2000-11 2001학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[예체능계](수학)

2001학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2000년 11월 15일 (수)에 시행되었습니다.

2001학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[예체능계](수학)

시행 : 2000.11.15(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$\left( \sqrt{2} \right)^{5}$의 값은?

① $\sqrt{2}$

② $2$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $4$

⑤ $4 \sqrt{2}$

이차방정식 $x^{2} +7x+1=0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta $일 때, $$( \alpha^{2} + \beta^{2} )+7( \alpha + \beta )$$의 값은?

① $-4$

② $-2$

③ $0$

④ $1$

⑤ $3$

$\left(2+2\sin \dfrac{\pi}{3} \right)\left(2-\tan \dfrac{\pi}{3} \right)$의 값은?

① $1$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{1}{4}$

⑤ $\dfrac{1}{5}$

다항식 $x^{3} +3x^{2} +ax+b$가 $x+1$로 나누어 떨어질 때, $a-b$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

그림과 같이 직사각형 $ABCD$가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원에 내접해 있다. $x$축과 선분 $OA$가 이루는 각을 $\theta $라 할 때, $\cos ( \pi - \theta )$와 같은 것은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$)

① $A$의 $x$좌표

② $B$의 $y$좌표

③ $C$의 $x$좌표

④ $C$의 $y$좌표

⑤ $D$의 $x$좌표

두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 각각 아래 그림과 같다.
다음 중 $y=(g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은?

두 다항식 $x^{3} -1$, $x^{3} -2x+1$의 최대공약수는?

① $x$

② $x-1$

③ $x+1$

④ $x-2$

⑤ $x+2$

분수함수 $y= \dfrac{1}{x}$의 그래프가 직선 $y=ax$에 대하여 대칭이 되는 상수 $a$의 값을 모두 구하면?

① $-1$, $1$

② $-2$, $2$

③ $-3$, $3$

④ $-4$, $4$

⑤ $-5$, $5$

반지름의 길이가 $r$이고 높이가 $1$인 원기둥에 물이 들어있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 $\theta $라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 $h$를 $\theta $로 표시하면? (단, $0 < \theta < \pi$, $0 < h < \dfrac{1}{2}$)

① $h= \dfrac{1}{2 \pi} \theta $

② $h= \dfrac{1}{2 \pi} \sin \theta $

③ $h= \theta -\sin \theta $

④ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta +\sin \theta )$

⑤ $h= \dfrac{1}{2 \pi} ( \theta -\sin \theta )$

좌표평면에서 두 점 $(1, 3)$, $(3, 1)$을 지나는 직선과 원점 사이의 거리는?

① $1$

② $\sqrt{2}$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $4$

⑤ $3 \sqrt{2}$

두 함수 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^{2} -2x+1$가 $(g \circ f) (2^{x} )= \dfrac{1}{4}$을 만족시킬 때, $x$의 값은?

① $-2$

② $-1$

③ $0$

④ $1$

⑤ $2$

그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 $1$인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 $A$와 $B$에서 출발하여 $A$, $B$ 이외의 교차로 $P$에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 $4$가 되는 $P$의 위치를 모두 표시하면?

다음은 좌표평면 위의 서로 다른 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대한 설명이다.

㈎ 점 $A$와 점 $B$는 $x$축 위에 있다.
㈏ 점 $B$의 $x$좌표는 점 $A$의 $x$좌표보다 크다.
㈐ $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{CD}$

점 $A$, $B$, $C$, $D$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 할 때, 옳은 것은?

① $a < d < c < b$

② $c < a < d < b$

③ $c < d < a < b$

④ $d < a < c < b$

⑤ $d < c < a < b$

좌표평면의 제$1$사분면 위의 점 $P$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $Q$, $R$라 하자. 점 $A(-1, -1)$에 대하여 $\overline{PA} = \overline{PQ} + \overline{PR}$를 만족시키는 점 $P$의 자취의 개형은?

자연수 $n$에 대하여 $n^{2}$을 오진법으로 표현했을 때 일의 자리 수를 $f(n)$이라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $f(3)=4$
ㄴ. $0 \le f(n) \le 4$
ㄷ. $f(n)=2$인 자연수 $n$은 없다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

전체집합 $U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$의 서로 다른 두 부분집합 $X$, $Y$에 대하여 $(X \cup Y )-(X \cap Y )$의 가장 작은 원소가 $X$에 속할 때, $X\,⇨\,Y$라 하자. $U$의 부분집합 $A= \left\{ 2, 3, 4 \right\}$, $B= \left\{ 1, 2, 5 \right\}$, $C= \left\{ 2, 4, 5 \right\}$에 대하여 옳은 것은?

① $A\,⇨\,B\,⇨\,C$

② $A\,⇨\,C\,⇨\,B$

③ $B\,⇨\,A\,⇨\,C$

④ $B\,⇨\,C\,⇨\,A$

⑤ $C\,⇨\,A\,⇨\,B$

다음은 지수법칙 $a^{r+s} =a^{r} a^{s}$으로부터 모든 양수 $x$, $y$에 대하여 $$\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$$ 가 성립함을 증명한 것이다. (단, $a \ne 1$, $a > 0$)

증명

$r=\log_{a} x$, $s=\log_{a} y$로 놓으면 $$a^{r} =x,\,\,\,\,a^{s} =\fbox{　 ㈎ 　}$$ 지수법칙으로부터 $a^{r+s} =\fbox{　 ㈏ 　}$
로그의 정의에 의하여 $r+s=\log_{a}\fbox{　 ㈏ 　}$
그러므로 $\log_{a} xy=\log_{a} x+\log_{a} y$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $x$, $x+y$

② $y$, $x+y$

③ $x$, $xy$

④ $y$, $xy$

⑤ $x$, $\dfrac{x}{y}$

다음은 $\triangle ABC$에서 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$일 때, 삼각형 내부의 한 점 $P$에 대하여 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$임을 증명한 것이다.

증명

가정에 의해 $\overline{BC} < \overline{AC} < \overline{AB}$이므로
$\angle A < \angle B < \angle C$
점 $P$를 지나고 선분 $BC$에 평행한 직선이 선분 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라고 하자.
선분 $DE$와 선분 $BC$가 평행하므로 $$\angle ADE= \angle B,\,\,\,\,\angle AED= \angle C$$ 따라서, $\angle A < \angle ADE < \angle AED$
그러므로 $\triangle ADE$에서 $\fbox{　　 ㈎ 　　}$ $\cdots$ ①
이고 $\overline{PA} < \overline{AD}$ $\cdots$ ②
$\triangle BDP$에서 $\overline{PB} < \overline{PD} + \overline{DB}$ $\cdots$ ③
$\triangle EPC$에서 $\overline{PC} < \overline{PE} + \overline{EC}$ $\cdots$ ④
①, ②, ③, ④에서 $\overline{PA} + \overline{PB} + \overline{PC} < \overline{AB} + \overline{AC}$

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

① $\overline{AD} < \overline{AE} < \overline{DE}$

② $\overline{AD} < \overline{DE} < \overline{AE}$

③ $\overline{AE} < \overline{AD} < \overline{DE}$

④ $\overline{AE} < \overline{DE} < \overline{AD}$

⑤ $\overline{DE} < \overline{AE} < \overline{AD}$

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$일 때, $\log (\sin \theta )-\log (\cos \theta )= \dfrac{1}{2} \log 3$을 만족시키는 $\theta $의 값은? (단, $\log $는 상용로그)

① $\dfrac{1}{6} \pi $

② $\dfrac{1}{4} \pi $

③ $\dfrac{2}{7} \pi $

④ $\dfrac{1}{3} \pi $

⑤ $\dfrac{2}{5} \pi $

좌표평면 위에 여섯 개의 점 $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$이 있다. 이 중 세 점을 지나는 이차함수 $y=f(x)$의 개수는?

① $2$

② $4$

③ $6$

④ $8$

⑤ $10$

함수 $f(x)=\sin \left(x+ \dfrac{\pi}{2} \right)-\cos^{2} (x+ \pi )$의 최대값은?

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{3}{4}$

④ $1$

⑤ $\dfrac{5}{4}$

영어의 알파벳 $A$, $B$, $\cdots$, $Z$에 십진법의 수 $1$부터 $26$에 해당하는 이진법의 수 $00001_{(2)}$, $00010_{(2)}$, $\cdots$, $11010_{(2)}$을 순서대로 대응시키자. 이진법의 수 $\alpha $와 $\beta $의 각 자리의 수를 비교하여 같으면 $0$, 다르면 $1$을 그 자리에 대응시켜 얻은 이진법의 수를 $\alpha \land \beta $라 하자. 예를 들면 $$10001_{(2)} \land 10101_{(2)} =00100_{(2)},\,\,\,\,00001_{(2)} \land 10101_{(2)} =10100_{(2)}$$ 각 알파벳에 대응하는 이진법의 수를 $10101_{(2)}$과 연산 $\land $을 하여 얻은 이진법의 수로 그 알파벳을 암호화하였다. 예를 들면 암호가 $10100_{(2)}$인 알파벳은 $A$이다. 암호가 $11001_{(2)}$인 알파벳은?

① $B$

② $D$

③ $L$

④ $P$

⑤ $S$

좌표평면 위의 네 점 $(-2, 2)$, $(4, 2)$, $(1, -2)$, $(4, -2)$에 있는 나사를 모두 조이는 작업을 반복하는 로봇팔의 한쪽 끝을 점 $P$에 고정시키려 한다. 로봇팔은 점 $P$를 중심으로 $360˚$ 회전 가능하고, 점 $P$로부터의 거리가 로봇팔의 길이 이하인 모든 곳의 나사를 조일 수 있다. 로봇팔의 길이를 최소로 할 수 있는 점 $P$의 좌표는?

① $(0, 0)$

② $(0, 1)$

③ $(0, -1)$

④ $(1, 0)$

⑤ $(1, 1)$

마라톤 경기의 총 구간의 거리는 $42.195$km이다. 어떤 마라톤 선수의 기록이 $2$시간 $6$분 $30$초였다. 마지막 $195$m를 $30$초에 달렸다면, 처음 $42$km구간에서 $100$m를 평균 몇 초에 달렸는가?

① $14$초

② $15$초

③ $16$초

④ $17$초

⑤ $18$초

삼차함수 $f(x)=ax^{3} +b$의 역함수 $f^{-1}$가 $f^{-1} (5)=2$를 만족시킬 때, $8a+b$의 값을 구하시오.

다항식 $f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지가 $4x+3$일 때, $f(2x)$를 $x-1$로 나눈 나머지를 구하시오.

$\log_{2} 2+\log_{2} 4+\log_{2} 8+\log_{2} 16$의 값을 구하시오.

$1 < a < 10$일 때 $\sqrt{(a^{2} -100)^{2}} + \sqrt{(a^{2} -1)^{2}}$의 값을 구하시오.

함수 $y=10^{ax}$의 역함수가 $y= \dfrac{a}{100} \log x$일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오. (단, $\log $는 상용로그)

$\dfrac{\sqrt{21} - \sqrt{5}}{\sqrt{21} + \sqrt{5}} + \dfrac{\sqrt{21} + \sqrt{5}}{\sqrt{21} - \sqrt{5}}$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.