2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [선택] [미적분]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [선택] [미적분]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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23. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$의 값은? [2점]

① $\dfrac{1}{5}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{3}{5}$
④ $\dfrac{4}{5}$
⑤ $1$

24. 매개변수 $t$ ($t > 0$)으로 나타내어진 곡선 $$x = \ln(t^{3} +1),\,\,\,\,y = \sin\pi t$$에서 $t = 1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} \pi$
② $- \dfrac{2}{3} \pi$
③ $-\pi$
④ $- \dfrac{4}{3} \pi$
⑤ $- \dfrac{5}{3} \pi$

25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이고, $g^{\prime}(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$에 대하여 $$\displaystyle\int_{1}^{a}\dfrac{1}{g^{\prime}(f(x))f(x)}dx = 2\ln a+\ln(a+1)-\ln2$$이고 $f(1) = 8$일 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $36$
② $40$
③ $44$
④ $48$
⑤ $52$

26. 그림과 같이 곡선 $y =\sqrt{(1-2x)\cos x}$ ($\dfrac{3}{4} \pi \le x \le \dfrac{5}{4} \pi$)와 $x$축 및 두 직선 $x = \dfrac{3}{4} \pi$, $x = \dfrac{5}{4} \pi$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① $\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
② $\sqrt{2}\pi -1$
③ $2\sqrt{2}\pi -\sqrt{2}$
④ $2\sqrt{2}\pi -1$
⑤ $2\sqrt{2}\pi$

27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y = \dfrac{1}{e^{x}} +e^{t}$에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a) = -e\sqrt{e}$를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f^{\prime}(a)$의 값은? [3점]

① $- \dfrac{1}{3} e\sqrt{e}$
② $- \dfrac{1}{2} e\sqrt{e}$
③ $- \dfrac{2}{3} e\sqrt{e}$
④ $- \dfrac{5}{6} e\sqrt{e}$
⑤ $-e\sqrt{e}$

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^{2}}$이다. 모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t)$, $h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 $$2g(t) + h(t) = k\,\,\,\,(\text{$k$는 상수})$$를 만족시킨다. $\displaystyle\int_{0}^{7}f(x)dx = e^{4} -1$일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{3}{2} e^{5}$
② $\dfrac{4}{3} e^{7}$
③ $\dfrac{5}{4} e^{9}$
④ $\dfrac{6}{5} e^{11}$
⑤ $\dfrac{7}{6} e^{13}$

29. 첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$, $\left\{b_{n}\right\}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 각각 수렴하고 $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} =\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\right) \times\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\right),\,\,\,\,3\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|= 7\times \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|$$이 성립한다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_{2n- 1} +b_{3n+ 1}}{b_{n}} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime}(x)$가 $$f^{\prime}(x) = |\sin x|\cos x$$이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y = g(x)$라 하자. 함수 $$h(x) =\displaystyle\int_{0}^{x}\left\{f(t) -g(t)\right\}dt$$가 $x = a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_{n}$이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_{6} -a_{2})$의 값을 구하시오. [4점]