$이다.

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $ABC$가 있다. 선분 $AB$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $D$, 선분 $BC$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $E$, 선분 $CA$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $F$ 라 하자. 네 점 $P$, $Q$, $R$, $X$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left|\overrightarrow{DP}\right|= \left|\overrightarrow{EQ}\right|= \left|\overrightarrow{FR}\right|= 1$
(나) $\overrightarrow{AX} =\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{QC} + \overrightarrow{RA}$

$\left|\overrightarrow{AX}\right|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $PQR$의 넓이를 $S$라 하자. $16S^{2}$의 값을 구하시오. [4점]

2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [선택] [미적분]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [선택] [미적분]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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23. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$의 값은? [2점]

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{3}{5}$
④ $\dfrac{4}{5}$
⑤ $1$

24. 매개변수 $t$ ($t > 0$)으로 나타내어진 곡선 $$x = \ln(t^{3} +1),\,\,\,\,y = \sin\pi t$$에서 $t = 1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} \pi$
② $- \dfrac{2}{3} \pi$
③ $-\pi$
④ $- \dfrac{4}{3} \pi$
⑤ $- \dfrac{5}{3} \pi$

25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이고, $g^{\prime}(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$에 대하여 $$\displaystyle\int_{1}^{a}\dfrac{1}{g^{\prime}(f(x))f(x)}dx = 2\ln a+\ln(a+1)-\ln2$$이고 $f(1) = 8$일 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $36$
② $40$
③ $44$
④ $48$
⑤ $52$

26. 그림과 같이 곡선 $y =\sqrt{(1-2x)\cos x}$ ($\dfrac{3}{4} \pi \le x \le \dfrac{5}{4} \pi$)와 $x$축 및 두 직선 $x = \dfrac{3}{4} \pi$, $x = \dfrac{5}{4} \pi$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① $\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
② $\sqrt{2}\pi -1$
③ $2\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
④ $2\sqrt{2}\pi -1$
⑤ $2\sqrt{2}\pi$

27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y = \dfrac{1}{e^{x}} +e^{t}$에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a) = -e\sqrt{e}$를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f^{\prime}(a)$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} e\sqrt{e}$
② $- \dfrac{1}{2} e\sqrt{e}$
③ $- \dfrac{2}{3} e\sqrt{e}$
④ $- \dfrac{5}{6} e\sqrt{e}$
⑤ $-e\sqrt{e}$

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^{2}}$이다. 모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t)$, $h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 $$2g(t) + h(t) = k\,\,\,\,(\text{$k$는 상수})$$를 만족시킨다. $\displaystyle\int_{0}^{7}f(x)dx = e^{4} -1$일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{3}{2} e^{5}$
② $\dfrac{4}{3} e^{7}$
③ $\dfrac{5}{4} e^{9}$
④ $\dfrac{6}{5} e^{11}$
⑤ $\dfrac{7}{6} e^{13}$

29. 첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 각각 수렴하고 $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} =\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\right) \times\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\right),\,\,\,\,3\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|= 7\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|$$이 성립한다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_{2n- 1} +b_{3n+ 1}}{b_{n}} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime}(x)$가 $$f^{\prime}(x) = |\sin x|\cos x$$이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y = g(x)$라 하자. 함수 $$h(x) =\displaystyle\int_{0}^{x}\left\{f(t) -g(t)\right\}dt$$가 $x = a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_{n}$이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_{6} -a_{2})$의 값을 구하시오. [4점]

2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [선택] [확률과 통계]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [선택] [확률과 통계]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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23. 5개의 문자 $x$, $x$, $y$, $y$, $z$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]

① $10$
② $20$
③ $30$
④ $40$
⑤ $50$

24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이고 $$P(A\cap B) = \dfrac{1}{4},\,\,\,\,P(A^{c} ) = 2P(A)$$일 때, $P(B)$의 값은? (단, $A^{c}$은 $A$의 여사건이다.) [3점]

① $\dfrac{3}{8}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{5}{8}$
④ $\dfrac{3}{4}$
⑤ $\dfrac{7}{8}$

25. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 이 하나씩 적혀 있는 6 장의 카드가 있다. 이 6 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 10 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]

① $\dfrac{8}{15}$
② $\dfrac{19}{30}$
③ $\dfrac{11}{15}$
④ $\dfrac{5}{6}$
⑤ $\dfrac{14}{15}$

26. 4개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $Y$를 $$Y =\begin{cases}X&(\text{$X$가 $0$ 또는 $1$의 값을 가지는 경우})\\2&(\text{$X$가 $2$ 이상의 값을 가지는 경우})\end{cases}$$라 하자. $E(Y)$의 값은? [3점]

① $\dfrac{25}{16}$
② $\dfrac{13}{8}$
③ $\dfrac{27}{16}$
④ $\dfrac{7}{4}$
⑤ $\dfrac{29}{16}$

27. 정규분포 $N(m, 5^{2})$을 따르는 모집단에서 크기가 49인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\overline{x}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a \le m\le \dfrac{6}{5} a$이다. $\overline{x}$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z |\le 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]

① $15.2$
② $15.4$
③ $15.6$
④ $15.8$
⑤ $16.0$

28. 하나의 주머니와 두 상자 A, B가 있다. 주머니에는 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있고, 상자 A에는 흰 공과 검은 공이 각각 8개 이상 들어 있고, 상자 B는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 A, B를 사용하여 다음 시행을 한다.

주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어
카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
확인한 수가 1이면
상자 A에 있는 흰 공 1개를 상자 B에 넣고,
확인한 수가 2 또는 3 이면
상자 A에 있는 흰 공 1개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣고,
확인한 수가 4이면
상자 A에 있는 흰 공 2개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣는다.

이 시행을 4번 반복한 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 8일 때, 상자 B에 들어 있는 검은 공의 개수가 2일 확률은? [4점]

① $\dfrac{3}{70}$
② $\dfrac{2}{35}$
③ $\dfrac{1}{14}$
④ $\dfrac{3}{35}$
⑤ $\dfrac{1}{10}$

29. 다음 조건을 만족시키는 6 이하의 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. [4점]

$a \le c \le d$이고 $b \le c \le d$이다.

30. 양수 $t$에 대하여 확률변수 $X$가 정규분포 $N(1, t^{2})$을 따른다. $$P(X \le 5t)\ge \dfrac{1}{2}$$이 되도록 하는 모든 양수 $t$에 대하여 $P(t^{2} -t +1 \le X \le t^{2} + t+1)$의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$라 하자. $1000\times k$의 값을 구하시오. [4점]

$z$	$P(0 \le Z \le z)$
$0.6$	$0.226$
$0.8$	$0.288$
$1.0$	$0.341$
$1.2$	$0.385$
$1.4$	$0.419$

2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [공통]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [공통]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
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1. $\sqrt[3]{24} \times 3^{2\over3}$의 값은? [2점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

2. 함수 $f(x) = 2x^{3} -5x^{2} +3$에 대하여 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(2+h) -f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

3. $\dfrac{3}{2} \pi < \theta < 2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin(-\theta) = \dfrac{1}{3}$일 때,
$\tan\theta$의 값은? [3점]

① $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
② $-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
③ $- \dfrac{1}{4}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

4. 함수 $f(x) =\begin{cases}3x-a&(x < 2)\\x^{2} +a&(x \ge 2)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

5. 다항함수 $f(x)$가 $$f^{\prime}(x) = 3x(x-2),\,\,\,\,f(1) = 6$$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

6. 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하자. $$S_{4} -S_{2} = 3a_{4},\,\,\,\,a_{5} = \dfrac{3}{4}$$일 때, $a_{1} +a_{2}$의 값은? [3점]

① $27$
② $24$
③ $21$
④ $18$
⑤ $15$

7. 함수 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3} -2x^{2} -12x+4$가 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta -\alpha$의 값은? (단, $\alpha$와 $\beta$는 상수이다.) [3점]

① $-4$
② $-1$
③ $2$
④ $5$
⑤ $8$

8. 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$xf(x) -f(x) = 3x^{4} -3x$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\int_{- 2}^{2}f(x)dx$의 값은? [3점]

① $12$
② $16$
③ $20$
④ $24$
⑤ $28$

9. 수직선 위의 두 점 $P(\log_{5}3)$, $Q(\log_{5}12)$에 대하여 선분 $PQ$를 $m : (1-m)$으로 내분하는 점의 좌표가 $1$일 때, $4^{m}$의 값은? (단, $m$은 $0 < m< 1$인 상수이다.) [4점]

① $\dfrac{7}{6}$
② $\dfrac{4}{3}$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{5}{3}$
⑤ $\dfrac{11}{6}$

10. 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = t^{2} - 6t+5,\,\,\,\,v_{2}(t) = 2t-7$$이다. 시각 $t$에서의 두 점 $P$, $Q$ 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$는 구간 $\left[0, a\right]$에서 증가하고, 구간 $\left[a, b\right]$에서 감소하고, 구간 $\left[b, \infty\right)$에서 증가한다. 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $Q$가 움직인 거리는? (단, $0 < a < b$) [4점]

① $\dfrac{15}{2}$
② $\dfrac{17}{2}$
③ $\dfrac{19}{2}$
④ $\dfrac{21}{2}$
⑤ $\dfrac{23}{2}$

11. 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$|a_{6}|= a_{8},\,\,\,\,\displaystyle\sum_{k = 1}^{5}\dfrac{1}{a_{k}a_{k+1}}= \dfrac{5}{96}$$일 때, $\displaystyle\sum_{k = 1}^{15}a_{k}$의 값은? [4점]

① $60$
② $65$
③ $70$
④ $75$
⑤ $80$


12. 함수 $f(x) = \dfrac{1}{9} x(x-6)(x-9)$와 실수 $t$ ($0 < t < 6$)에 대하여 함수 $g(x)$는 $$g(x) =\begin{cases}f(x)&(x < t)\\-(x-t) +f(t)&(x \ge t)\end{cases}$$이다. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

① $\dfrac{125}{4}$
② $\dfrac{127}{4}$
③ $\dfrac{129}{4}$
④ $\dfrac{131}{4}$
⑤ $\dfrac{133}{4}$

13. 그림과 같이 $$\overline{AB} = 3,\,\,\,\,\overline{BC} = \sqrt{13},\,\,\,\,\overline{AD}\times \overline{CD}= 9,\,\,\,\,\angle BAC = \dfrac{\pi}{3}$$인 사각형 $ABCD$가 있다. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S_{1}$, 삼각형 $ACD$의 넓이를 $S_{2}$라 하고, 삼각형 $ACD$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자. $S_{2} = \dfrac{5}{6} S_{1}$일 때, $\dfrac{R}{\sin(\angle ADC)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{54}{25}$
② $\dfrac{117}{50}$
③ $\dfrac{63}{25}$
④ $\dfrac{27}{10}$
⑤ $\dfrac{72}{25}$

14. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) =\begin{cases}2x^{3} - 6x +1&(x \le 2)\\a(x-2)(x-b)+9&(x > 2)\end{cases}$$이다. 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. $$g(k) + \displaystyle\lim_{t \to k-}g(t) + \displaystyle\lim_{t \to k+}g(t) = 9$$를 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값은? [4점]

① $51$
② $52$
③ $53$
④ $54$
⑤ $55$


15. 첫째항이 자연수인 수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} =\begin{cases}2^{a_{n}}&(\text{$a_{n}$이 홀수인 경우})\\\dfrac{1}{2}a_{n}&(\text{$a_{n}$이 짝수인 경우})\end{cases}$$를 만족시킬 때, $a_{6} +a_{7} = 3$이 되도록 하는 모든 $a_{1}$의 값의 합은? [4점]

① $139$
② $146$
③ $153$
④ $160$
⑤ $167$


16. 방정식 $3^{x - 8} =\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x}$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

17. 함수 $f(x) = (x+1)(x^{2} +3)$에 대하여 $f^{\prime}(1)$의 값을 구하시오.

18. 두 수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_{k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2b_{k} -1),\,\,\,\,\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(3a_{k} +b_{k}) = 33$$일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}b_{k}$의 값을 구하시오. [3점]

19. 함수 $f(x) = \sin \dfrac{\pi}{4} x$라 할 때, $0 < x < 16$에서 부등식 $$f(2+x)f(2-x) < \dfrac{1}{4}$$을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하시오. [3점]

20. $a >\sqrt{2}$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

$f(x) = -x^{3} +ax^{2} +2x$

라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $O(0, 0)$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $O$가 아닌 점을 $A$라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $A$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $B$라 하자. 점 $A$가 선분 $OB$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{OA} \times \overline{AB}$의 값을 구하시오. [4점]

21. 양수 $a$에 대하여 $x \ge -1$에서 정의된 함수 $f(x)$는 $$f(x) =\begin{cases}-x^{2} +6x&(-1 \le x < 6)\\a\log_{4}(x -5)&(x \ge 6)\end{cases}$$이다. $t \ge 0$인 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $\left[t-1, t+1\right]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 구간 $\left[0, \infty\right)$에서 함수 $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]

22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(x)$에 대하여 $$f(k -1)f(k +1) < 0$$을 만족시키는 정수 $k$는 존재하지 않는다.

$f^{\prime}\left(- \dfrac{1}{4}\right) = - \dfrac{1}{4}$, $f^{\prime}\left(\dfrac{1}{4}\right) < 0$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [예체능계]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [예체능계]

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. $(1+2 i )^{2} (1-2 i )^{2}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $5$
② $9$
③ $15$
④ $25$
⑤ $50$

2. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$x+y = \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}},\,\,\,\,x-y = \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $2$
⑤ $\sqrt{6}$

3. 다항식 $f (x)$를 $x^{2} - 2 x + 3$으로 나누었을 때의 몫이 $x + 2$이고, 나머지가 $x - 6$이라 할 때, $f (x)$의 계수들의 총합은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

4. $\log_{a} 3=2$, $\log_{b} 3=5$일 때, $\log_{b} a$의 값은?

① $\dfrac{5}{2}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{5}$

5. $\sin \dfrac{7}{6} \pi \cdot \cos \dfrac{5}{6} \pi $의 값은?

① $- \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
② $- \dfrac{1}{4}$
③ $1$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

6. 두 다항함수 $f (x)=2x+2$, $g (x)=x^{2} -1$에 대하여 $(f^{-1} \circ g)(3)$의 값은? (단, $f^{-1} (x)$는 $f (x)$의 역함수이다.)

① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$

7. 전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \to\, \, \sim q$가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① $P \cup Q =U$
② $P - Q = P$
③ $Q - P = \phi $
④ $P \cap Q = P$
⑤ $P \cup Q = P$

8. 다음 중 다항식 $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x$의 인수가 아닌 것은?

① $x^{2} - 1$
② $x^{2} + 1$
③ $x^{2} - x$
④ $x^{3} + x$
⑤ $x - 1$

9. $A= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5\right\}$, $B=\left\{x \,|\, x\text{는 12의 약수}\right\}$일 때, $A - B$의 부분집합의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $4$
④ $7$
⑤ $8$

10. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $a$인 원의 지름의 양 끝점을 $P$, $Q$라 하자. 철민이와 영수가 동시에 $P$지점을 출발하여 철민이가 원주 위를 따라 두 바퀴 도는 동안 영수는 지름을 따라 $\overline{PQ}$를 한 번 왕복하여 동시에 $P$지점에 도착하였다. 이 때, 철민이와 영수의 평균속력의 비는?

① $\pi : 1$
② $\pi : 2$
③ $2 \pi : 1$
④ $3 \pi : 2$
⑤ $\sqrt{2} \pi : 1$

11. 다음과 같은 모양의 도형 위에 자연수를 차례로 나열하였다.

$2002$, $2003$, $2004$, $2005$의 수는 다음 중 어떤 모양으로 연결되는가?

12. $1 \le x \le 2$인 실수 $x$가 부등식 $x^{2} + 2 x + ( a - 3 ) \le 0$을 만족할 때, 실수 $a$의 최대값은?

① $-5$
② $-4$
③ $-3$
④ $-2$
⑤ $-1$

13. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $f (x) = [ 2 x ] - 2 [ x ]$의 치역은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $\left\{ 0 \right\}$
② $\left\{ -1, 0 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ 0, 1 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 0, 1 \right\}$

14. 로그함수 $y = \log_{2} x$의 그래프가 있다. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $2$, $1$인 직사각형 $A B C D$의 꼭지점 $C$가 이 그래프 위를 움직일 때 점 $A$가 그리는 도형의 방정식은? (단, 변 $AB$는 항상 $y$축과 평행하다.)

① $y = \log_{2} ( x-2 )-1$
② $y = \log_{2} ( x+2 )+1$
③ $y = \log_{2} ( 2 x+1 )$
④ $y = \log_{2} 2 x +1$
⑤ $y = \log_{2} 2 x -1$

15. 다음은 $5$개의 양수 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$에 대하여 두 수 $$A=a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5}, \,\,\,\,B= \dfrac{1}{a_{1}} + \dfrac{1}{a_{2}} + \dfrac{1}{a_{3}} + \dfrac{1}{a_{4}} + \dfrac{1}{a_{5}}$$에 대한 설명이다.

$A+B=(a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5} )+ \left( \dfrac{1}{a_{1}} + \dfrac{1}{a_{2}} + \dfrac{1}{a_{3}} + \dfrac{1}{a_{4}} + \dfrac{1}{a_{5}} \right)$
$= \left( a_{1} + \dfrac{1}{a_{1}} \right) + \left( a_{2} + \dfrac{1}{a_{2}} \right) + \cdots + \left( a_{5} + \dfrac{1}{a_{5}} \right)$
$ \ge\fbox{　 ㈎ 　} $ $\cdots$ ㉠

그런데, $A < 5$이고 $B < 5$이면 ㉠에 모순이다.

따라서, $\fbox{　 　 　 　 ㈏ 　 　 　 　}$

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① $5$ / $A$, $B$ 중 적어도 하나는 $5$ 이상이다.
② $5$ / $A$, $B$는 모두 $5$ 이상이다.
③ $10$ / $A$, $B$ 중 적어도 하나는 $5$ 이상이다.
④ $10$ / $A$, $B$는 모두 $5$ 이상이다.
⑤ $10$ / $A$, $B$는 모두 $5$보다 작다.

16. 다음은 원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 점 $P$에서 만날 때, 부등식 $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}} + \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} + \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}} + \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}} \le \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PC}} + \dfrac{\overline{PC}}{\overline{PA}} + \dfrac{\overline{PB}}{\overline{PD}} + \dfrac{\overline{PD}}{\overline{PB}}$$가 성립함을 증명한 것이다.

오른쪽 그림과 같이 $\overline{AB} = a$, $\overline{BC} = b$, $\overline{CD} = c$, $\overline{DA} = d$라 하고,
$\overline{PA} = w$, $\overline{PB} = x$, $\overline{PC} = y$, $\overline{PD} = z$라 하면
$\triangle ABC : \triangle ACD= x: \fbox{　 ㈎ 　}= a b : c d$
$\therefore$ $\dfrac{x}{\fbox{　 ㈎ 　}} = \dfrac{a b}{c d}$
같은 방법으로 $\dfrac{w}{y} = \dfrac{a d}{\fbox{　 ㈏ 　}}$
따라서, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \fbox{　 ㈐ 　}$

같은 방법으로
$\dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{c}{a}$, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{b}{d}$, $\dfrac{z}{x} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \dfrac{d}{b}$

변끼리 더하여 정리하면
$\dfrac{w}{y} + \dfrac{y}{w} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{d} + \dfrac{d}{b}$

따라서 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞는 것을 순서대로 적으면?

① $y$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
② $y$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$
③ $z$, $ab$, $\dfrac{b}{c}$
④ $z$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
⑤ $z$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$

17. 두 개의 직각삼각형 $ABC$, $ADE$가 그림과 같이 겹쳐져 있다. $\angle ACB=60˚ $, $\angle AED=45˚ $, $\overline{AC} = \overline{AE} =6$일 때 겹쳐진 부분인 삼각형 $ADF$의 넓이는?

① $3 \sqrt{2}$
② $4 \sqrt{2}$
③ $3 \sqrt{3}$
④ $4 \sqrt{3}$
⑤ $5 \sqrt{3}$

18. $A=\left\{ 1, 2, 3\right\}$에서 $A$로의 함수 $f$가 두 조건

ⅰ) 함수 $f$는 일대일대응이다.
ⅱ) 합성함수 $f \circ f \circ f$는 함수 $f$와 같다.

를 만족하는 함수 $f$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

19. 오른쪽 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 $18$개로 만들어진 직육면체가 있다. 이 도형에서 $3$개의 정육면체를 들어내어 아래 [그림1], [그림2], [그림3]과 같은 입체도형 $3$개를 만들었다. 이 세 도형의 겉넓이를 각각 $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$라 할 때 다음 중 $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$의 대소관계로 옳은 것은?

① $S_{1} =S_{2} =S_{3}$
② $S_{1} < S_{2} < S_{3}$
③ $S_{1} < S_{3} < S_{2}$
④ $S_{2} < S_{1} < S_{3}$
⑤ $S_{2} < S_{3} < S_{1}$

20. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}y = -| x - 1 | + 1 \\ y = \dfrac{1}{2} | x - k | \end{cases}$가 서로 다른 두 쌍의 해를 갖기 위한 정수 $k$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

21. 곡선 $y = x^{2} +1$ 위의 한 점과 직선 $y = x-1$ 위의 한 점을 두 꼭지점으로 하는 정사각형을 만든다. 이 때, 이 정사각형의 넓이의 최소값은?

① $\dfrac{43}{64}$
② $\dfrac{45}{64}$
③ $\dfrac{47}{64}$
④ $\dfrac{49}{64}$
⑤ $\dfrac{51}{64}$

22. 세 변의 길이가 각각 $5$, $7$, $8$인 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$이다. 호 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $\triangle APB$, $\triangle BQC$, $\triangle CRA$가 모두 이등변삼각형일 때, 육각형 $APBQCR$의 넓이는?

① $18 \sqrt{3}$
② $20 \sqrt{3}$
③ $30 \sqrt{3}$
④ $\dfrac{68 \sqrt{3}}{3}$
⑤ $\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}$

23. 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 $O$의 원주 위의 한 정점 $A$에서 동점 $P$가 출발하여 시계방향으로 한 바퀴 회전한다. 이 때, 호 $AP$의 길이를 $x$라 하고 $f (x) = 2- \overline{AP}^{2}$으로 정의할 때, 함수 $f (x)$의 그래프의 개형은?

24. 어느 핵발전소에서 사고로 방사능 물질 $1000$kg이 유출되어 대기를 오염시켰다. 사고가 일어나고 $t$년 후의 대기중의 이 물질의 양 $A$는 $$A=1000 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{t\over30}$$이라고 한다. 대기 중에 남아있는 이 물질의 양이 처음으로 $100$kg 이하가 되는 것은 사고 후 몇 년째부터인가? (단, $\log 2=0.30$으로 계산한다.)

① $90$년
② $100$년
③ $110$년
④ $120$년
⑤ $130$년

25. 이차방정식 $x^{2} - 3 x + 4 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $(3 \alpha -4)(3 \beta -4)$의 값을 구하시오.

26. 두 양수 $x$, $y$가 $(x+2y)^{2} -2(x+2y)-3=0$을 만족할 때, $x + 2 y$의 값을 구하시오.

27. 다음 두 원 $$(x-3)^{2} +(y-4)^{2} =16,\,\,\,\,(x-a)^{2} +(y-b)^{2} =4$$가 서로 외접할 때, $\sqrt{a^{2} +b^{2}}$의 최대값을 구하시오.

28. 오른쪽 그림과 같이 $y$축 위의 점 $P$에서 $x$축에 평행한 직선을 그어 두 곡선 $y=\log_{1\over2} x$, $y=\log_{2} x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $Q$, $R$라 하자. $\overline{QR}$의 길이가 2이고 점 $Q$와 $R$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 할 때, $a^{2} + b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < 1 < b$이다.)

29. 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 다음 두 조건을 만족한다.

ⅰ) $p$가 소수이면 $f (p)=p$
ⅱ) 임의의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f (ab)=f (a)+f (b )$

이 때, $f (100)$의 값을 구하시오.

30. 다음 그림과 같이 $P$지점에서 $40$m 떨어진 곳에 높이 $40$m, 너비 $20$m인 건물이 있다. $P$지점에서 공을 쏘아 올려 건물 반대편 $R$지점으로부터 $20$m 떨어진 $S$지점에 맞추려고 한다. 공을 발사할 때, 공이 그리는 포물선의 최고점의 높이는 적어도 몇 m를 초과하여야 하는지 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 네 지점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 일직선 위에 있다.)

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [자연계]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [자연계]

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com에 있습니다.

1. $(1+2 i )^{2} (1-2 i )^{2}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $5$
② $9$
③ $15$
④ $25$
⑤ $50$

2. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$x+y = \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}},\,\,\,\,x-y = \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $2$
⑤ $\sqrt{6}$

3. $\log_{a} 3=2$, $\log_{b} 3=5$일 때, $\log_{b} a$의 값은?

① $\dfrac{5}{2}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{5}$

4. 전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \to\, \, \sim q$가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① $P \cup Q =U$
② $P - Q = P$
③ $Q - P = \phi $
④ $P \cap Q = P$
⑤ $P \cup Q = P$

5. 부등식 $\dfrac{2 x - 3}{x + 1} - 1 \le 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는?

① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$

6. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $f (x) = [ 2 x ] - 2 [ x ]$의 치역은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $\left\{ 0 \right\}$
② $\left\{ -1, 0 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ 0, 1 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 0, 1 \right\}$

7. 로그함수 $y = \log_{2} x$의 그래프가 있다. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $2$, $1$인 직사각형 $A B C D$의 꼭지점 $C$가 이 그래프 위를 움직일 때 점 $A$가 그리는 도형의 방정식은? (단, 변 $AB$는 항상 $y$축과 평행하다.)

① $y = \log_{2} ( x-2 )-1$
② $y = \log_{2} ( x+2 )+1$
③ $y = \log_{2} ( 2 x+1 )$
④ $y = \log_{2} 2 x +1$
⑤ $y = \log_{2} 2 x -1$

8. 복소평면에서 $z= \sqrt{3} + i$에 대하여 $z$, $z^{2}$, $z^{3}$이 나타내는 점을 각각 $A$, $B$, $C$라 할 때, $\triangle ABC$의 넓이는? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $1+2 \sqrt{3}$
② $2+2 \sqrt{3}$
③ $8-2 \sqrt{3}$
④ $10-4 \sqrt{3}$
⑤ $12-6 \sqrt{3}$

9. 오른쪽 그림에서 원 $O$의 지름을 한 변으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이는 변 $AC$와 호 $AC$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. $\angle B= \theta $라 할 때, 다음 중 $\theta $의 값과 같은 것은?

① $2 \sin^{2} \theta $
② $2 \sin \theta \cos \theta $
③ $3 \cos^{2} \theta $
④ $3 \sin \theta \cos \theta $
⑤ $2 \tan^{2} \theta $

10. 사차함수 $y=F (x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 $F(x)\cdot F^{\prime} (x) < 0$을 만족하는 $x$의 값의 범위가 될 수 없는 것은? (단, $F^{\prime} (x)$는 $F (x)$의 도함수이다.)

① $x < a$
② $b < x < c$
③ $d < x < e$
④ $f < x < g$
⑤ $x > g$

11. $A=\left\{ 1, 2, 3\right\}$에서 $A$로의 함수 $f$가 두 조건

ⅰ) 함수 $f$는 일대일대응이다.
ⅱ) 합성함수 $f \circ f \circ f$는 함수 $f$와 같다.

를 만족하는 함수 $f$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

12. 다음과 같은 모양의 도형 위에 자연수를 차례로 나열하였다.

$2002$, $2003$, $2004$, $2005$의 수는 다음 중 어떤 모양으로 연결되는가?

13. 오른쪽 그림과 같은 규칙으로 수를 나열하면 $2^{6}$과 같은 수는 $2^{6}$, $4^{3}$, $\cdots $처럼 여러 번 나타난다. 이와 같이 생각할 때, $9^{12}$과 같은 수는 몇 번 나타나는가?

① $4$번
② $6$번
③ $8$번
④ $10$번
⑤ $12$번

14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $a$인 원의 지름의 양 끝점을 $P$, $Q$라 하자. 철민이와 영수가 동시에 $P$지점을 출발하여 철민이가 원주 위를 따라 두 바퀴 도는 동안 영수는 지름을 따라 $\overline{PQ}$를 한 번 왕복하여 동시에 $P$지점에 도착하였다. 이 때, 철민이와 영수의 평균속력의 비는?

① $\pi : 1$
② $\pi : 2$
③ $2 \pi : 1$
④ $3 \pi : 2$
⑤ $\sqrt{2} \pi : 1$

15. 양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)=1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$이라 할 때, 다음은

$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(n-1)=n \left\{ p(n)-1 \right\}$ ($n=2$, $3$, $4$, $\cdots $)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) $n=2$일 때,
$(좌변)=p (1) = 1$
$(우변)=2 \left\{ p(2) -1 \right\} = 2 \left( 1+ \dfrac{1}{2} -1 \right) =1$
이므로 성립한다.

ⅱ) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k-1)=k \left\{ p(k)-1 \right\}$
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k)$
$=\fbox{　 ㈎ 　}p(k)-k$
$=\fbox{　 ㈎ 　}\left\{ p(k+1)-\fbox{　 ㈏ 　} \right\} -k$
$=(k+1) \left\{ p(k+1)-1 \right\}$
이므로 $n=k+1$일 때 성립한다.

따라서 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $k$, $\dfrac{1}{k}$
② $k$, $\dfrac{1}{k+1}$
③ $k+1$, $\dfrac{1}{k}$
④ $k+1$, $\dfrac{1}{k+1}$
⑤ $k+2$, $\dfrac{1}{k}$

16. 다음은 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라고 할 때, $$\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2} = 2\left( \overline{AM}^{2} + \overline{BM}^{2} \right)$$임을 증명하는 과정이다.

오른쪽 그림과 같이 $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b}$라 하면

$\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{CA} =\fbox{　 ㈎ 　}$

$\therefore$ $\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2}= \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} +\left| \fbox{　 ㈎ 　} \right|^{2}$
$= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} - 2\fbox{　 ㈏ 　} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2}+ \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + 2\fbox{　 ㈏ 　} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2}$
$= 2 \left( \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
$= 2 \left( \overline{AM}^{2} + \overline{BM}^{2} \right)$

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$
② $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$, $\left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right| $
③ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$
④ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right| $
⑤ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\dfrac{\left| \overrightarrow{a} \right|}{\left| \overrightarrow{b} \right|}$
17. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}y = -| x - 1 | + 1 \\ y = \dfrac{1}{2} | x - k | \end{cases}$가 서로 다른 두 쌍의 해를 갖기 위한 정수 $k$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

18. 아래 그림과 같이 정사각형 $ABCD$를 가로축과 평행한 직선 $l$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $f$[그림1], 세로축과 평행한 직선 $m$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $g$[그림2], 마주보는 두 꼭지점을 지나는 직선 $n$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $h$[그림3]라 하자.

다음 중 어떤 모양의 정사각형을 $g \to f \to h$의 순서로 회전시켰을 때 오른쪽 그림과 같은 정사각형이 되겠는가?

19. $\overline{AB} = \overline{AC} =7$, $\overline{BC} =4$, $\overline{AD} =14$인 직삼각기둥 $ABC$-$DEF$가 있다. 이 때, 면 $ADEB$의 면 $ADFC$ 위로의 정사영의 넓이는?

① $68$
② $74$
③ $78$
④ $82$
⑤ $86$

20. 세 변의 길이가 각각 $5$, $7$, $8$인 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$이다. 호 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $\triangle APB$, $\triangle BQC$, $\triangle CRA$가 모두 이등변삼각형일 때, 육각형 $APBQCR$의 넓이는?

① $18 \sqrt{3}$
② $20 \sqrt{3}$
③ $30 \sqrt{3}$
④ $\dfrac{68 \sqrt{3}}{3}$
⑤ $\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}$

21. 다항함수 $f (x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f (x+1)-f (x)=f (x)-f (x-1)$$를 만족시킨다. 미분계수 $f^{\prime} (1) =3$일 때, $f^{\prime} (-1)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

22. 비행기가 왼쪽에서 날아와 동수의 머리 위를 지나 오른쪽으로 날아갔다. 비행기가 왼쪽에서 나타난 지점으로부터 오른쪽으로 $x$(km) 만큼 움직였을 때 동수와 비행기 사이의 거리는 $y$(km)이다. 이 때, $x$와 $y$의 관계를 나타내는 그래프의 개형은? (단, 비행기는 일정한 고도를 유지하면서 직선으로 비행하였고, 동수는 움직이지 않았다.)

23. 어느 핵발전소에서 사고로 방사능 물질 $1000$kg이 유출되어 대기를 오염시켰다. 사고가 일어나고 $t$년 후의 대기중의 이 물질의 양 $A$는 $$A=1000 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{t\over30}$$이라고 한다. 대기 중에 남아있는 이 물질의 양이 처음으로 $100$kg 이하가 되는 것은 사고 후 몇 년째부터인가? (단, $\log 2=0.30$으로 계산한다.)

① $90$년
② $100$년
③ $110$년
④ $120$년
⑤ $130$년

24. 오른쪽 그림과 같이 원점을 지나는 원 $C$ 위에 원점이 아닌 서로 다른 두 점 $P$, $Q$가 있다. 일차변환 $f$에 의하여 점 $P$는 점 $Q$로, 점 $Q$는 원점 $O$로 옮겨질 때, 합성변환 $f \circ f$에 의하여 원 $C$는 어떤 도형으로 옮겨지는가?

① 원점 $O$
② 선분 $OP$
③ 선분 $OQ$
④ 호 $PQ$
⑤ 원 $C$

25. 행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $\left(A^{2}\right)^{-1}$의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, $X^{-1}$는 $X$의 역행렬이다.)

26. 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2 x^{2} + x - a}{x^{2} - 1} =b$가 성립하도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+10 b$의 값을 구하시오.

27. 타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} =1$ 위의 점 $( 1, -2 )$에서 그은 접선의 기울기가 $2$일 때, $a^{2} +b^{2}$의 값을 구하시오.

28. 오른쪽 그림과 같이 $y$축 위의 점 $P$에서 $x$축에 평행한 직선을 그어 두 곡선 $y=\log_{1\over2} x$, $y=\log_{2} x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $Q$, $R$라 하자. $\overline{QR}$의 길이가 2이고 점 $Q$와 $R$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 할 때, $a^{2} + b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < 1 < b$이다.)

29. 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 다음 두 조건을 만족한다.

ⅰ) $p$가 소수이면 $f (p)=p$
ⅱ) 임의의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f (ab)=f (a)+f (b )$

이 때, $f (100)$의 값을 구하시오.

30. 다음 그림과 같이 $P$지점에서 $40$m 떨어진 곳에 높이 $40$m, 너비 $20$m인 건물이 있다. $P$지점에서 공을 쏘아 올려 건물 반대편 $R$지점으로부터 $20$m 떨어진 $S$지점에 맞추려고 한다. 공을 발사할 때, 공이 그리는 포물선의 최고점의 높이는 적어도 몇 m를 초과하여야 하는지 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 네 지점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 일직선 위에 있다.)

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [인문계]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [인문계]

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. $(1+2 i )^{2} (1-2 i )^{2}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $5$
② $9$
③ $15$
④ $25$
⑤ $50$

2. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$x+y = \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}},\,\,\,\,x-y = \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $2$
⑤ $\sqrt{6}$

3. $\log_{a} 3=2$, $\log_{b} 3=5$일 때, $\log_{b} a$의 값은?

① $\dfrac{5}{2}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{5}$

4. 전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \to\, \, \sim q$가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① $P \cup Q =U$
② $P - Q = P$
③ $Q - P = \phi $
④ $P \cap Q = P$
⑤ $P \cup Q = P$

5. $1 \le x \le 2$인 실수 $x$가 부등식 $x^{2} + 2 x + ( a - 3 ) \le 0$을 만족할 때, 실수 $a$의 최대값은?

① $-5$
② $-4$
③ $-3$
④ $-2$
⑤ $-1$

6. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $f (x) = [ 2 x ] - 2 [ x ]$의 치역은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $\left\{ 0 \right\}$
② $\left\{ -1, 0 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ 0, 1 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 0, 1 \right\}$

7. 로그함수 $y = \log_{2} x$의 그래프가 있다. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $2$, $1$인 직사각형 $A B C D$의 꼭지점 $C$가 이 그래프 위를 움직일 때 점 $A$가 그리는 도형의 방정식은? (단, 변 $AB$는 항상 $y$축과 평행하다.)

① $y = \log_{2} ( x-2 )-1$
② $y = \log_{2} ( x+2 )+1$
③ $y = \log_{2} ( 2 x+1 )$
④ $y = \log_{2} 2 x +1$
⑤ $y = \log_{2} 2 x -1$

8. 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $(2+i )( a + b i ) = c + d i$일 때, 등식 $A \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}$가 성립한다. 이 때, 이차정사각행렬 $A$를 구하면? (단, $i = \sqrt{-1}$이다.)

① $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

9. 두 개의 직각삼각형 $ABC$, $ADE$가 그림과 같이 겹쳐져 있다. $\angle ACB=60˚ $, $\angle AED=45˚ $, $\overline{AC} = \overline{AE} =6$일 때 겹쳐진 부분인 삼각형 $ADF$의 넓이는?

① $3 \sqrt{2}$
② $4 \sqrt{2}$
③ $3 \sqrt{3}$
④ $4 \sqrt{3}$
⑤ $5 \sqrt{3}$

10. 사차함수 $y=F (x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 $F(x)\cdot F^{\prime} (x) < 0$을 만족하는 $x$의 값의 범위가 될 수 없는 것은? (단, $F^{\prime} (x)$는 $F (x)$의 도함수이다.)

① $x < a$
② $b < x < c$
③ $d < x < e$
④ $f < x < g$
⑤ $x > g$

11. $A=\left\{ 1, 2, 3\right\}$에서 $A$로의 함수 $f$가 두 조건

ⅰ) 함수 $f$는 일대일대응이다.
ⅱ) 합성함수 $f \circ f \circ f$는 함수 $f$와 같다.

를 만족하는 함수 $f$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

12. 다음과 같은 모양의 도형 위에 자연수를 차례로 나열하였다.

$2002$, $2003$, $2004$, $2005$의 수는 다음 중 어떤 모양으로 연결되는가?

13. 오른쪽 그림과 같은 규칙으로 수를 나열하면 $2^{6}$과 같은 수는 $2^{6}$, $4^{3}$, $\cdots $처럼 여러 번 나타난다. 이와 같이 생각할 때, $9^{12}$과 같은 수는 몇 번 나타나는가?

① $4$번
② $6$번
③ $8$번
④ $10$번
⑤ $12$번

14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $a$인 원의 지름의 양 끝점을 $P$, $Q$라 하자. 철민이와 영수가 동시에 $P$지점을 출발하여 철민이가 원주 위를 따라 두 바퀴 도는 동안 영수는 지름을 따라 $\overline{PQ}$를 한 번 왕복하여 동시에 $P$지점에 도착하였다. 이 때, 철민이와 영수의 평균속력의 비는?

① $\pi : 1$
② $\pi : 2$
③ $2 \pi : 1$
④ $3 \pi : 2$
⑤ $\sqrt{2} \pi : 1$

15. 양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)=1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$이라 할 때, 다음은

$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(n-1)=n \left\{ p(n)-1 \right\}$ ($n=2$, $3$, $4$, $\cdots $)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) $n=2$일 때,
$(좌변)=p (1) = 1$
$(우변)=2 \left\{ p(2) -1 \right\} = 2 \left( 1+ \dfrac{1}{2} -1 \right) =1$
이므로 성립한다.

ⅱ) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k-1)=k \left\{ p(k)-1 \right\}$
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k)$
$=\fbox{　 ㈎ 　}p(k)-k$
$=\fbox{　 ㈎ 　}\left\{ p(k+1)-\fbox{　 ㈏ 　} \right\} -k$
$=(k+1) \left\{ p(k+1)-1 \right\}$
이므로 $n=k+1$일 때 성립한다.

따라서 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $k$, $\dfrac{1}{k}$
② $k$, $\dfrac{1}{k+1}$
③ $k+1$, $\dfrac{1}{k}$
④ $k+1$, $\dfrac{1}{k+1}$
⑤ $k+2$, $\dfrac{1}{k}$

16. 다음은 원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 점 $P$에서 만날 때, 부등식 $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}} + \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} + \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}} + \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}} \le \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PC}} + \dfrac{\overline{PC}}{\overline{PA}} + \dfrac{\overline{PB}}{\overline{PD}} + \dfrac{\overline{PD}}{\overline{PB}}$$가 성립함을 증명한 것이다.

오른쪽 그림과 같이 $\overline{AB} = a$, $\overline{BC} = b$, $\overline{CD} = c$, $\overline{DA} = d$라 하고,
$\overline{PA} = w$, $\overline{PB} = x$, $\overline{PC} = y$, $\overline{PD} = z$라 하면
$\triangle ABC : \triangle ACD= x: \fbox{　 ㈎ 　}= a b : c d$
$\therefore$ $\dfrac{x}{\fbox{　 ㈎ 　}} = \dfrac{a b}{c d}$
같은 방법으로 $\dfrac{w}{y} = \dfrac{a d}{\fbox{　 ㈏ 　}}$
따라서, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \fbox{　 ㈐ 　}$

같은 방법으로
$\dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{c}{a}$, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{b}{d}$, $\dfrac{z}{x} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \dfrac{d}{b}$

변끼리 더하여 정리하면
$\dfrac{w}{y} + \dfrac{y}{w} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{d} + \dfrac{d}{b}$

따라서 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞는 것을 순서대로 적으면?

① $y$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
② $y$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$
③ $z$, $ab$, $\dfrac{b}{c}$
④ $z$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
⑤ $z$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$

17. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}y = -| x - 1 | + 1 \\ y = \dfrac{1}{2} | x - k | \end{cases}$가 서로 다른 두 쌍의 해를 갖기 위한 정수 $k$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

18. $1$부터 $81$까지 쓰여진 카드를 오른쪽 그림과 같이 규칙적으로 배열하였다. 이 때 오른쪽 대각선 방향(／)으로 배열된 카드에 쓰여진 수들의 합은?

① $367$
② $369$
③ $371$
④ $373$
⑤ $375$

19. 곡선 $y = x^{2} +1$ 위의 한 점과 직선 $y = x-1$ 위의 한 점을 두 꼭지점으로 하는 정사각형을 만든다. 이 때, 이 정사각형의 넓이의 최소값은?

① $\dfrac{43}{64}$
② $\dfrac{45}{64}$
③ $\dfrac{47}{64}$
④ $\dfrac{49}{64}$
⑤ $\dfrac{51}{64}$

20. 세 변의 길이가 각각 $5$, $7$, $8$인 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$이다. 호 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $\triangle APB$, $\triangle BQC$, $\triangle CRA$가 모두 이등변삼각형일 때, 육각형 $APBQCR$의 넓이는?

① $18 \sqrt{3}$
② $20 \sqrt{3}$
③ $30 \sqrt{3}$
④ $\dfrac{68 \sqrt{3}}{3}$
⑤ $\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}$

21. 다항함수 $f (x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f (x+1)-f (x)=f (x)-f (x-1)$$를 만족시킨다. 미분계수 $f^{\prime} (1) =3$일 때, $f^{\prime} (-1)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

22. 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 $O$의 원주 위의 한 정점 $A$에서 동점 $P$가 출발하여 시계방향으로 한 바퀴 회전한다. 이 때, 호 $AP$의 길이를 $x$라 하고 $f (x) = 2- \overline{AP}^{2}$으로 정의할 때, 함수 $f (x)$의 그래프의 개형은?

23. 어느 핵발전소에서 사고로 방사능 물질 $1000$kg이 유출되어 대기를 오염시켰다. 사고가 일어나고 $t$년 후의 대기중의 이 물질의 양 $A$는 $$A=1000 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{t\over30}$$이라고 한다. 대기 중에 남아있는 이 물질의 양이 처음으로 $100$kg 이하가 되는 것은 사고 후 몇 년째부터인가? (단, $\log 2=0.30$으로 계산한다.)

① $90$년
② $100$년
③ $110$년
④ $120$년
⑤ $130$년

24. 포물선 $y=1-x^{2}$과 $x$축과의 교점을 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 하자. 포물선 위의 제1사분면 위의 동점 $P$에 대하여 직선 $CP$와 $x$축과의 교점을 $Q$, 직선 $AP$와 점 $Q$를 지나고 $x$축에 수직인 직선과의 교점을 $R$라 할 때, $\displaystyle\lim_{P \to B} \dfrac{\overline{QR}}{\overline{BQ}}$의 값은?

① $0$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $2$

25. 행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $\left(A^{2}\right)^{-1}$의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, $X^{-1}$는 $X$의 역행렬이다.)

26. 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2 x^{2} + x - a}{x^{2} - 1} =b$가 성립하도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+10 b$의 값을 구하시오.

27. 다음 두 원 $$(x-3)^{2} +(y-4)^{2} =16,\,\,\,\,(x-a)^{2} +(y-b)^{2} =4$$가 서로 외접할 때, $\sqrt{a^{2} +b^{2}}$의 최대값을 구하시오.

28. 오른쪽 그림과 같이 $y$축 위의 점 $P$에서 $x$축에 평행한 직선을 그어 두 곡선 $y=\log_{1\over2} x$, $y=\log_{2} x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $Q$, $R$라 하자. $\overline{QR}$의 길이가 2이고 점 $Q$와 $R$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 할 때, $a^{2} + b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < 1 < b$이다.)

29. 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 다음 두 조건을 만족한다.

ⅰ) $p$가 소수이면 $f (p)=p$
ⅱ) 임의의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f (ab)=f (a)+f (b )$

이 때, $f (100)$의 값을 구하시오.

30. 다음 그림과 같이 $P$지점에서 $40$m 떨어진 곳에 높이 $40$m, 너비 $20$m인 건물이 있다. $P$지점에서 공을 쏘아 올려 건물 반대편 $R$지점으로부터 $20$m 떨어진 $S$지점에 맞추려고 한다. 공을 발사할 때, 공이 그리는 포물선의 최고점의 높이는 적어도 몇 m를 초과하여야 하는지 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 네 지점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 일직선 위에 있다.)

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [예체능계]

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [예체능계]

시행 : 2002.3.28(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. 두 유리수 $a$, $b$에 대하여 등식 $\left( 1 + \sqrt{2} \right) a - \left( b + 3 \sqrt{2} \right) \sqrt{2} = 0$이 성립할 때, $a + b$의 값은?

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

2. 이차방정식 $x^{2} -2 \sqrt{2} x +1 =0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $ ($\alpha < \beta $)라 할 때, $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값은?

① $3+ \sqrt{2}$
② $3+2 \sqrt{2}$
③ $4+ \sqrt{2}$
④ $4+2 \sqrt{2}$
⑤ $5+2 \sqrt{2}$

3. $(1-\sin 2002˚ )(1+\sin 2002˚ )$를 간단히 하면?

① $\cos 2˚ $
② $\cos^{2} 2˚ $
③ $\cos 22˚ $
④ $\cos^{2} 22˚ $
⑤ $-\cos^{2} 22˚ $

4. $\log_{2} (x+y)=2$, $\log_{3} x+\log_{3} y=1$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $7$
② $10$
③ $13$
④ $19$
⑤ $22$

5. 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합을 [보기]에서 모두 고르면? (단, $U$는 전체집합이다.)

 <보 기> 

ㄱ. $( A \cap C ) \cap B^{c}$
ㄴ. $(A \cap C ) - ( A \cap B \cap C )$
ㄷ. $(A - B ) \cap (C - B )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 다항식 $f (x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 각각 $x^{2} +2x+3$, $4$일 때, 다항식 $xf (x)+2$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은?

① $x^{3} +2x^{2} +3x+4$
② $x^{3} -2x^{2} +2x+3$
③ $x^{3} +x^{2} +x+4$
④ $x^{3} +3x^{2} -2x+4$
⑤ $x^{3} +4x^{2} -3x+2$

7. $-1 \le x \le 3$에서 정의된 함수 $f (x)=-2x^{2} +8x+a$의 최대값이 5가 되도록 상수 $a$의 값을 정할 때, 함수 $f (x)$의 최소값은?

① $-11$
② $-12$
③ $-13$
④ $-14$
⑤ $-15$

8. [보기]의 함수의 그래프를 평행이동하였을 때, $y= \dfrac{x}{x-2}$의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $y= \dfrac{2}{x+1}$
ㄴ. $y= \dfrac{2x+1}{x+2}$
ㄷ. $y= \dfrac{3x+5}{x+1}$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. $\triangle ABC$에서 $A=30 ˚ $, $\overline{AC} =8$, $\overline{BC} =4 \sqrt{2}$일 때, 예각 $C$의 크기는?

① $15 ˚ $
② $30 ˚ $
③ $45 ˚ $
④ $60 ˚ $
⑤ $75 ˚ $

10. 좌표평면 위에서 연립부등식 $\begin{cases}y \ge f ( x ) \\ y \le g ( x ) \end{cases}$의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 $\left\{ y - f ( x ) \right\} \left\{ y - g ( x ) \right\} \le 0$의 영역을 그림으로 나타내면? (단, 경계선은 모두 영역에 포함된다.)

11. 세 실수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases} ( x - a ) ( x - b ) > 0 \\ ( x - b ) ( x - c ) > 0 \end{cases}$의 해가 $x < -4$, $x > 3$일 때, 이차부등식 $x^{2} + ax + c < 0$의 해는?

① $-3 < x < 4$
② $3 < x < 4$
③ $-3 < x < 1$
④ $-1 < x < 3$
⑤ $1 < x < 3$

12. 다음 [그림1]은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림2]는 같은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.

[그림1]의 각 직사각형의 넓이를 $A$, $B$, $C$, $D$라 할 때, 다음 중 [그림2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은?

① $3A$
② $A + B$
③ $B + C$
④ $A + 2C$
⑤ $B + 2C$

13. 집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에 대하여 함수 $f (x)$는 $X$에서 $X$로의 일대일대응이다. 함수 $f (x)$가 $$(f \circ f )( 1)=4,\,\,\,\,(f \circ f )( 3)=3$$을 만족할 때, $2f (1)+4f (3)$값은? (단, $(f \circ f )( x)=f (f (x))$)

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

14. 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 조건 $p$, $q$, $r$를

$p : x^{2} +y^{2} +z^{2} =0$
$q : x^{2} +y^{2} +z^{2} +xy+yz+zx=0$
$r : x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-yz-zx=0$

이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
ㄴ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $q$는 $r$이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 폐구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 $f^{n}$을 $$f^{1} =f, f^{2} =f \circ f, \cdots , f^{n+1} = f^{n} \circ f (n=1, 2, 3, \cdots )$$이라 정의하자. 이 때, $f^{2002} (0)$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$

16. 오른쪽 그림의 사면체 $A$-$BCD$에서 $\overline{AD} \,⊥\, \overline{BD}$, $\overline{AD} \,⊥\, \overline{DC}$이고, $\overline{AB} = \overline{AC}$이다. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $\angle ABC =\angle ACB$
ㄴ. $\angle BAC=\angle BDC$
ㄷ. $\overline{BD} = \overline{CD}$
ㄹ. $\angle ABD=\angle ACD$

① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄱ, ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

17. 다음은 좌표평면에서 점 $P ( a, b )$와 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 점 $P^{\prime}$의 좌표를 구하는 과정이다.

점 $P^{\prime}$의 좌표를 $( a^{\prime}, b^{\prime} )$이라 하면

$\dfrac{b^{\prime} - b}{a^{\prime} - a} =\fbox{　 ㈎ 　}$

즉, $b^{\prime} =\fbox{　 ㈏ 　}+ b$ $\cdots$ ㉠

또, 선분 $PP^{\prime}$의 중점 $M$은 직선 $y = x$ 위에 있으므로

$\dfrac{a + a^{\prime}}{2} =\fbox{　 ㈐ 　}$ $\cdots$ ㉡

㉠, ㉡ 두 식을 연립하여 풀면

$a^{\prime} = b$, $b^{\prime} = a$

따라서, 점 $P^{\prime}$의 좌표는 $( b, a )$이다.

위의 ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열하면?

① $-a^{\prime} + a$, $\dfrac{b^{\prime} - b}{2}$
② $a^{\prime} + a$, $\dfrac{b - b^{\prime}}{2}$
③ $a^{\prime} - a$, $\dfrac{b + b^{\prime}}{2}$
④ $a^{\prime} - a$, $\dfrac{b - b^{\prime}}{2}$
⑤ $-a^{\prime} + a$, $\dfrac{b + b^{\prime}}{2}$

18. 다음은 $a$, $b$가 모두 홀수일 때 $m=11a+b$, $n=3a+b$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

 <증 명> 

$a$, $b$가 홀수이므로 $m$, $n$은 모두 짝수이다.
$m$, $n$이 모두 제곱수라고 가정하면
$m=4p^{2}$, $n=4q^{2}$ ($p$, $q$는 정수)로 놓을 수 있다.
$m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a$이므로

$(p+q)(p-q)=\fbox{　 ㈎ 　}$

그런데 $p$, $q$는 정수이므로 두 수 $p+q$와 $p-q$는 모두 홀수 아니면 짝수이다.
그러므로 $(p+q)(p-q)$는 홀수이거나 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수이다.
그런데 ㈎는 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수가 아닌 짝수이므로 모순이다.

따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $2a$, $4$
② $4a$, $4$
③ $2a$, $3$
④ $4a$, $3$
⑤ $2a$, $6$

19. 두 이차 다항식 $f ( x )$와 $g ( x )$의 최대공약수가 $x - 1$, 최소공배수가 $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$이다. 이 때, 두 집합 $$A = \left\{ x\,|\, f ( x ) = 0 \right\},\,\,\,\,B = \left\{ x\,|\, g ( x ) = 0 \right\}$$에 대하여 집합 $( A - B ) \cup ( B - A )$는?

① $\left\{ -1, 3 \right\}$
② $\left\{ -1, 2 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ -1, 1, 3 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 1, 2 \right\}$

20. 실수 $a$에 대하여 $a$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ a ]$, $a$보다 작지 않은 최소의 정수를 $\left< a \right>$로 나타내기로 한다. 예를 들어 $[ 4.3 ] =4$, $\left< 4.3\right> = 5$이다. 이 때, $\left< \left[ \dfrac{3x+8}{x+2} \right] + \dfrac{x}{5} \right>= 5$를 만족시키는 양의 정수 $x$의 개수는?

① $3$
② $5$
③ $7$
④ $9$
⑤ $11$

21. 좌표평면 위에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자. 오른쪽 그림은 $0 < x < 6$에서 직선 $y= \dfrac{4}{3} x$가 만나는 단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다. 이와 같이 생각할 때, $0<x<28$에서 직선 $y= \dfrac{11}{7} x$가 만나는 단위선분의 개수는? (단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

① $64$
② $65$
③ $66$
④ $67$
⑤ $68$

22. A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서 네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는 리그 방식의 예선전을 하였다. 각 경기에서 이긴 팀은 $3$점을 받고, 진 팀은 $0$점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 $1$점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 $6$경기가 모두 끝난 후 A팀이 $6$점, B팀이 $4$점, C팀이 $3$점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는?

① $1$점
② $3$점
③ $4$점
④ $5$점
⑤ $7$점

23. 어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다. 이 신도시에 사는 주부 $100$명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A, B, C 백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 $88$명, $75$명, $50$명이었다. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 많아야 $25$명이다.
ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 $12$명이다.
ㄷ. 적어도 $13$명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 오른쪽 그림과 같이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 $A$를 출발하여 $B$지점에 있는 중상을 입은 등산객을 싣고, $C$지점에 있는 병원으로 가려고 한다. 세 지점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $\angle ABC=30 ˚ $, $\angle BAC=15 ˚ $이고, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리가 $20$km일 때, 두 지점 $B$와 $C$ 사이의 거리는?

① $(20-5 \sqrt{2} )$km
② $(10 \sqrt{3} -10 \sqrt{2} )$km
③ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{2})$km
④ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{3)}$km
⑤ $(20 \sqrt{3} -10 \sqrt{2})$km

25. 이차방정식 $x^{2} - 3x - 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $( \alpha^{2} - 2 \alpha ) ( \beta^{2} - 2 \beta )$의 값을 구하시오.

26. $f (3)=5$를 만족하는 무리함수 $f (x) = \sqrt{ax + b}$의 역함수를 $g (x)$라 한다. $g (3)=5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f (x)=3^{x} +3^{-x}$에 대하여 $f (a)=6$일 때, $f (-2a)$의 값을 구하시오.

28. 좌표평면에서 원 $( x - a )^{2} + ( y - b )^{2} = r^{2}$이 $x$축과 두 점 $( 3 + \sqrt{21}, 0 )$, $( 3 - \sqrt{21}, 0 )$에서 만나고, $y$축과 두 점 $( 0, 6 )$, $( 0, -2 )$에서 만나도록 상수 $a$, $b$, $r$의 값을 정할 때, $a + b + r$의 값을 구하시오. (단, $r > 0$)

29. $2002$년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 $12$개와 정육각형 $20$개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다. 이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오.

30. 소리의 강도가 $P$(단위 : $W/\text{m}^{2}$)일 때, 소리의 크기 $D$(단위 : dB)는 기준 음의 강도 $I$와 비교하여 $D = 10\log_{10} \dfrac{P}{I}$로 나타낸다. A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\log_{10} 2=0.301$로 계산한다.)

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [자연계]

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [자연계]

시행 : 2002.3.28(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. 두 유리수 $a$, $b$에 대하여 등식 $\left( 1 + \sqrt{2} \right) a - \left( b + 3 \sqrt{2} \right) \sqrt{2} = 0$이 성립할 때, $a + b$의 값은?

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

2. 분수방정식 $\dfrac{x+1}{x^{2}} + \dfrac{x^{2}}{x+1} = \dfrac{5}{2}$의 모든 근의 합은?

① $1$
② $\dfrac{3}{2}$
③ $2$
④ $\dfrac{5}{2}$
⑤ $3$

3. 이차 정사각행렬 $A$, $B$가 $$(A-B)^{2} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},\,\,\,\,A^{2} +B^{2} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$을 만족할 때, 행렬 $(A+B)^{2}$의 모든 성분의 합은?

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

4. $\log_{2} (x+y)=2$, $\log_{3} x+\log_{3} y=1$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $7$
② $10$
③ $13$
④ $19$
⑤ $22$

5. 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합을 [보기]에서 모두 고르면? (단, $U$는 전체집합이다.)

 <보 기> 

ㄱ. $( A \cap C ) \cap B^{c}$
ㄴ. $(A \cap C ) - ( A \cap B \cap C )$
ㄷ. $(A - B ) \cap (C - B )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 다항식 $f (x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 각각 $x^{2} +2x+3$, $4$일 때, 다항식 $xf (x)+2$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은?

① $x^{3} +2x^{2} +3x+4$
② $x^{3} -2x^{2} +2x+3$
③ $x^{3} +x^{2} +x+4$
④ $x^{3} +3x^{2} -2x+4$
⑤ $x^{3} +4x^{2} -3x+2$

7. 이차함수 $y = f ( x )$와 일차함수 $y = g ( x )$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 $\dfrac{f ( x )}{g ( x )} - 1 = 0$의 모든 실근의 합은?

① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $8$

8. 일차변환 $f$와 행렬 $A= \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}$에 대하여 $$f (A)+f (B )= \begin{pmatrix}0 \\ 4 \end{pmatrix}$$가 성립한다. 일차변환 $f$의 역변환 $f^{-1}$가 존재할 때, $f^{-1} (B )$는?

① $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix}0 \\ 2 \end{pmatrix}$

9. $\triangle ABC$에서 $A=30 ˚ $, $\overline{AC} =8$, $\overline{BC} =4 \sqrt{2}$일 때, 예각 $C$의 크기는?

① $15 ˚ $
② $30 ˚ $
③ $45 ˚ $
④ $60 ˚ $
⑤ $75 ˚ $

10. 좌표평면 위에서 연립부등식 $\begin{cases}y \ge f ( x ) \\ y \le g ( x ) \end{cases}$의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 $\left\{ y - f ( x ) \right\} \left\{ y - g ( x ) \right\} \le 0$의 영역을 그림으로 나타내면? (단, 경계선은 모두 영역에 포함된다.)

11. 세 실수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases} ( x - a ) ( x - b ) > 0 \\ ( x - b ) ( x - c ) > 0 \end{cases}$의 해가 $x < -4$, $x > 3$일 때, 이차부등식 $x^{2} + ax + c < 0$의 해는?

① $-3 < x < 4$
② $3 < x < 4$
③ $-3 < x < 1$
④ $-1 < x < 3$
⑤ $1 < x < 3$

12. 다음 [그림1]은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림2]는 같은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.

[그림1]의 각 직사각형의 넓이를 $A$, $B$, $C$, $D$라 할 때, 다음 중 [그림2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은?

① $3A$
② $A + B$
③ $B + C$
④ $A + 2C$
⑤ $B + 2C$

13. 집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에 대하여 함수 $f (x)$는 $X$에서 $X$로의 일대일대응이다. 함수 $f (x)$가 $$(f \circ f )( 1)=4,\,\,\,\,(f \circ f )( 3)=3$$을 만족할 때, $2f (1)+4f (3)$값은? (단, $(f \circ f )( x)=f (f (x))$)

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

14. 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 조건 $p$, $q$, $r$를

$p : x^{2} +y^{2} +z^{2} =0$
$q : x^{2} +y^{2} +z^{2} +xy+yz+zx=0$
$r : x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-yz-zx=0$

이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
ㄴ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $q$는 $r$이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 폐구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 $f^{n}$을 $$f^{1} =f, f^{2} =f \circ f, \cdots , f^{n+1} = f^{n} \circ f (n=1, 2, 3, \cdots )$$이라 정의하자. 이 때, $f^{2002} (0)$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$

16. 네 일차변환 $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$, $f_{4}$를 나타내는 행렬을 각각 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\,\,\,\,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\,\,\,\,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\,\,\,\,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$이라 한다. 합성변환 $f_{1} \circ f_{2} \circ f_{3} \circ f_{4} \circ f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1}$에 의하여 점 $( a, b )$가 옮겨진 점의 좌표는?

① $( -a, b )$
② $( a, -b )$
③ $( -a, -b )$
④ $( b, a )$
⑤ $( -b, a )$

17. 이차 정사각행렬 $A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $\left| A \right|$를 $\left| A \right| =ad-bc$로 정의한다. 다음은 명제 “두 이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 역행렬이 존재하면 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다.”를 증명하는 과정이다.

$A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix}$라고 하면
$AB= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{pmatrix}$이다.
$AB$의 역행렬이 존재하면 $\fbox{　 ㈎ 　}$이다.

$\left| AB \right|=(ax+bz)(cy+dw) -(ay+bw)(cx+dz)$
$=adxw+bcyz-bcxw-adyz$
$=ad\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right) -bc\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)$
$=(ad-bc) \times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)=\left| A \right| \left| B \right|$

$\fbox{　 ㈎ 　}$이므로 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.
따라서 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $\left| AB \right| =0$, $xw+yz$, $\left| A \right| =0$이고 $\left| B \right| =0$
② $\left| AB \right| \ne 0$, $xw+yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$
③ $\left| AB \right| =0$, $xw-yz$, $\left| A \right| =0$ 또는 $\left| B \right| =0$
④ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$ 또는 $\left| B \right| \ne 0$
⑤ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$

18. 다음은 $a$, $b$가 모두 홀수일 때 $m=11a+b$, $n=3a+b$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

 <증 명> 

$a$, $b$가 홀수이므로 $m$, $n$은 모두 짝수이다.
$m$, $n$이 모두 제곱수라고 가정하면
$m=4p^{2}$, $n=4q^{2}$ ($p$, $q$는 정수)로 놓을 수 있다.
$m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a$이므로

$(p+q)(p-q)=\fbox{　 ㈎ 　}$

그런데 $p$, $q$는 정수이므로 두 수 $p+q$와 $p-q$는 모두 홀수 아니면 짝수이다.
그러므로 $(p+q)(p-q)$는 홀수이거나 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수이다.
그런데 ㈎는 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수가 아닌 짝수이므로 모순이다.

따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $2a$, $4$
② $4a$, $4$
③ $2a$, $3$
④ $4a$, $3$
⑤ $2a$, $6$

19. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{pmatrix}a & 2 \\ 1 & a-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\ -x+y \end{pmatrix}$가 $x=y=0$ 이외의 해를 가질 때, 실수 $a$의 값 들의 합은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

20. 실수 $a$에 대하여 $a$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ a ]$, $a$보다 작지 않은 최소의 정수를 $\left< a \right>$로 나타내기로 한다. 예를 들어 $[ 4.3 ] =4$, $\left< 4.3\right> = 5$이다. 이 때, $\left< \left[ \dfrac{3x+8}{x+2} \right] + \dfrac{x}{5} \right>= 5$를 만족시키는 양의 정수 $x$의 개수는?

① $3$
② $5$
③ $7$
④ $9$
⑤ $11$

21. 좌표평면 위에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자. 오른쪽 그림은 $0 < x < 6$에서 직선 $y= \dfrac{4}{3} x$가 만나는 단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다. 이와 같이 생각할 때, $0<x<28$에서 직선 $y= \dfrac{11}{7} x$가 만나는 단위선분의 개수는? (단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

① $64$
② $65$
③ $66$
④ $67$
⑤ $68$

22. A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서 네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는 리그 방식의 예선전을 하였다. 각 경기에서 이긴 팀은 $3$점을 받고, 진 팀은 $0$점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 $1$점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 $6$경기가 모두 끝난 후 A팀이 $6$점, B팀이 $4$점, C팀이 $3$점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는?

① $1$점
② $3$점
③ $4$점
④ $5$점
⑤ $7$점

23. 어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다. 이 신도시에 사는 주부 $100$명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A, B, C 백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 $88$명, $75$명, $50$명이었다. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 많아야 $25$명이다.
ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 $12$명이다.
ㄷ. 적어도 $13$명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 오른쪽 그림과 같이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 $A$를 출발하여 $B$지점에 있는 중상을 입은 등산객을 싣고, $C$지점에 있는 병원으로 가려고 한다. 세 지점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $\angle ABC=30 ˚ $, $\angle BAC=15 ˚ $이고, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리가 $20$km일 때, 두 지점 $B$와 $C$ 사이의 거리는?

① $(20-5 \sqrt{2} )$km
② $(10 \sqrt{3} -10 \sqrt{2} )$km
③ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{2})$km
④ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{3)}$km
⑤ $(20 \sqrt{3} -10 \sqrt{2})$km

25. 이차방정식 $x^{2} - 3x - 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $( \alpha^{2} - 2 \alpha ) ( \beta^{2} - 2 \beta )$의 값을 구하시오.

26. $f (3)=5$를 만족하는 무리함수 $f (x) = \sqrt{ax + b}$의 역함수를 $g (x)$라 한다. $g (3)=5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f (x)=3^{x} +3^{-x}$에 대하여 $f (a)=6$일 때, $f (-2a)$의 값을 구하시오.

28. 그림과 같이 직선도로에서 각각 10km, 30km 떨어진 두 마을 $A$, $B$가 있다. 서로 40km 떨어진 두 지점 $C$, $D$ 사이의 한 지점 $P$에서 두 마을을 연결하는 직선도로를 만들었더니, 새로 만들어진 도로의 길이의 합이 60km이었다. 이 때, $A$마을에서 $P$지점까지의 거리 $\overline{AP}$는 몇 km인지 구하시오. (단, 도로 폭은 무시하고, 두 지점 $C$, $D$는 각각 $A$마을과 $B$마을에서 도로에 이르는 최단 거리의 지점이다.)

29. $2002$년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 $12$개와 정육각형 $20$개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다. 이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오.

30. 소리의 강도가 $P$(단위 : $W/\text{m}^{2}$)일 때, 소리의 크기 $D$(단위 : dB)는 기준 음의 강도 $I$와 비교하여 $D = 10\log_{10} \dfrac{P}{I}$로 나타낸다. A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\log_{10} 2=0.301$로 계산한다.)

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [인문계]

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [인문계]

시행 : 2002.3.28(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. 두 유리수 $a$, $b$에 대하여 등식 $\left( 1 + \sqrt{2} \right) a - \left( b + 3 \sqrt{2} \right) \sqrt{2} = 0$이 성립할 때, $a + b$의 값은?

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

2. 이차방정식 $x^{2} -2 \sqrt{2} x +1 =0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $ ($\alpha < \beta $)라 할 때, $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값은?

① $3+ \sqrt{2}$
② $3+2 \sqrt{2}$
③ $4+ \sqrt{2}$
④ $4+2 \sqrt{2}$
⑤ $5+2 \sqrt{2}$

3. 이차 정사각행렬 $A$, $B$가 $$(A-B)^{2} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},\,\,\,\,A^{2} +B^{2} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$을 만족할 때, 행렬 $(A+B)^{2}$의 모든 성분의 합은?

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

4. $\log_{2} (x+y)=2$, $\log_{3} x+\log_{3} y=1$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $7$
② $10$
③ $13$
④ $19$
⑤ $22$

5. 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합을 [보기]에서 모두 고르면? (단, $U$는 전체집합이다.)

 <보 기> 

ㄱ. $( A \cap C ) \cap B^{c}$
ㄴ. $(A \cap C ) - ( A \cap B \cap C )$
ㄷ. $(A - B ) \cap (C - B )$

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 다항식 $f (x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 각각 $x^{2} +2x+3$, $4$일 때, 다항식 $xf (x)+2$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은?

① $x^{3} +2x^{2} +3x+4$
② $x^{3} -2x^{2} +2x+3$
③ $x^{3} +x^{2} +x+4$
④ $x^{3} +3x^{2} -2x+4$
⑤ $x^{3} +4x^{2} -3x+2$

7. $-1 \le x \le 3$에서 정의된 함수 $f (x)=-2x^{2} +8x+a$의 최대값이 5가 되도록 상수 $a$의 값을 정할 때, 함수 $f (x)$의 최소값은?

① $-11$
② $-12$
③ $-13$
④ $-14$
⑤ $-15$

8. 이차 정사각행렬 $A$가 $A^{12} = A^{8} = E$를 만족할 때, 다음 중 $A$의 역행렬을 나타내는 것은? (단, $E$는 단 위행렬이다.)

① $A$
② $A^{2}$
③ $A^{3}$
④ $A^{4}$
⑤ $A+E$

9. $\triangle ABC$에서 $A=30 ˚ $, $\overline{AC} =8$, $\overline{BC} =4 \sqrt{2}$일 때, 예각 $C$의 크기는?

① $15 ˚ $
② $30 ˚ $
③ $45 ˚ $
④ $60 ˚ $
⑤ $75 ˚ $

10. 좌표평면 위에서 연립부등식 $\begin{cases}y \ge f ( x ) \\ y \le g ( x ) \end{cases}$의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 $\left\{ y - f ( x ) \right\} \left\{ y - g ( x ) \right\} \le 0$의 영역을 그림으로 나타내면? (단, 경계선은 모두 영역에 포함된다.)

11. 세 실수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $\begin{cases} ( x - a ) ( x - b ) > 0 \\ ( x - b ) ( x - c ) > 0 \end{cases}$의 해가 $x < -4$, $x > 3$일 때, 이차부등식 $x^{2} + ax + c < 0$의 해는?

① $-3 < x < 4$
② $3 < x < 4$
③ $-3 < x < 1$
④ $-1 < x < 3$
⑤ $1 < x < 3$

12. 다음 [그림1]은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림2]는 같은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.

[그림1]의 각 직사각형의 넓이를 $A$, $B$, $C$, $D$라 할 때, 다음 중 [그림2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은?

① $3A$
② $A + B$
③ $B + C$
④ $A + 2C$
⑤ $B + 2C$

13. 집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에 대하여 함수 $f (x)$는 $X$에서 $X$로의 일대일대응이다. 함수 $f (x)$가 $$(f \circ f )( 1)=4,\,\,\,\,(f \circ f )( 3)=3$$을 만족할 때, $2f (1)+4f (3)$값은? (단, $(f \circ f )( x)=f (f (x))$)

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

14. 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 조건 $p$, $q$, $r$를

$p : x^{2} +y^{2} +z^{2} =0$
$q : x^{2} +y^{2} +z^{2} +xy+yz+zx=0$
$r : x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-yz-zx=0$

이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
ㄴ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $q$는 $r$이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 폐구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 $f^{n}$을 $$f^{1} =f, f^{2} =f \circ f, \cdots , f^{n+1} = f^{n} \circ f (n=1, 2, 3, \cdots )$$이라 정의하자. 이 때, $f^{2002} (0)$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)

① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$

16. 오른쪽 그림의 사면체 $A$-$BCD$에서 $\overline{AD} \,⊥\, \overline{BD}$, $\overline{AD} \,⊥\, \overline{DC}$이고, $\overline{AB} = \overline{AC}$이다. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $\angle ABC =\angle ACB$
ㄴ. $\angle BAC=\angle BDC$
ㄷ. $\overline{BD} = \overline{CD}$
ㄹ. $\angle ABD=\angle ACD$

① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄱ, ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

17. 이차 정사각행렬 $A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 $\left| A \right|$를 $\left| A \right| =ad-bc$로 정의한다. 다음은 명제 “두 이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 역행렬이 존재하면 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다.”를 증명하는 과정이다.

$A= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix}$라고 하면
$AB= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{pmatrix}$이다.
$AB$의 역행렬이 존재하면 $\fbox{　 ㈎ 　}$이다.

$\left| AB \right|=(ax+bz)(cy+dw) -(ay+bw)(cx+dz)$
$=adxw+bcyz-bcxw-adyz$
$=ad\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right) -bc\times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)$
$=(ad-bc) \times \left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)=\left| A \right| \left| B \right|$

$\fbox{　 ㈎ 　}$이므로 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.
따라서 $A$, $B$ 모두 역행렬이 존재한다

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $\left| AB \right| =0$, $xw+yz$, $\left| A \right| =0$이고 $\left| B \right| =0$
② $\left| AB \right| \ne 0$, $xw+yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$
③ $\left| AB \right| =0$, $xw-yz$, $\left| A \right| =0$ 또는 $\left| B \right| =0$
④ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$ 또는 $\left| B \right| \ne 0$
⑤ $\left| AB \right| \ne 0$, $xw-yz$, $\left| A \right| \ne 0$이고 $\left| B \right| \ne 0$

18. 다음은 $a$, $b$가 모두 홀수일 때 $m=11a+b$, $n=3a+b$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

 <증 명> 

$a$, $b$가 홀수이므로 $m$, $n$은 모두 짝수이다.
$m$, $n$이 모두 제곱수라고 가정하면
$m=4p^{2}$, $n=4q^{2}$ ($p$, $q$는 정수)로 놓을 수 있다.
$m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a$이므로

$(p+q)(p-q)=\fbox{　 ㈎ 　}$

그런데 $p$, $q$는 정수이므로 두 수 $p+q$와 $p-q$는 모두 홀수 아니면 짝수이다.
그러므로 $(p+q)(p-q)$는 홀수이거나 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수이다.
그런데 ㈎는 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수가 아닌 짝수이므로 모순이다.

따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $2a$, $4$
② $4a$, $4$
③ $2a$, $3$
④ $4a$, $3$
⑤ $2a$, $6$

19. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{pmatrix}a & 2 \\ 1 & a-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\ -x+y \end{pmatrix}$가 $x=y=0$ 이외의 해를 가질 때, 실수 $a$의 값 들의 합은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

20. 실수 $a$에 대하여 $a$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ a ]$, $a$보다 작지 않은 최소의 정수를 $\left< a \right>$로 나타내기로 한다. 예를 들어 $[ 4.3 ] =4$, $\left< 4.3\right> = 5$이다. 이 때, $\left< \left[ \dfrac{3x+8}{x+2} \right] + \dfrac{x}{5} \right>= 5$를 만족시키는 양의 정수 $x$의 개수는?

① $3$
② $5$
③ $7$
④ $9$
⑤ $11$

21. 좌표평면 위에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자. 오른쪽 그림은 $0 < x < 6$에서 직선 $y= \dfrac{4}{3} x$가 만나는 단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다. 이와 같이 생각할 때, $0<x<28$에서 직선 $y= \dfrac{11}{7} x$가 만나는 단위선분의 개수는? (단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

① $64$
② $65$
③ $66$
④ $67$
⑤ $68$

22. A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서 네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는 리그 방식의 예선전을 하였다. 각 경기에서 이긴 팀은 $3$점을 받고, 진 팀은 $0$점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 $1$점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 $6$경기가 모두 끝난 후 A팀이 $6$점, B팀이 $4$점, C팀이 $3$점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는?

① $1$점
② $3$점
③ $4$점
④ $5$점
⑤ $7$점

23. 어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다. 이 신도시에 사는 주부 $100$명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A, B, C 백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 $88$명, $75$명, $50$명이었다. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 많아야 $25$명이다.
ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 $12$명이다.
ㄷ. 적어도 $13$명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

24. 오른쪽 그림과 같이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 $A$를 출발하여 $B$지점에 있는 중상을 입은 등산객을 싣고, $C$지점에 있는 병원으로 가려고 한다. 세 지점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $\angle ABC=30 ˚ $, $\angle BAC=15 ˚ $이고, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리가 $20$km일 때, 두 지점 $B$와 $C$ 사이의 거리는?

① $(20-5 \sqrt{2} )$km
② $(10 \sqrt{3} -10 \sqrt{2} )$km
③ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{2})$km
④ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{3)}$km
⑤ $(20 \sqrt{3} -10 \sqrt{2})$km

25. 이차방정식 $x^{2} - 3x - 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $( \alpha^{2} - 2 \alpha ) ( \beta^{2} - 2 \beta )$의 값을 구하시오.

26. $f (3)=5$를 만족하는 무리함수 $f (x) = \sqrt{ax + b}$의 역함수를 $g (x)$라 한다. $g (3)=5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

27. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f (x)=3^{x} +3^{-x}$에 대하여 $f (a)=6$일 때, $f (-2a)$의 값을 구하시오.

28. 좌표평면에서 원 $( x - a )^{2} + ( y - b )^{2} = r^{2}$이 $x$축과 두 점 $( 3 + \sqrt{21}, 0 )$, $( 3 - \sqrt{21}, 0 )$에서 만나고, $y$축과 두 점 $( 0, 6 )$, $( 0, -2 )$에서 만나도록 상수 $a$, $b$, $r$의 값을 정할 때, $a + b + r$의 값을 구하시오. (단, $r > 0$)

29. $2002$년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 $12$개와 정육각형 $20$개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다. 이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오.

30. 소리의 강도가 $P$(단위 : $W/\text{m}^{2}$)일 때, 소리의 크기 $D$(단위 : dB)는 기준 음의 강도 $I$와 비교하여 $D = 10\log_{10} \dfrac{P}{I}$로 나타낸다. A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\log_{10} 2=0.301$로 계산한다.)

2002학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [예체능계]

2002학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [예체능계]

시행 : 2001.11.7(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. $\left( \sqrt{2} \right)^{5}$의 값은?

① $\sqrt{2}$
② $2$
③ $2 \sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $4 \sqrt{2}$

2. 이차방정식 $x^{2} +7x+1=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta $일 때, $$( \alpha^{2} + \beta^{2} )+7( \alpha + \beta )$$의 값은?

① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $1$
⑤ $3$

3. $\left(2+2\sin \dfrac{\pi}{3} \right)\left(2-\tan \dfrac{\pi}{3} \right)$의 값은?

① $1$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{1}{5}$

4. 다항식 $x^{3} +3x^{2} +ax+b$가 $x+1$로 나누어 떨어질 때, $a-b$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

5. 그림과 같이 직사각형 $ABCD$가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원에 내접해 있다. $x$축과 선분 $OA$가 이루는 각을 $\theta $라 할 때, $\cos ( \pi - \theta )$와 같은 것은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$)

① $A$의 $x$좌표
② $B$의 $y$좌표
③ $C$의 $x$좌표
④ $C$의 $y$좌표
⑤ $D$의 $x$좌표

6. 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 각각 아래 그림과 같다.

다음 중 $y=(g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은?

7. 두 다항식 $x^{3} -1$, $x^{3} -2x+1$의 최대공약수는?

① $x$
② $x-1$
③ $x+1$
④ $x-2$
⑤ $x+2$

8. 분수함수 $y= \dfrac{1}{x}$의 그래프가 직선 $y=ax$에 대하여 대칭이 되는 상수 $a$의 값을 모두 구하면?

① $-1$, $1$
② $-2$, $2$
③ $-3$, $3$
④ $-4$, $4$
⑤ $-5$, $5$

9. 반지름의 길이가 $r$이고 높이가 $1$인 원기둥에 물이 들어있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 $\theta $라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 $h$를 $\theta $로 표시하면? (단, $0 < \theta < \pi$, $0 < h < \dfrac{1}{2}$)

① $h= \dfrac{1}{2 \pi} \theta $
② $h= \dfrac{1}{2 \pi} \sin \theta $
③ $h= \theta -\sin \theta $
④ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta +\sin \theta )$
⑤ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta -\sin \theta )$

10. 좌표평면에서 두 점 $(1, 3)$, $(3, 1)$을 지나는 직선과 원점 사이의 거리는?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $2 \sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $3 \sqrt{2}$

11. 두 함수 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^{2} -2x+1$가 $(g \circ f) (2^{x} )= \dfrac{1}{4}$을 만족시킬 때, $x$의 값은?

① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$

12. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 $1$인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 $A$와 $B$에서 출발하여 $A$, $B$ 이외의 교차로 $P$에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 $4$가 되는 $P$의 위치를 모두 표시하면?

13. 다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대한 설명이다.

㈎ 점 $A$와 점 $B$는 $x$축 위에 있다.
㈏ 점 $B$의 $x$좌표는 점 $A$의 $x$좌표보다 크다.
㈐ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{CD}$

점 $A$, $B$, $C$, $D$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 옳은 것은?

① $a < d < c < b$
② $c < a < d < b$
③ $c < d < a < b$
④ $d < a < c < b$
⑤ $d < c < a < b$

14. 좌표평면의 제$1$사분면 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $Q$, $R$라 하자. 점 $A(-1, -1)$에 대하여 $\overline{PA} = \overline{PQ} + \overline{PR}$를 만족시키는 점 $P$의 자취의 개형은?

15. 자연수 $n$에 대하여 $n^{2}$을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 $f(n)$이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $f(3)=4$
ㄴ. $0 \le f(n) \le 4$
ㄷ. $f(n)=2$인 자연수 $n$은 없다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 전체집합 $U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$의 서로 다른 두 부분집합 $X$, $Y$에 대하여 $(X \cup Y )-(X \cap Y )$의 가장 작은 원소가 $X$에 속할 때, $X⇨Y$라 하자. $U$의 부분집합 $A= \left\{ 2, 3, 4 \right\}$, $B= \left\{ 1, 2, 5 \right\}$, $C= \left\{ 2, 4, 5 \right\}$에 대하여 옳은 것은?

① $A⇨B⇨C$
② $A⇨C⇨B$
③ $B⇨A⇨C$
④ $B⇨C⇨A$
⑤ $C⇨A⇨B$

17. 다음은 지수법칙 $a^{r+s} =a^{r} a^{s}$으로부터 모든 양수 $x$, $y$에 대하여 $$\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$$ 가 성립함을 증명한 것이다. (단, $a \ne 1$, $a > 0$)

 <증 명> 

$r=\log_{a} x$, $s=\log_{a} y$로 놓으면 $$a^{r} =x,\,\,\,\,a^{s} =\fbox{　 ㈎ 　}$$ 지수법칙으로부터 $a^{r+s} =\fbox{　 ㈏ 　}$
로그의 정의에 의하여 $r+s=\log_{a}\fbox{　 ㈏ 　}$
그러므로 $\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $x$, $x+y$
② $y$, $x+y$
③ $x$, $xy$
④ $y$, $xy$
⑤ $x$, $\dfrac{x}{y}$

18. 다음은 $\triangle ABC$에서 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$일 때, 삼각형 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$임을 증명한 것이다.

 <증 명> 

가정에 의해 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$이므로
$\angle A < \angle B < \angle C$
점 $P$를 지나고 선분 $BC$에 평행한 직선이 선분 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자.
선분 $DE$와 선분 $BC$가 평행하므로 $$\angle ADE= \angle B,\,\,\,\,\angle AED= \angle C$$ 따라서, $\angle A < \angle ADE < \angle AED$
그러므로 $\triangle ADE$에서 $\fbox{　　 ㈎ 　　}$ $\cdots$ ①
이고 $\overline{PA} < \overline{AD}$ $\cdots$ ②
$\triangle BDP$에서 $\overline{PB} < \overline{PD} + \overline{DB}$ $\cdots$ ③
$\triangle EPC$에서 $\overline{PC} < \overline{PE} + \overline{EC}$ $\cdots$ ④
①, ②, ③, ④에서 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $\overline{AD} < \overline{AE} < \overline{DE}$
② $\overline{AD} < \overline{DE} < \overline{AE}$
③ $\overline{AE} < \overline{AD} < \overline{DE}$
④ $\overline{AE} < \overline{DE} < \overline{AD}$
⑤ $\overline{DE} < \overline{AE} < \overline{AD}$

19. $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$일 때, $\log (\sin \theta )-\log (\cos \theta )= \dfrac{1}{2} \log 3$을 만족시키는 $\theta $의 값은? (단, $\log $는 상용로그)

① $\dfrac{1}{6} \pi $
② $\dfrac{1}{4} \pi $
③ $\dfrac{2}{7} \pi $
④ $\dfrac{1}{3} \pi $
⑤ $\dfrac{2}{5} \pi $

20. 좌표평면 위에 여섯 개의 점 $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$이 있다. 이 중 세 점을 지나는 이차함수 $y=f(x)$의 개수는?

① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$

21. 함수 $f(x)=\sin \left(x+ \dfrac{\pi}{2} \right)-\cos^{2} (x+ \pi )$의 최대값은?

① $\dfrac{1}{4}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{3}{4}$
④ $1$
⑤ $\dfrac{5}{4}$

22. 영어의 알파벳 $A$, $B$, $\cdots$, $Z$에 십진법의 수 $1$부터 $26$에 해당하는 이진법의 수 $00001_{(2)}$, $00010_{(2)}$, $\cdots$, $11010_{(2)}$을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 $\alpha $와 $\beta $의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 $0$, 다르면 $1$을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 $\alpha \land \beta $라 하자. 예를 들면 $$10001_{(2)} \land 10101_{(2)} =00100_{(2)},\,\,\,\,00001_{(2)} \land 10101_{(2)} =10100_{(2)}$$ 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 $10101_{(2)}$과 연산 $\land $을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 $10100_{(2)}$인 알파벳은 $A$이다. 암호가 $11001_{(2)}$인 알파벳은?

① $B$
② $D$
③ $L$
④ $P$
⑤ $S$

23. 좌표평면 위의 네 점 $(-2, 2)$, $(4, 2)$, $(1, -2)$, $(4, -2)$에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 $P$에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 $P$를 중심으로 $360˚$ 회전 가능하고, 점 $P$로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 $P$의 좌표는?

① $(0, 0)$
② $(0, 1)$
③ $(0, -1)$
④ $(1, 0)$
⑤ $(1, 1)$

24. 마라톤 경기의 총 구간의 거리는 $42.195$km이다. 어떤 마라톤 선수의 기록이 $2$시간 $6$분 $30$초였다. 마지막 $195$m를 $30$초에 달렸다면, 처음 $42$km구간에서 $100$m를 평균 몇 초에 달렸는가?

① $14$초
② $15$초
③ $16$초
④ $17$초
⑤ $18$초

25. 삼차함수 $f(x)=ax^{3} +b$의 역함수 $f^{-1}$가 $f^{-1} (5)=2$를 만족시킬 때, $8a+b$의 값을 구하시오.

26. 다항식 $f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지가 $4x+3$일 때, $f(2x)$를 $x-1$로 나눈 나머지를 구하시오.

27. $\log_{2} 2+\log_{2} 4+\log_{2} 8+\log_{2} 16$의 값을 구하시오.

28. $1 < a < 10$일 때 $\sqrt{(a^{2} -100)^{2}} + \sqrt{(a^{2} -1)^{2}}$의 값을 구하시오.

29. 함수 $y=10^{ax}$의 역함수가 $y= \dfrac{a}{100} \log x$일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오. (단, $\log $는 상용로그)

30. $\dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{5}}{\sqrt{21} + \sqrt{5}} + \dfrac{\sqrt{21} + \sqrt{5}}{\sqrt{21} - \sqrt{5}}$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.

2002학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [자연계]

2002학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [자연계]

시행 : 2001.11.7(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com에 있습니다.

1. $\left( \sqrt{2} \right)^{5}$의 값은?

① $\sqrt{2}$
② $2$
③ $2 \sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $4 \sqrt{2}$

2. 이차방정식 $x^{2} +7x+1=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta $일 때, $$( \alpha^{2} + \beta^{2} )+7( \alpha + \beta )$$의 값은?

① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $1$
⑤ $3$

3. $\left(2+2\sin \dfrac{\pi}{3} \right)\left(2-\tan \dfrac{\pi}{3} \right)$의 값은?

① $1$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{1}{5}$

4. $f(x)=(x^{2} +1)e^{x}$일 때, $f^{\prime} (0)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

5. 거리가 $1$인 두 평행한 평면으로 반지름의 길이가 1인 구를 잘라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합의 최대값은?

① $\dfrac{1}{2} \pi $
② $\dfrac{3}{4} \pi $
③ $\pi $
④ $\dfrac{3}{2} \pi $
⑤ $2 \pi $

6. 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{2} -y^{2} =1$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표는?

① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $2$
⑤ $3$

7. $A= \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}$일 때, 행렬 $A^{-1} +AB$는? (단, $A^{-1}$는 $A$의 역행렬)

① $\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}$

8. 복소평면 위의 다음 곡선 중 그 위의 어떠한 두 점 $P(z_{1} )$, $Q(z_{2} )$에 대하여도 복소수 $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$이 순허수가 될 수 없는 것은?

9. 일차변환 $f$를 나타내는 행렬이 $$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$ 라 하자. 오른쪽 그림의 꺾인 선분 $OAB$를 $f$에 의하여 옮겨서 얻은 꺾인 선분과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① $\sqrt{2}$
② $2 \sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $1$
⑤ $2$

10. 구간 $[0, 1]$에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x)=ax+a$로 주어졌을 때, 상수 $a$의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$
② $\dfrac{2}{3}$
③ $1$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $2$

11. 삼차함수 $y=f(x)$가 서로 다른 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $$f(a)=f(b)=0,\,\,\,\,f^{\prime} (a)=f^{\prime} (c)=0$$을 만족시킨다. $c$를 $a$와 $b$로 나타내면?

① $a+b$
② $\dfrac{a+b}{2}$
③ $\dfrac{a+b}{3}$
④ $\dfrac{a+2b}{3}$
⑤ $\dfrac{2a+b}{3}$

12. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 $1$인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 $A$와 $B$에서 출발하여 $A$, $B$ 이외의 교차로 $P$에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 $4$가 되는 $P$의 위치를 모두 표시하면?

13. 다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대한 설명이다.

㈎ 점 $A$와 점 $B$는 $x$축 위에 있다.
㈏ 점 $B$의 $x$좌표는 점 $A$의 $x$좌표보다 크다.
㈐ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{CD}$

점 $A$, $B$, $C$, $D$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 옳은 것은?

① $a < d < c < b$
② $c < a < d < b$
③ $c < d < a < b$
④ $d < a < c < b$
⑤ $d < c < a < b$

14. 좌표평면의 제$1$사분면 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $Q$, $R$라 하자. 점 $A(-1, -1)$에 대하여 $\overline{PA} = \overline{PQ} + \overline{PR}$를 만족시키는 점 $P$의 자취의 개형은?

15. 자연수 $n$에 대하여 $n^{2}$을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 $f(n)$이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $f(3)=4$
ㄴ. $0 \le f(n) \le 4$
ㄷ. $f(n)=2$인 자연수 $n$은 없다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 전체집합 $U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$의 서로 다른 두 부분집합 $X$, $Y$에 대하여 $(X \cup Y )-(X \cap Y )$의 가장 작은 원소가 $X$에 속할 때, $X⇨Y$라 하자. $U$의 부분집합 $A= \left\{ 2, 3, 4 \right\}$, $B= \left\{ 1, 2, 5 \right\}$, $C= \left\{ 2, 4, 5 \right\}$에 대하여 옳은 것은?

① $A⇨B⇨C$
② $A⇨C⇨B$
③ $B⇨A⇨C$
④ $B⇨C⇨A$
⑤ $C⇨A⇨B$

17. 다음은 지수법칙 $a^{r+s} =a^{r} a^{s}$으로부터 모든 양수 $x$, $y$에 대하여 $$\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$$ 가 성립함을 증명한 것이다. (단, $a \ne 1$, $a > 0$)

 <증 명> 

$r=\log_{a} x$, $s=\log_{a} y$로 놓으면 $$a^{r} =x,\,\,\,\,a^{s} =\fbox{　 ㈎ 　}$$ 지수법칙으로부터 $a^{r+s} =\fbox{　 ㈏ 　}$
로그의 정의에 의하여 $r+s=\log_{a}\fbox{　 ㈏ 　}$
그러므로 $\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $x$, $x+y$
② $y$, $x+y$
③ $x$, $xy$
④ $y$, $xy$
⑤ $x$, $\dfrac{x}{y}$

18. 다음은 $\triangle ABC$에서 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$일 때, 삼각형 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$임을 증명한 것이다.

 <증 명> 

가정에 의해 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$이므로
$\angle A < \angle B < \angle C$
점 $P$를 지나고 선분 $BC$에 평행한 직선이 선분 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자.
선분 $DE$와 선분 $BC$가 평행하므로 $$\angle ADE= \angle B,\,\,\,\,\angle AED= \angle C$$ 따라서, $\angle A < \angle ADE < \angle AED$
그러므로 $\triangle ADE$에서 $\fbox{　　 ㈎ 　　}$ $\cdots$ ①
이고 $\overline{PA} < \overline{AD}$ $\cdots$ ②
$\triangle BDP$에서 $\overline{PB} < \overline{PD} + \overline{DB}$ $\cdots$ ③
$\triangle EPC$에서 $\overline{PC} < \overline{PE} + \overline{EC}$ $\cdots$ ④
①, ②, ③, ④에서 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $\overline{AD} < \overline{AE} < \overline{DE}$
② $\overline{AD} < \overline{DE} < \overline{AE}$
③ $\overline{AE} < \overline{AD} < \overline{DE}$
④ $\overline{AE} < \overline{DE} < \overline{AD}$
⑤ $\overline{DE} < \overline{AE} < \overline{AD}$

19. 그림에서 선분 $AB$는 원 $O$의 지름이고 $\angle AOC= \dfrac{\pi}{4}$, $\overline{OC}\, \bot\, \overline{AD}$이다. $\angle ABD= \theta $일 때, $\sin 2 \theta $의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$
② $\dfrac{2}{3}$
③ $\dfrac{3}{4}$
④ $\dfrac{3}{5}$
⑤ $\dfrac{4}{5}$

20. 함수 $y=x^{3} +ax$의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 $45 ˚ $ 회전시켜서 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 $y=f(x)$의 그래프가 되는 $a$의 범위는?

① $a \ge 1$
② $a \ge 0$
③ $a \le 1$
④ $a \le -1$
⑤ $0 \le a \le 2$

21. 다음은 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^{2} +1)dx$의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.

그림 ㈎, ㈏와 같이 폐구간 $\left[ 0, 1 \right]$을 $n$등분하여 얻은 $n$개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 $A$, $B$라 하자. $A-B \le 0.15$가 되는 $n$의 최소값은?

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

22. 영어의 알파벳 $A$, $B$, $\cdots$, $Z$에 십진법의 수 $1$부터 $26$에 해당하는 이진법의 수 $00001_{(2)}$, $00010_{(2)}$, $\cdots$, $11010_{(2)}$을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 $\alpha $와 $\beta $의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 $0$, 다르면 $1$을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 $\alpha \land \beta $라 하자. 예를 들면 $$10001_{(2)} \land 10101_{(2)} =00100_{(2)},\,\,\,\,00001_{(2)} \land 10101_{(2)} =10100_{(2)}$$ 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 $10101_{(2)}$과 연산 $\land $을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 $10100_{(2)}$인 알파벳은 $A$이다. 암호가 $11001_{(2)}$인 알파벳은?

① $B$
② $D$
③ $L$
④ $P$
⑤ $S$

23. 좌표평면 위의 네 점 $(-2, 2)$, $(4, 2)$, $(1, -2)$, $(4, -2)$에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 $P$에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 $P$를 중심으로 $360˚$ 회전 가능하고, 점 $P$로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 $P$의 좌표는?

① $(0, 0)$
② $(0, 1)$
③ $(0, -1)$
④ $(1, 0)$
⑤ $(1, 1)$

24. 다음은 세게 석유 소비 증가 추세에 관한 글들이다.

$\cdots$ 매년 석유 소비량을 조사한 결과, 최근 10년 동안 소비된 석유의 양은 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같다. 예를 들어 1981년부터 1990년까지 소비된 석유의 양은 1980년까지 소비된 석유 전체의 양과 같다. $\cdots$

이와 같은 석유 소비 추세가 계속된다고 가정하고, 현재까지 소비된 석유의 양을 $a$, 현재의 석유의 매장량을 $b$라 할 때, 앞으로 몇 년 동안 석유를 사용할 수 있겠는가?

① $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{2a} +1\right)$
② $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{a} +1\right)$
③ $10\log_{2} \left( \dfrac{2b}{a} +1\right)$
④ $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{a} +2\right)$
⑤ $10\log_{2} \left( \dfrac{2b}{a} +2\right)$

25. 삼차함수 $f(x)=ax^{3} +b$의 역함수 $f^{-1}$가 $f^{-1} (5)=2$를 만족시킬 때, $8a+b$의 값을 구하시오.

26. 다항식 $f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지가 $4x+3$일 때, $f(2x)$를 $x-1$로 나눈 나머지를 구하시오.

27. 두 벡터 $\overrightarrow{a} =(9, x+1, -12)$, $\overrightarrow{b} =(-8, x, 7)$이 수직일 때, 양수 $x$의 값을 구하시오.

28. 문자 $a$, $b$, $c$에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 $a$가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면 $aab$, $aaa$ 등은 수신이 불가능하고 $bba$, $aba$ 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오.

29. 함수 $f(x)$가 $f(10)=50$, $f(1)=3$을 만족시킬 때, $$\displaystyle\sum_{k=1}^{9} f(k+1)- \displaystyle\sum_{k=2}^{10} f(k-1)$$ 의 값을 구하시오.

30. 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi\over2} (\sin^{3} x+1)\cos x dx$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.

2002학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [인문계]

2002학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ) [인문계]

시행 : 2001.11.7(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. $\left( \sqrt{2} \right)^{5}$의 값은?

① $\sqrt{2}$
② $2$
③ $2 \sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $4 \sqrt{2}$

2. 이차방정식 $x^{2} +7x+1=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta $일 때, $$( \alpha^{2} + \beta^{2} )+7( \alpha + \beta )$$의 값은?

① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $1$
⑤ $3$

3. $\left(2+2\sin \dfrac{\pi}{3} \right)\left(2-\tan \dfrac{\pi}{3} \right)$의 값은?

① $1$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{1}{5}$

4. $f(x)=x^{5} +x$일 때, $f^{\prime} (1)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $5$
④ $6$
⑤ $12$

5. 그림과 같이 직사각형 $ABCD$가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원에 내접해 있다. $x$축과 선분 $OA$가 이루는 각을 $\theta $라 할 때, $\cos ( \pi - \theta )$와 같은 것은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$)

① $A$의 $x$좌표
② $B$의 $y$좌표
③ $C$의 $x$좌표
④ $C$의 $y$좌표
⑤ $D$의 $x$좌표

6. 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 각각 아래 그림과 같다.

다음 중 $y=(g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은?

7. $A= \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}$일 때, 행렬 $A^{-1} +AB$는? (단, $A^{-1}$는 $A$의 역행렬)

① $\begin{pmatrix}0&2\\0&1\end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}$

8. 분수함수 $y= \dfrac{1}{x}$의 그래프가 직선 $y=ax$에 대하여 대칭이 되는 상수 $a$의 값을 모두 구하면?

① $-1$, $1$
② $-2$, $2$
③ $-3$, $3$
④ $-4$, $4$
⑤ $-5$, $5$

9. 반지름의 길이가 $r$이고 높이가 $1$인 원기둥에 물이 들어있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 $\theta $라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 $h$를 $\theta $로 표시하면? (단, $0 < \theta < \pi$, $0 < h < \dfrac{1}{2}$)

① $h= \dfrac{1}{2 \pi} \theta $
② $h= \dfrac{1}{2 \pi} \sin \theta $
③ $h= \theta -\sin \theta $
④ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta +\sin \theta )$
⑤ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta -\sin \theta )$

10. 구간 $[0, 1]$에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x)=ax+a$로 주어졌을 때, 상수 $a$의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$
② $\dfrac{2}{3}$
③ $1$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $2$

11. 삼차함수 $y=f(x)$가 서로 다른 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $$f(a)=f(b)=0,\,\,\,\,f^{\prime} (a)=f^{\prime} (c)=0$$을 만족시킨다. $c$를 $a$와 $b$로 나타내면?

① $a+b$
② $\dfrac{a+b}{2}$
③ $\dfrac{a+b}{3}$
④ $\dfrac{a+2b}{3}$
⑤ $\dfrac{2a+b}{3}$

12. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 $1$인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 $A$와 $B$에서 출발하여 $A$, $B$ 이외의 교차로 $P$에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 $4$가 되는 $P$의 위치를 모두 표시하면?

13. 다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대한 설명이다.

㈎ 점 $A$와 점 $B$는 $x$축 위에 있다.
㈏ 점 $B$의 $x$좌표는 점 $A$의 $x$좌표보다 크다.
㈐ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{CD}$

점 $A$, $B$, $C$, $D$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 옳은 것은?

① $a < d < c < b$
② $c < a < d < b$
③ $c < d < a < b$
④ $d < a < c < b$
⑤ $d < c < a < b$

14. 좌표평면의 제$1$사분면 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $Q$, $R$라 하자. 점 $A(-1, -1)$에 대하여 $\overline{PA} = \overline{PQ} + \overline{PR}$를 만족시키는 점 $P$의 자취의 개형은?

15. 자연수 $n$에 대하여 $n^{2}$을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 $f(n)$이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

 <보 기> 

ㄱ. $f(3)=4$
ㄴ. $0 \le f(n) \le 4$
ㄷ. $f(n)=2$인 자연수 $n$은 없다.

① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 전체집합 $U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$의 서로 다른 두 부분집합 $X$, $Y$에 대하여 $(X \cup Y )-(X \cap Y )$의 가장 작은 원소가 $X$에 속할 때, $X⇨Y$라 하자. $U$의 부분집합 $A= \left\{ 2, 3, 4 \right\}$, $B= \left\{ 1, 2, 5 \right\}$, $C= \left\{ 2, 4, 5 \right\}$에 대하여 옳은 것은?

① $A⇨B⇨C$
② $A⇨C⇨B$
③ $B⇨A⇨C$
④ $B⇨C⇨A$
⑤ $C⇨A⇨B$

17. 다음은 지수법칙 $a^{r+s} =a^{r} a^{s}$으로부터 모든 양수 $x$, $y$에 대하여 $$\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$$ 가 성립함을 증명한 것이다. (단, $a \ne 1$, $a > 0$)

 <증 명> 

$r=\log_{a} x$, $s=\log_{a} y$로 놓으면 $$a^{r} =x,\,\,\,\,a^{s} =\fbox{　 ㈎ 　}$$ 지수법칙으로부터 $a^{r+s} =\fbox{　 ㈏ 　}$
로그의 정의에 의하여 $r+s=\log_{a}\fbox{　 ㈏ 　}$
그러므로 $\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $x$, $x+y$
② $y$, $x+y$
③ $x$, $xy$
④ $y$, $xy$
⑤ $x$, $\dfrac{x}{y}$

18. 다음은 $\triangle ABC$에서 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$일 때, 삼각형 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$임을 증명한 것이다.

 <증 명> 

가정에 의해 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$이므로
$\angle A < \angle B < \angle C$
점 $P$를 지나고 선분 $BC$에 평행한 직선이 선분 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자.
선분 $DE$와 선분 $BC$가 평행하므로 $$\angle ADE= \angle B,\,\,\,\,\angle AED= \angle C$$ 따라서, $\angle A < \angle ADE < \angle AED$
그러므로 $\triangle ADE$에서 $\fbox{　　 ㈎ 　　}$ $\cdots$ ①
이고 $\overline{PA} < \overline{AD}$ $\cdots$ ②
$\triangle BDP$에서 $\overline{PB} < \overline{PD} + \overline{DB}$ $\cdots$ ③
$\triangle EPC$에서 $\overline{PC} < \overline{PE} + \overline{EC}$ $\cdots$ ④
①, ②, ③, ④에서 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $\overline{AD} < \overline{AE} < \overline{DE}$
② $\overline{AD} < \overline{DE} < \overline{AE}$
③ $\overline{AE} < \overline{AD} < \overline{DE}$
④ $\overline{AE} < \overline{DE} < \overline{AD}$
⑤ $\overline{DE} < \overline{AE} < \overline{AD}$

19. $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$일 때, $\log (\sin \theta )-\log (\cos \theta )= \dfrac{1}{2} \log 3$을 만족시키는 $\theta $의 값은? (단, $\log $는 상용로그)

① $\dfrac{1}{6} \pi $
② $\dfrac{1}{4} \pi $
③ $\dfrac{2}{7} \pi $
④ $\dfrac{1}{3} \pi $
⑤ $\dfrac{2}{5} \pi $

20. 좌표평면 위에 여섯 개의 점 $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$이 있다. 이 중 세 점을 지나는 이차함수 $y=f(x)$의 개수는?

① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$

21. 다음은 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^{2} +1)dx$의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.

그림 ㈎, ㈏와 같이 폐구간 $\left[ 0, 1 \right]$을 $n$등분하여 얻은 $n$개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 $A$, $B$라 하자. $A-B \le 0.15$가 되는 $n$의 최소값은?

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

22. 영어의 알파벳 $A$, $B$, $\cdots$, $Z$에 십진법의 수 $1$부터 $26$에 해당하는 이진법의 수 $00001_{(2)}$, $00010_{(2)}$, $\cdots$, $11010_{(2)}$을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 $\alpha $와 $\beta $의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 $0$, 다르면 $1$을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 $\alpha \land \beta $라 하자. 예를 들면 $$10001_{(2)} \land 10101_{(2)} =00100_{(2)},\,\,\,\,00001_{(2)} \land 10101_{(2)} =10100_{(2)}$$ 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 $10101_{(2)}$과 연산 $\land $을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 $10100_{(2)}$인 알파벳은 $A$이다. 암호가 $11001_{(2)}$인 알파벳은?

① $B$
② $D$
③ $L$
④ $P$
⑤ $S$

23. 좌표평면 위의 네 점 $(-2, 2)$, $(4, 2)$, $(1, -2)$, $(4, -2)$에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 $P$에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 $P$를 중심으로 $360˚$ 회전 가능하고, 점 $P$로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 $P$의 좌표는?

① $(0, 0)$
② $(0, 1)$
③ $(0, -1)$
④ $(1, 0)$
⑤ $(1, 1)$

24. 다음은 세게 석유 소비 증가 추세에 관한 글들이다.

$\cdots$ 매년 석유 소비량을 조사한 결과, 최근 10년 동안 소비된 석유의 양은 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같다. 예를 들어 1981년부터 1990년까지 소비된 석유의 양은 1980년까지 소비된 석유 전체의 양과 같다. $\cdots$

이와 같은 석유 소비 추세가 계속된다고 가정하고, 현재까지 소비된 석유의 양을 $a$, 현재의 석유의 매장량을 $b$라 할 때, 앞으로 몇 년 동안 석유를 사용할 수 있겠는가?

① $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{2a} +1\right)$
② $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{a} +1\right)$
③ $10\log_{2} \left( \dfrac{2b}{a} +1\right)$
④ $10\log_{2} \left( \dfrac{b}{a} +2\right)$
⑤ $10\log_{2} \left( \dfrac{2b}{a} +2\right)$

25. 삼차함수 $f(x)=ax^{3} +b$의 역함수 $f^{-1}$가 $f^{-1} (5)=2$를 만족시킬 때, $8a+b$의 값을 구하시오.

26. 다항식 $f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지가 $4x+3$일 때, $f(2x)$를 $x-1$로 나눈 나머지를 구하시오.

27. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{8(x^{4} -1)}{(x^{2} -1)f(x)} =1$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

28. 문자 $a$, $b$, $c$에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 $a$가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면 $aab$, $aaa$ 등은 수신이 불가능하고 $bba$, $aba$ 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오.

29. 함수 $f(x)$가 $f(10)=50$, $f(1)=3$을 만족시킬 때, $$\displaystyle\sum_{k=1}^{9} f(k+1)- \displaystyle\sum_{k=2}^{10} f(k-1)$$ 의 값을 구하시오.

30. 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} (x+1) (x^{2} -x+1) dx$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.