2024학년도 대학수학능력시험 수학 영역 [선택] [기하]

2024학년도 대학수학능력시험

수학 영역 [선택] [기하]

시행 : 2023.11.16(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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23. 좌표공간의 두 점 $A(a, -2, 6)$, $B(9, 2, b)$에 대하여 선분 $AB$의 중점의 좌표가 $(4, 0, 7)$일 때, $a + b$의 값은? [2점]

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

24. 타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{6}= 1$ 위의 점 $\left(\sqrt{3}, -2\right)$에서의 접선의 기울기는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]

① $\sqrt{3}$
② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

25. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$\left|\overrightarrow{a}\right| = \sqrt{11},\,\,\,\,\left|\overrightarrow{b}\right| = 3,\,\,\,\,\left|2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right| = \sqrt{17}$$일 때, $\left|\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right|$의 값은? [3점]

① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
② $\sqrt{2}$
③ $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
④ $2\sqrt{2}$
⑤ $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

26. 좌표공간에 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $A$, $B$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $A^{\prime}$, $B^{\prime}$이라 할 때, $$\overline{AB} =\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 6$$이다. 선분 $AB$의 중점 $M$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $M^{\prime}$이라 할 때, $$\overline{PM^{\prime}}\, ⊥\, \overline{A^{\prime}B^{\prime}}, \,\,\,\,\overline{PM^{\prime}} = 6$$이 되도록 평면 $\alpha$ 위에 점 $P$를 잡는다. 삼각형 $A^{\prime}B^{\prime}P$의 평면 $ABP$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 선분 $PM$의 길이는? [3점]

① $12$
② $15$
③ $18$
④ $21$
⑤ $24$

27. 초점이 $F$인 포물선 $y^{2} = 8x$ 위의 한 점 $A$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $B$라 하고, 직선 $BF$와 포물선이 만나는 두 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\overline{BC} =\overline{CD}$일 때, 삼각형 $ABD$의 넓이는? (단, $\overline{CF} <\overline{DF}$이고, 점 $A$는 원점이 아니다.) [3점]

① $100\sqrt{2}$
② $104\sqrt{2}$
③ $108\sqrt{2}$
④ $112\sqrt{2}$
⑤ $116\sqrt{2}$

28. 그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 위에 $\overline{AB} = 18$인 두 점 $A$, $B$가 있다. 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 $C_{1}$이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $AB$를 장축으로 하고 두 점 $F$, $F^{\prime}$을 초점으로 하는 타원 $C_{2}$가 평면 $\beta$ 위에 있다. 원 $C_{1}$ 위의 한 점 $P$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, $\overline{HF^{\prime}} <\overline{HF}$이고 $\angle HFF^{\prime}= \dfrac{\pi}{6}$이다. 직선 $HF$와 타원 $C_{2}$가 만나는 점 중 점 $H$와 가까운 점을 $Q$라 하면, $\overline{FH} <\overline{FQ}$이다. 점 $H$를 중심으로 하고 점 $Q$를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 $4$이고 직선 $AB$에 접한다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값은? (단, 점 $P$는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]

① $\dfrac{2\sqrt{66}}{33}$
② $\dfrac{4\sqrt{69}}{69}$
③ $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
④ $\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$
⑤ $\dfrac{2\sqrt{78}}{39}$

29. 양수 $c$에 대하여 두 점 $F(c, 0)$, $F^{\prime}(-c, 0)$을 초점으로 하고, 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $P$, $Q$가 존재하도록 하는 모든 $c$의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 점 $P$는 제$1$사분면 위에 있고, 점 $Q$는 직선 $PF^{\prime}$ 위에 있다.
(나) 삼각형 $PF^{\prime}F$는 이등변삼각형이다.
(다) 삼각형 $PQF$의 둘레의 길이는 $28$이다.

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $ABC$가 있다. 선분 $AB$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $D$, 선분 $BC$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $E$, 선분 $CA$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $F$ 라 하자. 네 점 $P$, $Q$, $R$, $X$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left|\overrightarrow{DP}\right|= \left|\overrightarrow{EQ}\right|= \left|\overrightarrow{FR}\right|= 1$
(나) $\overrightarrow{AX} =\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{QC} + \overrightarrow{RA}$

$\left|\overrightarrow{AX}\right|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $PQR$의 넓이를 $S$라 하자. $16S^{2}$의 값을 구하시오. [4점]