1997-11 1998학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

1998학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1997년 11월 19일 (수)에 시행되었습니다.

1998학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[자연계](수학)

시행 : 1997.11.19(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$\left\{ \left( \dfrac{4}{9} \right)^{- {2\over3}} \right\}^{{9\over4}}$의 값은?

① $\dfrac{8}{27}$

② $\dfrac{16}{61}$

③ $\dfrac{81}{16}$

④ $\dfrac{27}{8}$

⑤ $\dfrac{64}{81}$

$\sqrt{4+2 \sqrt{3}} - \sqrt{4-2 \sqrt{3}}$의 값은?

① $-2$

② $- \sqrt{3}$

③ $1$

④ $\sqrt{3}$

⑤ $2$

다항식 $2x^{3} +x^{2} +3x$를 $x^{2} +1$로 나눈 나머지는?

① $x-1$

② $x$

③ $1$

④ $x+3$

⑤ $3x-1$

함수 $y= \dfrac{\ln x}{x}$가 최대값을 가질 때의 $x$의 값은?

① $1$

② $e$

③ $\dfrac{1}{e}$

④ $2e$

⑤ $e^{2}$

두 복소수 $z_{1}=i$, $z_{2}=1+i$에 대하여 다음 중 편각의 크기가 가장 큰 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$이고, 편각의 크기 $\theta$의 범위는 $0\le \theta < 2\pi$로 한다.)

① $4z_{1}$

② $z_{1}+z_{2}$

③ $z_{1}-z_{2}$

④ $z_{1}z_{2}$

⑤ $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$

좌표평면에서 다음 함수 중 그 그래프가 임의의 직선과 항상 만나는 것은?

① $y=| x |$

② $y=x^{2}$

③ $y= \sqrt{x}$

④ $y=x^{3}$

⑤ $y= \dfrac{1}{x}$

이차방정식 $x^{2} -m x+2m+1=0$의 한 근이 $1$일 때 다른 한 근은?

① $3$

② $2$

③ $0$

④ $-1$

⑤ $-3$

오른쪽은 어떤 정육면체의 전개도이다. 원래의 정육면체에서 $\angle ABC$의 크기는?

① $30\degree $

② $45\degree $

③ $60\degree $

④ $90\degree $

⑤ $120\degree $

쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} =1$ 위의 점 $(a, b)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는? (단, $a > 0$, $b > 0$)

① $\dfrac{36}{ab}$

② $\dfrac{54}{ab}$

③ $\dfrac{72}{ab}$

④ $\dfrac{90}{ab}$

⑤ $\dfrac{108}{ab}$

실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ x ]$라 할 때, 다음 중 방정식 $[ x ]^{2} +[ x ]-2=0$과 같은 해를 갖는 부등식은?

① $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-1)} \le 0$

② $\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \le 0$

③ $\dfrac{1}{(x+1)(x-1)} \le 0$

④ $\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-2)} \le 0$

⑤ $\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x+3)} \le 0$

오른쪽 그림과 같이 $1$부터 $9$까지 숫자가 쓰여진 표적이 있다. $5$명의 사격선수 A, B, C, D, E가 $10$발씩 사격하여 맞춘 $10$개의 수의 평균이 모두 $5$가 되었다. $5$명이 사격한 결과는 다음과 같다. $5$명 중 맞춘 $10$개 수의 표준편차가 가장 작은 사람은?

① A

② B

③ C

④ D

⑤ E

$\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^{1998}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $-1$

② $1$

③ $-i$

④ $i$

⑤ $1998$

오른쪽 그림은 $0 \le x \le 4$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프이다. 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1} f (2x+1) dx$의 값은?

① $1$

② $\dfrac{3}{2}$

③ $2$

④ $\dfrac{5}{2}$

⑤ $3$

다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다.)

보기

ㄱ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 $4$회 나타날 확률과 앞면이 $6$회 나타날 확률은 같다.
ㄴ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 $5$회 나타날 확률과 $20$회 던질 때 앞면이 $10$회 나타날 확률은 같다.
ㄷ. 동전을 $10$회 던질 때 앞면이 나타날 횟수가 $5$회 이하일 확률은 $0.5$보다 크다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$은 처음 $6$개 항 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$이 서로 다르고 $a_{n+6} =a_{n}$ ($n=1$, $2$, $3$, $\cdots$)을 만족시킨다. 다음과 같이 정의된 수열 $\left\{ b_{n} \right\}$ 중 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$의 값이 모두 나타나는 것은?

① $b_{n} =a_{2n+1}$

② $b_{n} =a_{3n+1}$

③ $b_{n} =a_{4n+1}$

④ $b_{n} =a_{5n+1}$

⑤ $b_{n} =a_{6n+1}$

임의의 자연수 $n$에 대하여 $n$의 양의 약수들의 총합을 $f (n)$이라 하자. 예를 들면 $f (3)=4$, $f (4)=7$이다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $f (10)=18$
ㄴ. $f (n)=n+1$이면 $n$은 소수이다.
ㄷ. 임의의 자연수 $m$, $n$에 대하여, $f (m n)=f (m)f (n)$이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 명제 $3m^{2} -n^{2} =1$을 만족하는 $\fbox{　㈎　}$에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

증명

$$\cdots생략\cdots$$ $m$, $n$이 정수이고 $3m^{2} =n^{2} +1$이므로 $n^{2} +1$은 $3$의 배수이다.
한편, 정수 $n$이 어떤 정수 $k$에 대하여,
$n=3k$이면
$n^{2} =(3k)^{2} =9k^{2} =3(3k^{2})$
$n=3k+1$이면
$n^{2} =(3k+1)^{2} =9k^{2} +6k+1=3(3k^{2} +2k)+1$
$n=3k+2$이면
$n^{2}=(3k+2)^{2} =9k^{2} +12k+4=3(3k^{2} +4k+1)+1$
이므로 $n^{2}$을 $3$으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$이다.
따라서, $n^{2} +1$을 $3$으로 나눈 나머지는 $1$ 또는 $2$이다. $$\cdots생략\cdots$$

다음 중 위의 $\fbox{　㈎　}$에 가장 알맞은 것은?

① $m$, $n$ 중 적어도 하는 정수이다.

② $m$, $n$ 중 어느 것도 정수가 아니다.

③ $m$, $n$ 중 어느 것도 정수인 해가 적어도 하나 있다.

④ $m$, $n$이 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.

⑤ $m$, $n$이 모두 정수인 해는 없다.

다음은 명제 ‘좌표평면에서 세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수인 정삼각형이 존재하지 않는다.'를 증명한 것이다.

증명

세 꼭지점의 좌표가 모두 $\fbox{　㈎　}$인 정삼각형이 존재한다고 가정하자. 이 삼각형을 평행이동하여 오른쪽 그림과 같이 한 꼭지점이 좌표평면의 원점 $O$에 놓이도록 했을 때, 다른 꼭지점을 각각 $A(a, b)$, $B(c, d)$라 하면 $a$, $b$, $c$, $d$는 모두 $\fbox{　㈏　}$가 된다. 그런데 $B$는 $A$를 원점을 중심으로 $60\degree $만큼 회전이동한 점이므로 $$c= \dfrac{1}{2} a- \dfrac{\sqrt{3}}{2} b,  d= \dfrac{\sqrt{3}}{2} a+ \dfrac{1}{2} b$$ 이다. 여기서 $b \ne 0$이면 $c$가 $\fbox{　㈐　}$가 되고, $b=0$이면 $a \ne 0$이므로 $d$가 $\fbox{　㈐　}$가 된다. 이는 가정에 모순이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 유리수, 유리수, 무리수

② 무리수, 유리수, 무리수

③ 유리수, 무리수, 유리수

④ 유리수, 유리수, 유리수

⑤ 무리수, 유리수, 유리수

그림과 같이 두 직선 $x=p$, $x=q$와 $x$축 및 곡선 $y=\log_{a} x$로 둘러싸인 부분을 곡선 $y=\log_{b} x$가 두 부분 $A$와 $B$로 나눈다. $A$와 $B$의 넓이를 각각 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $\dfrac{\alpha}{\beta}$의 값은? (단, $1 < a < b$, $1 < p < q$)

① $\left( \dfrac{b}{a} -1 \right) (q-p)$

② $\dfrac{a}{b} -1$

③ $\log_{a} b-1$

④ $\log_{b} a-1$

⑤ $(q-p)\log_{b} a$

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 $$a_{1} =1, a_{2} =2, a_{n+2} =a_{n+1} +a_{n}\,\,(n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$$ 을 만족시킨다. 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n}}{a_{n+1} a_{n+2}}$의 합은?

① $\dfrac{1}{2}$

② $1$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $2$

⑤ $3$

다음은 인공적인 핵분열을 가상적으로 모형화시킨 것이다.

모든 불안정한 원자핵은 두 개의 핵으로 분열하고, 이 때 생긴 핵은 안정할 수도 있고 불안정할 수도 있다. 불안정한 핵은 다시 두 개의 핵으로 분열하고 이 과정은 안정한 핵들만 남을 때까지 계속된다. 또한 불안정한 핵이 분열할 때마다 $100$MeV의 에너지가 생성된다.

어떤 불안정한 원자핵 하나가 위와 같은 핵분열을 거듭한 결과 $8$개의 안정한 핵들만 남았다면 이 핵분열 과정에서 생성되는 총 에너지는 몇 MeV인가?

① $800$

② $700$

③ $600$

④ $500$

⑤ $400$

수질오염의 정도를 수치로 나타내는 한 방법으로 생물학적 지표가 사용된다. 이 지표는 유색생물의 수가 $X$, 무색생물의 수가 $Y$일 때 $$\dfrac{Y}{X+Y} \times 100(\%)$$ 로 정의된다. 지난 달 수질검사에서 어떤 호수의 생물학적 지표는 $10$(%)이었다. 이번 달에 이 호수의 수질을 검사한 결과 지난 달 에 비해 유색생물의 수는 $2$배, 무색생물의 수는 $3$배가 되었다. 이번달 이 호수의 생물학적 지표는 몇 퍼센트(%)인가?

① 약 $14.3 \%$

② 약 $15.2 \%$

③ 약 $16.4 \%$

④ 약 $17.1 \%$

⑤ 약 $18.5 \%$

정부가 통일 이후 필요한 통일비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 2001년부터 매년 1월 1일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년 전년도보다 6%씩 증액한다. 2001년 1월 1일부터 10조 원을 적립하기 시작한다면 2010년 12월 31일까지 적립된 금액의 원리합계는 몇 조 원인가? (단, 연이율 6%, 1년마다의 복리로 계산하고 $(1.06)^{10} =1.8$)

① $160$

② $162$

③ $180$

④ $198$

⑤ $220$

반지름의 길이가 $2$km인 원형의 자동차 시험장에서 초속 $20$m의 일정한 속력으로 자동차가 달리고 있다. 원의 중심 $O$에서 $1$km 떨어진 지점 $A$에 속력 측정기가 놓여 있어, 자동차의 속도 중 자동차의 위치 $P$로부터 $A$방향으로의 성분을 측정하고 있다. 이 때, $\angle APO= \theta $이면, 이 성분의 크기는 $20\sin \theta$(m/초)이다. 이 자동차가 한 바퀴 도는 동안 속력 측정기가 기록하는 최대값은 몇 m/초인가?

① $8$

② $10$

③ $10 \sqrt{2}$

④ $10 \sqrt{3}$

⑤ $20$

행렬 $A= \begin{pmatrix} 0&1\\2&3 \end{pmatrix}$에 대하여 $A^{2}$의 모든 성분의 합을 구하시오.

$\triangle ABC$에서 $b=8$, $c=7$, $\angle A=120\degree $일 때 $a$의 값을 구하시오.

구 $x^{2} +y^{2} +z^{2} =1$ 위의 점 $\left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}, 0 \right)$에서 구에 접하는 평면을 $\alpha$, 점 $\left( 0, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5} \right)$에서 구에 접하는 평면을 $\beta $라 한다. 평면 $\alpha $ 위에 있는 넓이가 $100$인 삼각형을 평면 $\beta $ 위로 정사영시켜 얻은 도형의 넓이를 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 $4$개의 섬이 있다. $3$개의 다리를 건설하여 $4$개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하시오.

다음 그림은 함수 $y=1$과 함수 $y=0$의 그래프의 일부이다. 두 점 $A(0, 1)$, $B(1, 0)$ 사이를 $0 \le x \le 1$에서 정의된 함수 $y=a x^{3} +b x^{2} +c x +1$의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 $(- \infty, \infty)$에서 미분가능하도록 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 정할 때, $a^{2} +b^{2} +c^{2}$의 값을 구하시오.

수직선 위에 두 점 $P_{1} (0)$과 $P_{2} (80)$이 있다. 선분 $P_{1} P_{2}$의 중점을 $P_{3} (x_{3})$, 선분 $P_{2} P_{3}$의 중점을 $P_{4} (x_{4})$, $\cdots $, 선분 $P_{n} P_{n+1}$의 중점을 $P_{n+2} (x_{n+2})$라 할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n}$의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.