1995-11 1996학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

1996학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1995년 11월 22일 (수)에 시행되었습니다.

1996학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

시행 : 1995.11.22(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$x=2- \sqrt{3}$, $y=2+ \sqrt{3}$일 때, $\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}$의 값은?

① $8$

② $10$

③ $12$

④ $14$

⑤ $16$

다항식 $x^{4} -3x^{2} +ax+5$를 $x+2$로 나누면 나머지가 $3$이다. $a$의 값은?

① $0$

② $2$

③ $3$

④ $-2$

⑤ $-3$

행렬 $A= \begin{pmatrix}1&-1\\0&1 \end{pmatrix}$일 때, $A^{3}$은?

① $\begin{pmatrix}1&-3\\0&1 \end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix} 1&0\\-3&1 \end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix} 1&-1\\-1&1 \end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix}3&-3\\0&3 \end{pmatrix}$

정적분 $\displaystyle\int_{-1}^{1} | x | e^{x} dx$의 값은?

① $2(e+1)$

② $2(1-e^{-1})$

③ $2(e-e^{-1})$

④ $2(e^{-1} -e)$

⑤ $2(e+e^{-1})$

방정식 $\cos^{2} x-\sin^{2} 2x=0$을 만족하는 $0 \le x \le 2 \pi$인 서로 다른 실근의 개수는?

① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

삼각형 $ABC$에 대한 명제 ‘$\overline{AB} = \overline{AC}$이면 $\angle B= \angle C$이다.’의 역, 이, 대우 중 참인 명제를 모두 적은 것은?

① 대우

② 역, 이

③ 이, 대우

④ 역, 대우

⑤ 역, 이, 대우

오른쪽 그림은 함수 $y=f (x)$와 $y=x$의 그래프이다. $0 < a < b$일 때, 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\dfrac{f(a)}{a} < \dfrac{f(b)}{b}$
ㄴ. $f(b)-f(a) > b-a$
ㄷ. $f^{\prime} (a) > f^{\prime} (b)$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

부등식 $(x^{2} -4y^{2})(x^{2} -6x+y^{2} +8) \le 0$의 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면? (단, 검은 부분의 경계선은 포함한다.)

함수 $y=f (x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 주어져 있다. 아래의 그래프로 각각 주어진 함수 $y=g_{1} (x)$, $y=g_{2} (x)$, $y=g_{3} (x)$ 중에서 $f (x)$와 곱하여 얻어지는 함수 $y=f(x) g_{k} (x)$ ($k=1$, $2$, $3$)이 구간 $[-1, 3 ]$에서 연속이 되는 $g_{k} (x)$를 모두 고르면?

① $g_{1} (x)$

② $g_{2} (x)$

③ $g_{1} (x)$, $g_{2} (x)$

④ $g_{1} (x)$, $g_{3} (x)$

⑤ $g_{1} (x)$, $g_{2} (x)$, $g_{3} (x)$

$k=1$, $2$, $3$, $\cdots$에 대하여 $b_{k}$가 $0$ 또는 $1$이고 $$\log_{7} 2= \dfrac{b_{1}}{2} + \dfrac{b_{2}}{2^{2}} + \dfrac{b_{3}}{2^{3}} + \dfrac{b_{4}}{2^{4}} + \cdots$$ 일 때, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$의 값을 순서대로 적으면?

① $0$, $0$, $0$

② $0$, $1$, $0$

③ $0$, $0$, $1$

④ $0$, $1$, $1$

⑤ $1$, $1$, $1$

$\overline{AB} =2$, $\overline{BC} =1$, $\angle B=90˚ $인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 변 $AB$를 $n$등분한 점을 오른쪽 그림과 같이 $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $\cdots$, $B_{n-1}$이라 하고, 각 점에서 변 $BC $에 평행하게 직선을 그어 변 $AC$와 만나는 점을 각각 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $\cdots$, $C_{n-1}$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{2 \pi}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \overline{B_{k} C_{k}}^{2}$의 값은?

① $\dfrac{\pi}{6}$

② $\dfrac{\pi}{3}$

③ $\dfrac{\pi}{2}$

④ $\dfrac{2 \pi}{3}$

⑤ $\pi$

다음 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은?

① $1$, $5$, $1$, $5$, $1$, $5$, $1$, $5$, $1$, $5$

② $1$, $5$, $1$, $5$, $1$, $5$, $3$, $3$, $3$, $3$

③ $2$, $4$, $2$, $4$, $2$, $4$, $2$, $4$, $2$, $4$

④ $2$, $4$, $2$, $4$, $2$, $4$, $3$, $3$, $3$, $3$

⑤ $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $4$

오른쪽 그림에서 직사각형 $AODB$와 $OFGD$는 합동이고, 직사각형 $BDEC$와 $DGHE$도 합동이다. 어떤 일차변환이 점 $B$를 점 $E$로, 점 $D$를 점 $A$로 옮길 때, 점 $A$가 옮겨지는 점은?

① $B$

② $C$

③ $F$

④ $G$

⑤ $H$

실수 전체에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프는 다음과 같다.
$g(x)=\sin x$일 때, 합성함수 $y=(g \circ f)(x)$의 그래프의 개형은?

그림과 같은 자동차 경주 코스를 두 자동차 A, B가 같은 방향으로 돌고 있다. 자동차 A, B의 속력은 각각 분속 $a$km/분과 $b$km/분이고, 경주 코스 한 바퀴의 길이는 $c$km이다. $$3a-3b=2c$$ 가 성립한다고 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① $3$분마다 A는 B보다 두 바퀴 더 돈다.

② $3$분마다 A는 B보다 한 바퀴 더 돈다.

③ $2$분마다 A는 B보다 세 바퀴 더 돈다.

④ $2$분마다 B는 A보다 두 바퀴 더 돈다.

⑤ $2$분마다 B는 A보다 세 바퀴 더 돈다.

반지름의 길이가 $r$인 공이 잔잔한 물 위에 떠 있다. 오른쪽 그림과 같이 공의 수면 아래 부분의 깊이가 $\dfrac{r}{3}$일 때, 다음 중에서 수면 위에 있는 부분의 부피를 나타내는 수학적 표현은?

① $\pi \displaystyle\int_{r\over3}^{2r} (r^{2} -y^{2})dy$

② $\pi \displaystyle\int_{- {2\over3} r}^{2r} (r^{2} -y^{2})dy$

③ $\pi \displaystyle\int_{- {2\over3} r}^{2r} (r-y)^{2} dy$

④ $\pi \displaystyle\int_{r\over3}^{2r} \left(r- \sqrt{r^{2} -y^{2}}\right)^{2} dy$

⑤ $\pi \displaystyle\int_{r\over3}^{r} \left(r- \sqrt{r^{2} -y^{2}}\right)^{2} dy$

오른쪽 정육면체에서 임의의 세 꼭지점을 택하여 삼각형을 만들 때, 그림과 같은 정삼각형과 합동인 삼각형을 만들 수 있는 방법의 수는?

① $4$

② $6$

③ $8$

④ $12$

⑤ $24$

다음은 제품 $p_{n}$을 만드는 방법과 소요시간에 대한 설명이다. (단, $n=2^{k}$, $k=0$, $1$, $2$, $3$, $\cdots$)

가. 제품 $p_{1}$을 하나 만드는 데 걸리는 시간은 $1$이다.
나. 제품 $p_{1}$을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를 연결하면 제품 $p_{2}$가 한 개 만들어진다.
다. 제품 $p_{n}$을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를 연결하면 제품 $p_{2n}$이 한 개 만들어진다. 이 때, 제품 $p_{n}$을 두 개 연결하는데 걸리는 시간은 $2n$이다

이 때, 제품 $p_{16}$을 한 개 만드는데 걸리는 시간은?

① $32$

② $64$

③ $80$

④ $96$

⑤ $112$

오른쪽 그림은 정사각형들을 붙여 놓은 것이다. 정사각형 $A$의 한 변의 길이와 $B$의 한 변의 길이의 비는?

① $4 : 3$

② $8 : 5$

③ $15 : 12$

④ $16 : 11$

⑤ $17 : 13$

오른쪽 그림과 같이 선분 $AB$ 위에 한 점 $C$를 잡고 선분 $AB$의 위쪽에 두 정삼각형 $ACD$, $BCE$를 만들었다. 다음은 $\overline{AE} = \overline{DB}$임을 증명한 것이다.

증 명

정삼각형 $ACD$에서 $\fbox{　㈎　}$ $\cdots$ ⑴
정삼각형 $BCE$에서 $\fbox{　㈏　}$ $\cdots$ ⑵
또, $\angle ACD= \angle ECB=60˚ $이므로
$\angle ACE=60˚ + \angle DCE= \angle DCB$ $\cdots$ ⑶
⑴, ⑵, ⑶에서 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로 $\triangle ACE \equiv \triangle DCB$
따라서, $\overline{AE} = \overline{DB}$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 차례대로 쓴 것은?

① $\overline{AC} = \overline{AD}$, $\overline{CE} = \overline{BE}$

② $\overline{AC} = \overline{DC}$, $\overline{CE} = \overline{BE}$

③ $\overline{AD} = \overline{CD}$, $\overline{CB} = \overline{BE}$

④ $\overline{AC} = \overline{AD}$, $\overline{CE} = \overline{CB}$

⑤ $\overline{AC} = \overline{DC}$, $\overline{CE} = \overline{CB}$

다음은 ‘$p$가 짝수, $q$가 홀수이면 방정식 $x^{2} +px-2q=0$은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을 증명한 것이다.

증 명

$x$가 $\fbox{　㈎　}$이면 $x^{2}$은 $\fbox{　㈎　}$이고 $px-2q$는 짝수이다.
따라서 $x^{2} +px-2q$가 $\fbox{　㈎　}$가 되므로 $\fbox{　㈏　}$이 될 수 없다.
$x$가 $\fbox{　㈐　}$이면 $x^{2} +px$는 $4$의 배수이고 $2q$는 $4$의 배수가 아니다. 그런데 $\fbox{　㈑　}$이므로 모순이다.
따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

위의 증명에서 ㈎$\sim$㈑에 알맞은 것은?

① 짝수 / 0 / 홀수 / $x^{2} +px=2q$

② 짝수 / 이차식 / 홀수 / $2q$는 짝수

③ 정수 / 0 / 짝수 / $x^{2} +px=2q$

④ 홀수 / 이차식 / 짝수 / $2q$는 짝수

⑤ 홀수 / 0 / 짝수 / $x^{2} +px=2q$

$1$부터 $10$까지의 자연수가 하나씩 적힌 열 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자 안의 공들을 잘 섞은 후에 차례로 두 개의 공을 꺼낼 때, 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 처음 꺼낸 공에 적힌 수보다 큰 수일 확률은 $\dfrac{1}{2}$이다. 다음은 이에 대한 증명이다. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

증 명

처음 꺼낸 공에 적힌 수를 $X_{1}$, 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 $X_{2}$라 하고 구하는 확률을 $p$라 하자.
$1$부터 $10$까지의 자연수 $n$에 대하여 $X_{1} =n$인 사건을 $A_{n}$이라 하고, $X_{2} \ge n+1$인 사건을 $B_{n}$이라 하자.
그러면 $p= \displaystyle\sum_{n=1}^{10} \fbox{　㈎　}\cdot P(A_{n})= \displaystyle\sum_{n=1}^{9} \dfrac{10-n}{9} \cdot \fbox{　㈏　}= \dfrac{1}{2}$

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① $P(A_{n} \cap B_{n})$, $\dfrac{1}{10}$

② $P(B_{n})$, $\dfrac{1}{10}$

③ $P(B_{n})$, $\dfrac{1}{9}$

④ $P(B_{n} |A_{n})$, $\dfrac{9}{10}$

⑤ $P(B_{n} |A_{n})$, $\dfrac{1}{10}$

함수 $y= \dfrac{x^{2}}{4} +a$ ($x \ge 0$)의 역함수를 $g (x)$라 할 때, 방정식 $f (x)=g (x)$가 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가질 실수 $a$의 값의 범위는?

① $0 \le a < 1$

② $a \ge 0$

③ $a < 1$

④ $0 < a < 2$

⑤ $a < 2$

복소평면 위의 점 $P (1)$에서 $i$를 지나는 반직선 위의 점들의 집합을 $A$라 하자. $z^{5} = 1$을 만족하는 서로 다른 $5$개의 복소수 중에서 $A$의 적당한 원소와의 곱이 실수가 되는 원소의 개수는? (단, $i = \sqrt{-1}$)

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

좌표평면 위의 세 점 $A(0, 2)$, $B(-1, 0)$, $C(1, 0)$으로 이루어지는 $\triangle ABC$의 내부 또는 변 위의 점 $P$에서 변 $AB$, $BC$, $CA$까지의 거리를 각각 $a$, $b$, $c$라 하자. $4b=5(a+c)^{2}$일 때 점 $P$의 자취는?

① 한 점

② $x$축에 평행인 선분

③ $y$축에 평행인 선분

④ 포물선의 일부인 곡선

⑤ 원의 일부인 곡선

좌표공간에서 두 개의 구 $$x^{2} +y^{2} +z^{2} =6,$$ $$(x-1)^{2} +(y-2)^{2} +(z-2)^{2} =9$$ 가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 $\alpha $라고 하자. 평면 $\alpha $와 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 $\theta $라고 할 때, $\cos \theta $의 값은? (단, $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$)

① $\dfrac{1}{3}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{2}{3}$

④ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⑤ $\dfrac{3}{4}$

보트가 남쪽에서 북쪽으로 $10$m/초의 등속도로 호수 위를 지나가고 있다. 수면 위 $20$m의 높이에 동서로 놓인 다리 위를 자동차가 서쪽에서 동쪽으로 $20$m/초의 등속도로 달리고 있다. 아래 그림과 같이 지금 보트는 수면 위의 점 $P$에서 남쪽 $40$m, 자동차는 다리 위의 점 $Q$에서 서쪽 $30$m 지점에 각각 위치해 있다. 보트와 자동차 사이의 거리가 최소가 될 때의 거리는? (단, 자동차와 보트의 크기는 무시하고, 선분 $PQ$는 보트와 자동차의 경로에 각각 수직이다.)

① $21$m

② $24$m

③ $27$m

④ $30$m

⑤ $33$m

대학수학능력시험 수리ㆍ탐구 영역(Ⅰ)의 문항 수는 $30$개이고 배점은 $40$점이다. 문항별 배점은 $1$점, $1.5$점, $2$점의 세 종류이다. 각 배점 종류별 문항이 적어도 한 문항씩 포함되도록 하려면 $1$점짜리 문항은 최소 몇 문항이어야 하는가?

① $8$

② $9$

③ $10$

④ $11$

⑤ $12$

가로의 길이가 $10$, 세로의 길이가 $6$인 아래 그림과 같은 직사각형의 내부에서 반지름의 길이가 $1$인 원이 지나간 자리에는 형광 페인트가 칠해진다고 한다. 원의 중심이 그림과 같이 $A$부터 $B$까지 화살표 방향의 경로를 따라 움직일 때, 직사각형의 영역 중 형광 페인트가 칠해지지 않는 부분의 넓이는? (단, 경로를 구성하는 모든 선분은 직사각형의 변에 평행하거나 수직이다.)

① $0$

② $10- \dfrac{5}{2} \pi$

③ $8-2 \pi$

④ $6- \dfrac{3}{2} \pi$

⑤ $4- \pi$

반지름의 길이 $1$m인 원판에 기대어 있는 막대 $\overline{OP}$의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 $O$에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을 $Q$라 하자. 원판의 중심이 오른쪽 으로 지면과 평행하게 등속도 $1.5$m/초로 움직인다. $\overline{OQ} =2$m되는 순간, 막대 $\overline{OP}$가 지면과 이루는 각의 크기 $\theta $의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다.)

① $- \dfrac{3}{5}$

② $- \dfrac{3}{2}$

③ $- \dfrac{3}{10}$

④ $- \dfrac{\sqrt{5}}{6}$

⑤ $- \dfrac{3}{2 \sqrt{5}}$