2001-11 2002학년도 대학수학능력시험 수리영역[자연계](수학)

2002학년도 대학수학능력시험 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2001년 11월 7일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 대학수학능력시험

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2001.11.7(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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무리방정식 $\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)=4$의 근은?

① $1$

② $3$

③ $5$

④ $7$

⑤ $9$

두 벡터 $\vec{a} =(2, -3, 2)$, $\vec{b} =(1, -4, 0)$가 이루는 각의 크기를 $\theta $라 할 때, $\cos \theta $의 값은?

① $\dfrac{2}{17}$

② $\dfrac{5}{17}$

③ $\dfrac{8}{17}$

④ $\dfrac{11}{17}$

⑤ $\dfrac{14}{17}$

복소수 $z$가 $ | z | =1$일 때, $\dfrac{z}{z+ \dfrac{1}{\overline{z}}}$의 값은?

① $- \dfrac{1}{2}$

② $-1$

③ $0$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $1$

다음 식을 성립하게 하는 상수 $a$, $b$의 곱 $ab$의 값은? $$\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{x^{2} +ax+b} = \dfrac{1}{3}$$

① $-3$

② $-2$

③ $1$

④ $2$

⑤ $3$

방정식 $x^{2} -y^{2} +2y+a=0$이 나타내는 도형이 $x$축에 평행인 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위한 $a$값의 범위는?

① $a < -1$

② $a > -1$

③ $a < 1$

④ $a > 1$

⑤ $a > 2$

함수 $f (x)=2\sin^{3} x+\sin 2x \cos x+2\cos x$의 최대값은?

① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

② $1$

③ $\sqrt{2}$

④ $2$

⑤ $2 \sqrt{2}$

$(a, b, c )$를 구 $x^{2} +y^{2} +z^{2} =4$ 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면 $ax+by+cz=1$과 $ax+by+cz=3$ 사이의 최단거리는?

① $\dfrac{1}{2}$

② $1$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $2$

⑤ $\dfrac{11}{3}$

세 자료
  A : $1$부터 $50$까지의 자연수
  B : $51$부터 $100$까지의 자연수
  C : $1$부터 $100$까지의 짝수
의 표준편차를 순서대로 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a$, $b$, $c$의 대소관계를 바르게 나타낸 것은?

① $a=b=c$

② $a=b < c$

③ $a < b=c$

④ $a < b < c$

⑤ $a < c < b$

$1 \le x \le 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $\alpha x \le e^{x} \le \beta x$가 성립하도록 상수 $\alpha$, $\beta $를 정할 때, $\beta - \alpha $의 최소값은?

① $\dfrac{e}{2}$

② $e$

③ $e \left( \dfrac{e^{3}}{4} -1\right)$

④ $e \left( \dfrac{e^{2}}{3} -1\right)$

⑤ $e \left( \dfrac{e}{2} -1\right)$

연립부등식 $x > 0$, $y+x \ge 0$, $y-2x \le 0$이 나타내는 좌표평면 위의 영역을 $D$라 하자. $D$에 속하는 두 점 $P (a, b)$, $Q (c, d)$에 대하여 $\dfrac{b+d}{a+c}$의 최대값과 최소값의 차는?

① $\dfrac{2}{3}$

② $\dfrac{4}{3}$

③ $2$

④ $3$

⑤ $\dfrac{10}{3}$

지수함수에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $y=2^{x}$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $y= \dfrac{1}{2^{x}}$의 그래프가 된다.
ㄴ. $y=2^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 $y=2^{x}$의 그래프보다 아래에 놓이게 된다.
ㄷ. $y= \sqrt{2} \cdot 2^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 평행이동하여 $y=2^{x}$의 그래프를 얻을 수 있다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 $$\sqrt{17} -4= \dfrac{1}{8+a_{1}} = \dfrac{1}{8+ \dfrac{1}{8+a_{2}}}= \dfrac{1}{8+ \dfrac{1}{8+ \dfrac{1}{8+a_{3}}}} = \cdots $$ 을 만족시킬 때, $a_{2002}$의 값은?

① $\sqrt{17} -4$

② $3- \sqrt{17}$

③ $5- \sqrt{17}$

④ $\sqrt{17}$

⑤ $\sqrt{17} +4$

어떤 종류의 연산회로는 행렬들로 나타낼 수 있다. 이 연산회로의 입력과 출력은 행렬 $a= \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$로 연산자 $\fbox{\textsf{U}}$는 $2$차 정사각행렬 $U$로 표현된다. 기본 연산회로 $a \to \fbox{\textsf{U}}$는 $Ua$를 수행하고 $a \to \fbox{\textsf{U}} \Rightarrow \fbox{\textsf{V}}$는 $VUa$의 행렬연산을 수행한다. 다음은 연산자 $\fbox{\textsf{X}}$, $\fbox{\textsf{Y}}$, $\fbox{\textsf{Z}}$에 대응되는 행렬이다. $$X= \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix},  Y= \begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix},  Z= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix}1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$$ 입력 $a= \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}$를 연산회로

$a \to \fbox{\textsf{Z}} \Rightarrow \fbox{　 ㈎ 　} \Rightarrow \fbox{\textsf{X}}$

에서 수행한 결과가 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$일 때, 다음 중 ㈎에 알맞은 것은?

① $\fbox{\textsf{Z}} \Rightarrow \fbox{\textsf{X}}$

② $\fbox{\textsf{Z}} \Rightarrow \fbox{\textsf{Y}}$

③ $\fbox{\textsf{X}} \Rightarrow \fbox{\textsf{X}}$

④ $\fbox{\textsf{Y}} \Rightarrow \fbox{\textsf{Y}}$

⑤ $\fbox{\textsf{Y}} \Rightarrow \fbox{\textsf{X}}$

한 평면에 서로 다른 $n$개의 직선을 그려서 나누어진 영역의 수의 최소값을 $f (n)$, 최대값을 $g (n)$이라 하자. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $f (2)=3$, $g (2)=4$이다.
ㄴ. 모든 $n$에 대하여 $f (n)=n+1$이다.
ㄷ. 모든 $n$에 대하여 $g (n) \le f (n+1)$이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음을 만족하는 다항함수에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? $$f_{0} (x)=1,   f_{1} (x)=x,$$ $$f_{n+1} (x)=x f_{n} (x)+f_{n-1} (x)\text{ ($n$은 자연수})$$

보기

ㄱ. $f_{2n-1} (0)=0$, $f_{2n} (0)=1$이다.
ㄴ. $f_{2n-1} (x)$는 기함수이고, $f_{2n} (x)$는 우함수이다.
ㄷ. $f_{2n-1} (x)$와 $f_{2n} (x)$의 항의 개수는 각각 $n$개이다.

[참고] 다항함수에서 모든 항의 차수가 짝수인 함수는 우함수이고, 모든 항의 차수가 홀수인 함수는 기함수이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 $f (x)=\big[ x [ x ] \big]$에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

보기

ㄱ. $f (x)=-1$이 되는 $x$는 존재하지 않는다.
ㄴ. 자연수 $n$에 대하여 집합 $\left\{ f (x) \,|\, n \le x < n+1 \right\}$의 원소의 개수는 $n$개이다.
ㄷ. 자연수 $n$에 대해서 집합 $\left\{ f (x) \,|\, -n \le x < -n+1 \right\}$의 원소의 개수는 $n+1$개이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 정삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 한 점 $D$를 잡아 직선 $AD$가 $\triangle ABC$의 외접원과 만나는 점을 $E$라 할 때, $$\dfrac{1}{\overline{DE}} = \dfrac{1}{\overline{EB}} + \dfrac{1}{\overline{CE}}$$ 임을 보인 것이다.

증명

선분 $CE$의 연장선 위에 $\overline{EB} = \overline{EP}$인 점 $P$를 잡는다.
네 점 $A$, $B$, $E$, $C$는 한 원 위에 있으므로
$\angle AEC= \angle ABC=60 \degree $이고
$\angle AEB= \angle ACB=60 \degree $이다.
따라서 $\fbox{　 ㈎ 　}=60 \degree $이고 $\overline{EB} = \overline{EP}$이므로
$\triangle EBP$는 정삼각형이다.
그러므로 $\fbox{　 ㈏ 　}=60 \degree = \angle DEC$이고 선분 $BP$와 $DE$는 평행하다. $\triangle CBP$와 $\triangle CDE$는 닮음이므로
$\overline{BP} : \overline{DE} = \overline{CP} : \fbox{　 ㈐ 　}$이고 $\overline{BP} \cdot \fbox{　 ㈐ 　}= \overline{DE} \cdot \overline{CP}$이다.
또한 $\overline{BP} = \overline{EP} = \overline{EB}$, $\overline{CP} = \overline{CE} + \overline{EP}$이므로
$$\overline{EB} \cdot \fbox{　 ㈐ 　}= \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EP} \right)= \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EB} \right)$$ 가 된다. 양변을 $\overline{EB} \cdot \overline{CE} \cdot \overline{DE}$로 나누면
$\dfrac{1}{\overline{DE}} = \dfrac{1}{\overline{EB}} + \dfrac{1}{\overline{CE}}$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BPE$, ㈐ : $\overline{CE}$

② ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BPE$, ㈐ : $\overline{CD}$

③ ㈎ : $\angle EBP$, ㈏ : $\angle CBE$, ㈐ : $\overline{CE}$

④ ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle DCE$, ㈐ : $\overline{CD}$

⑤ ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BED$, ㈐ : $\overline{CD}$

다음은 자연수 $m$, $n$에 대하여 $m^{4} +4^{n}$이 소수이고 $m \ne 1$ 또는 $n \ne 1$이면, $m$은 홀수이고 $n$은 짝수임을 증명한 것이다.

증명

$m$이 짝수이거나 $n$이 홀수라 가정하자.
ⅰ) $m$이 짝수이면 $m=2j$ 꼴의 정수이고,
$m^{4} +4^{n} =4 \cdot (4j^{4} +4^{n-1} )$이므로 $m^{4} +4^{n}$은 $\fbox{　 ㈎ 　}$.
이것은 가정에 모순이므로 $m$은 홀수이다.
ⅱ) $n$이 홀수이면 $n=2k-1$ 꼴의 정수이다.
$m^{4} +4^{n} =m^{4} +4^{2k-1}$은 다음과 같이 인수분해된다. $$m^{4} +4^{2k-1} = \fbox{ 　㈏ 　} (m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} )$$ 이 수는 소수이므로
$\fbox{　 ㈏ 　} =1$ 또는 $m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} =1$이다.
그런데, $m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} > 1$이므로
$\fbox{　 ㈏ 　} =1$이다.
$\fbox{　 ㈏ 　} = \left(\fbox{　 ㈐ 　}\right)^{2} +4^{k-1} =1$로부터
$k=1$, $m=1$이다.
따라서 $m=1$, $n=1$이다.
이것은 가정에 모순이므로 $n$은 짝수이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k-1}$

② ㈎ : 소수이다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k-1}$

③ ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+1} +5 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k}$

④ ㈎ : 소수이다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+1} +5 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k}$

⑤ ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+2} +17 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k+1}$

두 함수 $f (x)=ax+b$와 $g (x)=e^{x}$가 $$f (g (x))= \displaystyle\int_{0}^{x} f (t) g (t) dt-x e^{x} +3$$ 을 만족할 때, $f (2)$의 값은?

① $4$

② $2$

③ $0$

④ $-2$

⑤ $-4$

그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선 $y=a(x-1)$이 서로 다른 다섯 점에서 만나게 되는 $a$의 범위는?

① $0 < a < \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

② $0 < a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

③ $0 < a < \dfrac{2}{3}$

④ $0 < a < \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

⑤ $0 < a < \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

함수 $f (x)=x^{2} -x-6$, $g (x)=x^{2} -ax+4$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $(f \circ g )(x) \ge 0$이 되는 실수 $a$의 범위는? (단, $f \circ g$는 $g$와 $f$의 합성함수이다)

① $a \le -1$, $a \ge 1$

② $-1 \le a \le 1$

③ $a \le -1$, $a \ge 1$

④ $-2 \le a \le 2$

⑤ $-4 \le a \le 4$

어떤 물질은 원자를 구로 나타낼 경우 똑같은 구들을 규칙적으로 배열하여 얻은 정육각형 격자구조를 갖는다. 아래 그림은 이 격자구조의 한 단면에 놓여 있는 원자의 중심을 연결한 것이다. 이 구조에서 한 원자의 에너지는 인접한 원자의 수와 거리에 영향을 받는다. 가장 인접한 원자의 중심간의 거리가 모두 $1$일 때, 동일 평면상에서 고정된 한 원자와 중심 사이의 거리가 $\sqrt{7}$인 원자의 개수는?

① $4$

② $6$

③ $8$

④ $12$

⑤ $16$

직선거리가 $500$m인 A지점과 B지점을 연결하는 도로를 건설하려고 했지만, 경사도가 $37 \degree$여서 우회도로가 필요하였다. 그래서 그림과 같이 $12\degree$의 경사도를 유지하는 도로를 건설하기로 결정하였다. A지점과 B지점까지 이 우회도로의 거리는 약 몇 m인가? (단, $\sin 12\degree=0.2$, $\sin 37 \degree=0.6$으로 계산한다.)

① $800$m

② $1000$m

③ $1200$m

④ $1500$m

⑤ $1800$m

중심도시에서 상품을 구매하는 주변도시의 전체 구매량은 다음과 같은 법칙을 따른다고 하자.

각 주변도시 B, C의 시민들이 중심도시 A시에서 상품을 구매할 때, 각 도시의 전체 구매량은 그 도시의 인구수에 비례하고 A시와의 거리의 제곱에 반비례한다.

위 법칙과 아래표에 의거하여 신도시 C를 건설하려고 한다.

도시 ＼ 구분	인구 (단위 : 명)	A시로부터의 거리 (단위 : km)
B시	$500000$	$20$
C시	$x$	$10$

A시에서 구매하는 C시의 전체 구매량이 B시의 전체 구매량의 절반이 되게 하려면 C시의 인구 $x$를 얼마로 예상해야 하는가?

① $42500$

② $52500$

③ $62500$

④ $72500$

⑤ $82500$

행렬 $A= \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}$에 대하여 $\dfrac{1}{2002} \displaystyle\sum_{n = 1}^{2002} A^{n} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}$일 때, $a+b+c+d$의 값을 구하여라.

함수 $f (x)= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+4} +2x}{x^{2n} +1}$일 때, $f \left( \dfrac{1}{2} \right)+f (2)$의 값을 구하여라.

$U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$일 때, $\left\{ 2, 3 \right\} \cap A \ne \phi $를 만족시키는 $U$의 부분집합 $A$의 개수를 구하여라.

다음 방정식의 모든 해의 곱을 구하여라. $$(\log_{2} x)^{3} +\log_{2} x^{3} =4(\log_{2} x)^{2} +\log_{2} x$$

어떤 행사에서 $20$ 종류의 스티커를 모으면 경품을 받을 수 있다고 한다. 갑은 네 종류, 을과 병은 각각 다섯 종류의 스티커를 모았다. 두 사람씩 비교하였을 때, 각각 세 종류의 스티커가 공통으로 있었고, 세 사람을 함께 비교하였을 때는 두 종류의 스티커가 공통으로 있었다. 갑, 을, 병의 스티커를 모아서 경품을 받으려고 할 때, 최소로 더 필요한 스티커의 종류의 수를 구하여라.

어떤 상품의 가격은 매달 $0.5$의 확률로 $10\%$ 상승하거나 $0.5$의 확률로 $10\%$ 하락한다. 이 상품의 현재가격은 $500$원이다. 두 달 후 이 상품의 가격이 $500$원 이하이면 $500$원에서 두 달 후 상품가격을 뺀 금액을 받고, $500$원 이상이면 받지 않기로 하였다. 두 달 후 받을 수 있는 금액의 기대값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하여라. (단, 첫번째 달의 가격변동과 두 번째 달의 가격변동은 서로 독립이다.)