2003-04 2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수리영역[인문계](수학)

2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수리영역[인문계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 경기교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2003년 4월 24일 (목)에 시행되었습니다.

2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가

수리영역[인문계](수학)

시행 : 2003.4.24(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 경기교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$4 \log_{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \log_{2} 3 - \log_{2} \sqrt{6}$을 간단히 하면?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{1}{2} +\log_{2} 3$

③ $- \dfrac{1}{2}$

④ $- \dfrac{1}{2} +\log_{2} 3$

⑤ $\dfrac{3}{2}$

공집합이 아닌 세 집합 $A$, $B$, $C$가 전체집합 $U$의 부분집합일 때, 다음 중 $(A \cup B) \cap (C \cap B^{c} )^{c}$와 항상 같은 집합은?

① $B - (A - C)$

② $B \cap (A - C)$

③ $B \cup (A \cap C)$

④ $B \cup (A - C)$

⑤ $(A \cup B) \cap C^{c}$

$x$, $y$가 실수이고 $x^{2} +y^{2} = 4$일 때, $x+3y$의 최대값은?

① $2 \sqrt{10}$

② $3 \sqrt{10}$

③ $4 \sqrt{5}$

④ $5 \sqrt{2}$

⑤ $4 \sqrt{10}$

집합 $A_{n}$을 다음과 같이 정의한다. $$A_{n} = \left\{ m \left| \left[ \dfrac{m}{n} \right] =0\text{, $m$, $n$은 서로소인 자연수}\right. \right\}$$ 다음 중 옳지 않은 것은? (단, $\left[ x \right]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)

① $A_{1} = \phi $

② $A_{2} \cap A_{3} = A_{2}$

③ $A_{2} \cup A_{3} = A_{3}$

④ $A_{3} \cup A_{4} = A_{4}$

⑤ $A_{3} \cap A_{4} = A_{2}$

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $2$, $5$인 동심원이 있다. 어두운 부분의 둘레의 길이가 $12$일 때, 부채꼴 $OAB$의 중심각 $\theta $의 값은?

① $\dfrac{2}{7}$

② $\dfrac{3}{7}$

③ $\dfrac{4}{7}$

④ $\dfrac{5}{7}$

⑤ $\dfrac{6}{7}$

$0$이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$는 아래 두 조건 ㈎와 ㈏를 모두 만족한다.

㈎ $(a-2)(b-2)(c-2) = 0$
㈏ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}$

이 때, $a + b + c$의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $1$

④ $2$

⑤ $3$

다음은 양수 $a$, $b$에 대하여 $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$가 성립함을 증명하는 과정이다.

증명

그림과 같이 $O$가 중심이고 선분 $AB$가 지름인 반원에서 $\overline{AC} = a$, $\overline{BC} = b$이고 선분 $CD$, $OE$는 모두 선분 $AB$에 수직이다.
$\angle ADB$는 지름 $AB$에 대한 원주각이므로
$\triangle ADB$는 직각삼각형이다.
또한, $\triangle ACD \,\text{∽}\, \triangle DCB$이므로 $\fbox{　 ㈎ 　}^{2}= \overline{AC} \cdot \overline{BC} = ab$
$\therefore$ $\fbox{　 ㈎ 　}= \sqrt{ab}$
한편, $\fbox{　 ㈏ 　}= \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{a+b}{2}$
이 때, $\fbox{　 ㈎ 　} \le \fbox{　 ㈏ 　}$이므로 $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$이다.

위의 [증명] 과정에서 다음 중 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① $\overline{OE}$  $\overline{BD}$

② $\overline{CD}$  $\overline{OE}$

③ $\overline{OE}$  $\overline{AD}$

④ $\overline{AD}$  $\overline{OE}$

⑤ $\overline{AC}$  $\overline{CD}$

$x$의 이차방정식 $x^{2} -x-k=0$의 한 근 $\alpha $가 $\dfrac{3}{2} \le \alpha < \dfrac{5}{2}$일 때, 정수 $k$의 개수는?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

지난 해 세 학생이 $3$회의 수학 시험에서 얻은 성적은 표와 같다.

학생 ＼ 월	$5$월	$7$월	$9$월
혜연	$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
선영	$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{2}$
인희	$a_{3}$	$b_{3}$	$c_{3}$

이 자료를 행렬 $A= \begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{pmatrix}$로 나타내고, 행렬 $B= \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C= \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$라 할 때, 행렬 $BAC$의 계산 결과로 얻을 수 있는 것은?

① $5$월 세 학생의 수학 평균 점수

② $7$월 세 학생의 수학 평균 점수

③ $9$월 세 학생의 수학 평균 점수

④ 혜연이의 $3$개월 수학 평균 점수

⑤ 인희의 $3$개월 수학 평균 점수

이차방정식 $x^{2} -x-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $\dfrac{1}{1+ \alpha^{3}} + \dfrac{1}{1+ \beta^{3}}$의 값은?

① $0$

② $\dfrac{1}{4}$

③ $\dfrac{1}{2}$

④ $1$

⑤ $\dfrac{3}{2}$

분수함수 $y = \dfrac{c x + d}{a x + b}$의 그래프가 그림과 같을 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 실수이다.)

보기

ㄱ. $b = c$
ㄴ. $a b < 0$
ㄷ. $\dfrac{d}{b} < 0$

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

부등식 $x^{2} + | x | -2 < 0$의 해를 구하면?

① $-2 < x < 2$

② $-1 < x < 2$

③ $-2 < x < 1$

④ $-1 < x < 1$

⑤ $0 < x < 2$

수직선 위의 두 점 $A$, $B$에 대하여 선분 $AB$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $A \circledcirc B$로 나타내기로 한다. 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $(A \circledcirc B) \circledcirc C$와 $(B \circledcirc C) \circledcirc A$가 일치할 때, 다음 중 세 점의 위치 관계로 옳은 것은?

① 점 $A$는 선분 $BC$의 중점이다.

② 점 $B$는 선분 $AC$의 중점이다.

③ 점 $C$는 선분 $AB$의 중점이다.

④ 점 $A$는 선분 $BC$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다.

⑤ 점 $C$는 선분 $AB$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다.

실수 $x$에 대하여 정의된 두 함수 $f (x) = x-[ x ]$와 $g (x) = [ x ]+1$에 대하여 다음 중 $y = (g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은? (단, $[ x ]$는 $x$를 넘지 않는 최대정수이다.)

자연수 전체의 집합 $N$에서 $N$으로의 함수 $f$를 $$f (n) = (n\text{의 모든 양의 약수의 곱})$$ 으로 정의할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $p$가 소수이면 $f (p) = p$
ㄴ. $m < n$이면 $f (m) < f (n)$
ㄷ. $m$, $n$이 서로소이면 $f (m n)=f (m) f (n)$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

어떤 농장에서 현재 토끼를 $200$마리 사육하고 있다. 매달마다 전 달에 비하여 그 수가 $20 \%$씩 증가할 때, 토끼 수가 처음으로 $3000$마리 이상 되는 것은 몇 개월 후인가? (단, $\log_{10} 1.2 = 0.08$, $\log_{10} 1. 5 = 0. 18$로 계산한다.)

① $13$

② $15$

③ $17$

④ $19$

⑤ $21$

다음 함수 중 주기함수가 아닌 것은?

① $y= | \sin x | $

② $y= | \cos x | $

③ $y= | \tan x | $

④ $y=\sin | x | $

⑤ $y=\cos | x | $

행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여 행렬 $A^{n}$의 $(1, 2)$성분은? (단, $A^{n+1} =A \cdot A^{n}$, $n$은 자연수이다.)

① $2^{n+1} -2$

② $2^{n+1} -1$

③ $2^{n} -2$

④ $2^{n} -1$

⑤ $2^{n}$

수열 $\dfrac{1}{1}$, $\dfrac{1}{1+2}$, $\dfrac{1}{1+2+3}$, $\cdots $, $\dfrac{1}{1+2+ \cdots +10}$의 합을 구하는 순서도이다.
다음 중 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① $A \leftarrow A + n$  $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$

② $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$  $A \leftarrow A + n$

③ $S \leftarrow S + A$  $A \leftarrow A + n$

④ $A \leftarrow A + \dfrac{1}{n}$  $S \leftarrow S + A$

⑤ $A \leftarrow A + \dfrac{1}{n}$  $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$

$23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재하지 않음을 증명한 과정이다.

증명

$23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재한다면
어떤 자연수 $n$에 대하여 $23p+1=n^{2}$꼴로 나타낼 수 있다.
$23p=(n-1)(n+1)$ $\cdots$ ①
$23$이 소수이므로 $n-1$과 $n+1$ 중 적어도 하나는 $23$의 배수이다.
ⅰ) $n-1$이 $23$의 배수일 때,
$n-1 = 23s$ ($s$는 자연수)로 놓고
이 식을 ①에 대입하면 $p = s (23s+2)$ $\cdots$ ②
그런데 $p$가 소수이므로 $s =\fbox{ $A$ }$
이 값을 ②에 대입하면, $p =\fbox{ $B$ }$
$\therefore$ $p$는 소수가 아니다.
ⅱ) $n+1$이 $23$의 배수일 때,
$n+1 = 23t$ ($t$는 자연수)로 놓고
이 식을 ②에 대입하면 $p = t (23t-2)$ $\cdots$ ③
그런데 $p$가 소수이므로 $t =\fbox{ $A$ }$
이 값을 ③에 대입하면, $p =\fbox{ $C$ }$
$\therefore$ $p$는 소수가 아니다.
따라서, $23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재하지 않는다.

위의 증명 과정에서 $A+B+C$의 값은?

① $43$

② $44$

③ $45$

④ $46$

⑤ $47$

이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $O$는 영행렬이고 $E$는 단위행렬이다.)

보기

ㄱ. $A^{2} -B^{2} = O$이면 $A = B$ 또는 $A = -B$
ㄴ. $A^{2} -A-2E = O$일 때, $A$의 역행렬은 $A-E$이다.
ㄷ. $A$의 역행렬이 존재할 때, $AB = O$이면 $B = O$이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

$12 \times 12$의 모든 칸에 아래와 같은 규칙에 따라 수가 배열되어 있다.
이 수들의 총합은?

① $1064$

② $1118$

③ $1222$

④ $1274$

⑤ $1326$

첫째항과 공비가 양수인 등비수열의 $l$째항, $m$째항, $n$째항의 값을 각각 $X$, $Y$, $Z$라 할 때, $$(m-n )\log X + (n-l )\log Y + (l-m )\log Z$$ 의 값은?

① $-1$

② $0$

③ $1$

④ $l + m + n$

⑤ $l m n$

그림과 같이 지점 $O$에서 해안선 $A$를 따라 동쪽으로 $30$km 떨어진 지점 $H$에서 북쪽으로 $10$km 떨어진 곳에 섬이 있다. 이 섬을 출발하여 해안선 $A$에 있는 선착장을 거쳐 해안선 $B$에 있는 선착장을 경유하여 되돌아오는 유람선을 운행하려고 한다. 유람선의 항해거리가 최소가 되도록 해안선 $A$와 해안선 $B$에 선착장을 만들려고 할 때, 해안선 $A$에 있는 선착장은 $O$에서 얼마나 떨어진 지점에 만들어야 하는가? (단, 해안선 $A$와 해안선 $B$가 이루는 각은 $45 \degree $이다.)

① $15$km

② $17$km

③ $20$km

④ $23$km

⑤ $25$km

$x = \dfrac{1- \sqrt{2} i}{3}$일 때, $3x^{2} -2x$의 값을 구하시오. (단, $i = \sqrt{-1}$이다.)

양수 $a$, $b$에 대하여 $f (a, b )= \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}}$라 할 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{f (k, k+1)}$의 값을 구하시오.

그림과 같이 두 변의 길이가 각각 $10$, $8$인 직사각형 $ABCD$가 있다. 점 $B$가 중심이고 선분 $AB$를 반지름으로 하는 사분원을 그린 후, 점 $C$에서 이 사분원에 접선을 그어 선분 $AD$와 만난 점을 $E$라 할 때, $\overline{AE}$의 길이를 구하시오.

집합 $X = \left\{ 1, 2, 3, 4\right\}$에 대하여 함수 $f : X \to X$를 다음과 같이 정의하였다.
함수 $g : X \to X$에 대하여 $g (1)=3$이고, $f \circ g = g \circ f$가 성립할 때, $g (2) + g (3)$의 값을 구하시오.

$a$, $b$, $c$가 정수인 이차 정사각행렬 $A= \begin{pmatrix}0 & a \\ b & c \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재한다. $A = A^{-1}$를 만족시키는 행렬 $A$의 개수를 구하시오. (단, $A^{-1}$은 $A$의 역행렬이다.)

삼각형의 세 꼭지점에서 각각의 대변 또는 그 연장선에 내린 수선의 길이의 비가 $2 : 3 : 4$이다. 이 삼각형의 내각 중 최대각을 $\theta $라 할 때, $\dfrac{1}{\cos \theta}$의 값을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.