1998학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[인문/예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1997년 11월 19일 (수)에 시행되었습니다.
1998학년도 대학수학능력시험
수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[인문/예체능계](수학)
시행 : 1997.11.19(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원
$\left\{ \left( \dfrac{4}{9} \right)^{- {2\over3}} \right\}^{{9\over4}}$의 값은?
① $\dfrac{8}{27}$
② $\dfrac{16}{61}$
③ $\dfrac{81}{16}$
④ $\dfrac{27}{8}$
⑤ $\dfrac{64}{81}$
$\sqrt{4+2 \sqrt{3}} - \sqrt{4-2 \sqrt{3}}$의 값은?
① $-2$
② $- \sqrt{3}$
③ $1$
④ $\sqrt{3}$
⑤ $2$
다항식 $2x^{3} +x^{2} +3x$를 $x^{2} +1$로 나눈 나머지는?
① $x-1$
② $x$
③ $1$
④ $x+3$
⑤ $3x-1$
정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} x (1-x) dx$의 값은?
① $0$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $\dfrac{1}{3}$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{1}{6}$
오른쪽 벤 다이어그램에서 어두운 부분을 나타내는 집합은? (단, $U$는 전체집합, $X^{c}$는 $X$의 여집합을 나타낸다.)
① $A \cap (B \cap C)^{c}$
② $A \cap (B \cup C)^{c}$
③ $A \cap (B^{c} \cap C)^{c}$
④ $A \cap (B^{c} \cap C^{c})^{c}$
⑤ $A \cap (B^{c} \cup C^{c} )^{c}$
좌표평면에서 다음 함수 중 그 그래프가 임의의 직선과 항상 만나는 것은?
① $y=| x |$
② $y=x^{2}$
③ $y= \sqrt{x}$
④ $y=x^{3}$
⑤ $y= \dfrac{1}{x}$
이차방정식 $x^{2} -m x+2m+1=0$의 한 근이 $1$일 때 다른 한 근은?
① $3$
② $2$
③ $0$
④ $-1$
⑤ $-3$
오른쪽은 어떤 정육면체의 전개도이다. 원래의 정육면체에서 $\angle ABC$의 크기는?
① $30\degree $
② $45\degree $
③ $60\degree $
④ $90\degree $
⑤ $120\degree $
$y=- \dfrac{1}{4} x^{2}$ 위의 점 $(2, -1)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
① $\dfrac{1}{2}$
② $\dfrac{1}{4}$
③ $\dfrac{3}{4}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{5}{4}$
함수 $y=f (x)$의 도함수 $y=f^{\prime} (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 다음 중 옳은 것은?
① $f (x)$는 구간 $(-2, 1)$에서 증가한다.
② $f (x)$는 구간 $(1, 3)$에서 감소한다.
③ $f (x)$는 구간 $(4, 5)$에서 증가한다.
④ $f (x)$는 $x=2$에서 극소이다.
⑤ $f (x)$는 $x=3$에서 극소이다.
오른쪽 그림과 같이 $1$부터 $9$까지 숫자가 쓰여진 표적이 있다. $5$명의 사격선수 A, B, C, D, E가 $10$발씩 사격하여 맞춘 $10$개의 수의 평균이 모두 $5$가 되었다. $5$명이 사격한 결과는 다음과 같다.
$5$명 중 맞춘 $10$개 수의 표준편차가 가장 작은 사람은?
① A
② B
③ C
④ D
⑤ E
$\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^{1998}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)
① $-1$
② $1$
③ $-i$
④ $i$
⑤ $1998$
방정식 $| x^{2} +(a-2)x-2 | = 1$의 모든 근의 합이 $0$일 때, 상수 $a$의 값은?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다.)
보기
ㄱ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 $4$회 나타날 확률과 앞면이 $6$회 나타날 확률은 같다.
ㄴ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 $5$회 나타날 확률과 $20$회 던질 때 앞면이 $10$회 나타날 확률은 같다.
ㄷ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 나타날 횟수가 $5$회 이하일 확률은 $0.5$보다 크다.
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수열 $\left\{ a_{n} \right\}$은 처음 $6$개 항 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$이 서로 다르고 $a_{n+6} =a_{n}$ ($n=1$, $2$, $3$, $\cdots$)을 만족시킨다. 다음과 같이 정의된 수열 $\left\{ b_{n} \right\}$ 중 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$의 값이 모두 나타나는 것은?
① $b_{n} =a_{2n+1}$
② $b_{n} =a_{3n+1}$
③ $b_{n} =a_{4n+1}$
④ $b_{n} =a_{5n+1}$
⑤ $b_{n} =a_{6n+1}$
임의의 자연수 $n$에 대하여 $n$의 양의 약수들의 총합을 $f (n)$이라 하자. 예를 들면 $f (3)=4$, $f (4)=7$이다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $f (10)=18$
ㄴ. $f (n)=n+1$이면 $n$은 소수이다.
ㄷ. 임의의 자연수 $m$, $n$에 대하여, $f (m n)=f (m)f (n)$이다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다음은 명제 $3m^{2} -n^{2} =1$을 만족하는 $\fbox{ ㈎ }$에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.
증명
$$\cdots생략\cdots$$
$m$, $n$이 정수이고 $3m^{2} =n^{2} +1$이므로 $n^{2} +1$은 $3$의 배수이다.
한편, 정수 $n$이 어떤 정수 $k$에 대하여,
$n=3k$이면
$n^{2} =(3k)^{2} =9k^{2} =3(3k^{2})$
$n=3k+1$이면
$n^{2} =(3k+1)^{2} =9k^{2} +6k+1=3(3k^{2} +2k)+1$
$n=3k+2$이면
$n^{2}=(3k+2)^{2} =9k^{2} +12k+4=3(3k^{2} +4k+1)+1$
이므로 $n^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$이다.
따라서, $n^{2} +1$을 $3$으로 나눈 나머지는 $1$ 또는 $2$이다.
$$\cdots생략\cdots$$
다음 중 위의 $\fbox{ ㈎ }$에 가장 알맞은 것은?
① $m$, $n$ 중 적어도 하는 정수이다.
② $m$, $n$ 중 어느 것도 정수가 아니다.
③ $m$, $n$ 중 어느 것도 정수인 해가 적어도 하나 있다.
④ $m$, $n$이 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
⑤ $m$, $n$이 모두 정수인 해는 없다.
좌표평면에서 각 좌표축에 평행하지 않은 직선 $l$이 있다. $l$ 밖의 한 점 $P (x_{1}, y_{1})$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $H (x_{2}, y_{2})$라 할 때, 선분 $PH$의 길이를 구하는 과정은 다음과 같다.
직선 $l$의 방정식을
$ax+by+c=0$ $\cdots$ ①
이라 하면 가정에서 $a \ne 0$이고 $b \ne 0$이다.
$l$의 기울기가 $- \dfrac{a}{b}$이므로 직선 $PH$의 방정식은
$y-y_{1} =\fbox{ ㈎ }$ $\cdots$ ②
이다. ①과 ②를 이용하면
$x_{1} -x_{2} = \dfrac{-a(ax_{1} +by_{1} +c)}{a^{2} +b^{2}}$,
$y_{1} -y_{2} = \dfrac{-b(ax_{1} +by_{1} +c)}{a^{2} +b^{2}}$이다.
따라서, 구하는 선분 $PH$의 길이는
$\overline{PH} =\fbox{ ㈏ }= \dfrac{|ax_{1} +by_{1} +c|}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}$이다.
위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① $\dfrac{a}{b} (x-x_{1})$, $| x-x_{1} |+| y-y_{1} |$
② $\dfrac{b}{a} (x-x_{1})$, $(x_{2} -x_{1})^{2} +(y_{2} -y_{1})^{2}$
③ $- \dfrac{b}{a} (x-x_{1})$, $\sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} +(y_{2} -y_{1})^{2}}$
④ $\dfrac{b}{a} (x-x_{1})$, $\sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} +(y_{2} -y_{1})^{2}}$
⑤ $- \dfrac{a}{b} (x-x_{1})$, $| x_{2} -x_{1} |+| y_{2} -y_{1} |$
다음과 같이 $1$부터 연속된 자연수가 규칙적으로 나열되어 있다
1행 1
2행 2 3
3행 4 5 6
4행 7 8 9 10
5행 11 12 13 14 15
10행 $\cdots$ $\fbox{\phantom{A}}$
$10$행의 마지막에 들어갈 수는?
① $45$
② $50$
③ $55$
④ $60$
⑤ $65$
수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이
$$a_{1} =1, a_{2} =2, a_{n+2} =a_{n+1} +a_{n}\,\,(n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$$
을 만족시킨다. 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{a_{n+1} a_{n+2}}$의 합은?
① $\dfrac{1}{2}$
② $1$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $3$
다음은 인공적인 핵분열을 가상적으로 모형화시킨 것이다.
모든 불안정한 원자핵은 두 개의 핵으로 분열하고, 이 때 생긴 핵은 안정할 수도 있고 불안정할 수도 있다. 불안정한 핵은 다시 두 개의 핵으로 분열하고 이 과정은 안정한 핵들만 남을 때까지 계속된다. 또한 불안정한 핵이 분열할 때마다 $100$MeV의 에너지가 생성된다.
어떤 불안정한 원자핵 하나가 위와 같은 핵분열을 거듭한 결과 $8$개의 안정한 핵들만 남았다면 이 핵분열 과정에서 생성되는 총 에너지는 몇 MeV인가?
① $800$
② $700$
③ $600$
④ $500$
⑤ $400$
수질오염의 정도를 수치로 나타내는 한 방법으로 생물학적 지표가 사용된다. 이 지표는 유색생물의 수가 $X$, 무색생물의 수가 $Y$일 때
$$\dfrac{Y}{X+Y} \times 100(\%)$$
로 정의된다. 지난 달 수질검사에서 어떤 호수의 생물학적 지표는 $10$(%)이었다. 이번 달에 이 호수의 수질을 검사한 결과 지난 달 에 비해 유색생물의 수는 $2$배, 무색생물의 수는 $3$배가 되었다. 이번달 이 호수의 생물학적 지표는 몇 퍼센트(%)인가?
① 약 $14.3 \%$
② 약 $15.2 \%$
③ 약 $16.4 \%$
④ 약 $17.1 \%$
⑤ 약 $18.5 \%$
정부가 통일 이후 필요한 통일비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 2001년부터 매년 1월 1일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년 전년도보다 6%씩 증액한다. 2001년 1월 1일부터 10조 원을 적립하기 시작한다면 2010년 12월 31일까지 적립된 금액의 원리합계는 몇 조 원인가? (단, 연이율 6%, 1년마다의 복리로 계산하고 $(1.06)^{10} =1.8$)
① $160$
② $162$
③ $180$
④ $198$
⑤ $220$
어떤 야구선수가 상대팀의 투수 A와 대결할 때 안타를 칠 확률은 $0.2$이고 투수 B와 대결할 때 안타를 칠 확률은 $0.25$이다. 한 경기에서 이 선수가 투수 A와 $2$회 대결한 후 투수 B와 $1$회 대결한다면 $3$회의 대결 중 $2$회 이상 안타를 칠 확률은?
① $0.10$
② $0.12$
③ $0.14$
④ $0.15$
⑤ $0.16$
행렬 $A= \begin{pmatrix} 0&1\\2&3 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^{2}$의 모든 성분의 합을 구하시오.
$\triangle ABC$에서 $b=8$, $c=7$, $\angle A=120\degree $일 때 $a$의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 제$1$사분면에서 두 곡선 $y=3- \dfrac{1}{2} x^{2}$, $x^{2} +y^{2} =9$와 $x$축으로 둘러싸인 부분을 $y$축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 $V$라 할 때, $\dfrac{1}{\pi} V$의 값을 구하시오. (단, $\pi$는 원주율을 나타낸다.)
오른쪽 그림과 같이 $4$개의 섬이 있다. $3$개의 다리를 건설하여 $4$개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하시오.
다음 그림은 함수 $y=1$과 함수 $y=0$의 그래프의 일부이다. 두 점 $A(0, 1)$, $B(1, 0)$ 사이를 $0 \le x \le 1$에서 정의된 함수 $y=a x^{3} +b x^{2} +c x +1$의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 $(- \infty, \infty)$에서 미분가능하도록 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 정할 때, $a^{2} +b^{2} +c^{2}$의 값을 구하시오.
수직선 위에 두 점 $P_{1} (0)$과 $P_{2} (80)$이 있다. 선분 $P_{1} P_{2}$의 중점을 $P_{3} (x_{3})$, 선분 $P_{2} P_{3}$의 중점을 $P_{4} (x_{4})$, $\cdots $, 선분 $P_{n} P_{n+1}$의 중점을 $P_{n+2} (x_{n+2})$라 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n}$의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.
