2002학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 경기도교육청에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 2002년 11월 20일 (수)에 시행되었습니다.
2002학년도 11월 고2 전국연합학력평가
수리영역[예체능계](수학)
시행 : 2002.11.20(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 경기도교육청
$\dfrac{3- \sqrt{5}}{2} \left(\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{2}$을 간단히 하면?
① $\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $2$
⑤ $\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$
$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} -x-1=0$의 두 근을 각각 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $\alpha^{2} + \beta^{2}$의 값은?
① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$
로그방정식 $\log_{3} (1+\log_{3} x)= 2$의 근을 $x=a^{b}$이라 할 때, $a+b$의 값은? (단, $a$는 소수이고 $b$는 자연수이다.)
① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$
부등식 $2002x^{2} -x-2003 \le 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
두 함수 $f (x)=3x-1$, $g(x)= \sqrt{4x+1}$에 대하여 $(f \circ g^{-1}) (5)$의 값은? (단, $g^{-1}$는 $g$의 역함수이다.)
① $14$
② $15$
③ $16$
④ $17$
⑤ $18$
$x > 0$, $y < 0$, $|y | > |x |$일 때, $| x+y |-| x-y |$를 간단히 하면?
① $-2x$
② $-2y$
③ $-2x-2y$
④ $2x$
⑤ $2y$
$\theta $가 제$3$사분면의 각일 때,
$$\sqrt{\sin^{2} \theta +2\sin \theta \cos \theta +\cos^{2} \theta} - | \cos \theta | $$
을 간단히 하면?
① $\sin \theta $
② $\cos \theta $
③ $-\sin \theta $
④ $2\sin \theta +\cos \theta $
⑤ $\sin \theta +2\cos \theta $
점 $(-2, 3)$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동 시킨 후에 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동 시켰더니 점 $(4, 2)$가 되었다. 이 때, $m+n$의 값은?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
$\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $\sin A=\sin 2B$
ㄴ. $\cos \dfrac{A}{2} =\sin B$
ㄷ. $\tan A=\cot 2B$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ
곡선 $y=\log_{6} x$ 위의 두 점 $A(12, \log_{6} 12)$, $B(18, \log_{6} 18)$을 잇는 선분 $AB$의 중점을 $C$라 하자. 점 $C$를 지나고 $x$축에 평행한 직선과 곡선 $y=\log_{6} x$와의 교점을 $D$라 할 때, 점 $D$의 $x$좌표는?
① $6 \sqrt{5}$
② $14$
③ $6 \sqrt{6}$
④ $15$
⑤ $6 \sqrt{7}$
두 자리의 양의 정수
$$N=10a+b\text{ ($a$, $b$는 정수, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$)}$$
에 대하여 $f (N)$을 $f (N)= \dfrac{N}{a+b}$으로 정의한다. 예를 들어 $f (13)= \dfrac{13}{1+3} = \dfrac{13}{4}$, $f (63)= \dfrac{63}{6+3} =7$이다. 다음 중 $f (N)$의 값이 될 수 있는 것을 모두 고르면?
$1$, $\dfrac{41}{5}$, $10$
① $1$
② $\dfrac{41}{5}$
③ $1$, $10$
④ $\dfrac{41}{5}$, $10$
⑤ $1$, $\dfrac{41}{5}$, $10$
오른쪽 그림은 함수 $f (x)=3x(1-x)$의 그래프의 일부이다. $0 \le x \le 1$에서 함수 $y=f (f (x))$의 치역은?
① $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{1}{4} \right\} \right.$
② $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{1}{2} \right\} \right.$
③ $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{9}{16} \right\} \right.$
④ $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{3}{4} \right\} \right.$
⑤ $\left\{y \,|\, 0 \le y \le 1 \right\}$
좌표평면에 두 점 $A(-1, -2)$, $B(3, 6)$을 잇는 선분 $AB$의 수직이등분선이 있다. 이 때, 원점과 이 수직이등분선 사이의 거리는?
① $\sqrt{2}$
② $\sqrt{3}$
③ $2$
④ $\sqrt{5}$
⑤ $\sqrt{6}$
다항식 $f (x)=(x+1)(x+10)$과 집합
$$A= \left\{a\,|\, 1 \le a \le 30\text{, $a$는 자연수}\right\}$$
이 있다. $f (a)$의 값이 $6$으로 나누어 떨어지도록 하는 집합 $A$의 원소 $a$의 개수는?
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
$f (x)=2^{x} +2^{-x}$일 때, 등식 $f (x)=f (x-1)$을 만족하는 $x$의 값은?
① $- \dfrac{1}{4}$
② $- \dfrac{1}{2}$
③ 0
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $\dfrac{1}{2}$
$0 \le x \le 2$에서 함수 $y=f (x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, $f^{2002} \left(\dfrac{5}{4} \right)$의 값은? (단, $f^{1} (x)=f (x)$, $f^{2} (x)=f (f (x))$, $f^{3} (x)=f (f^{2} (x))$, $\cdots$, $f^{n+1} (x) =f (f^{n} (x))$, $n$은 자연수)
① $0$
② $1$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{5}{4}$
⑤ $2$
다음은 $\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 밑변 $BC$ 위의 임의의 점에서 직선 $AB$, $AC$에 이르는 거리의 합이 일정함을 증명한 것이다.
증명
직선 $BC$를 $x$축, 선분 $BC$의 수직이등분선을 $y$축으로 하면, 점 $A$는 $y$축 위의 점이다.
점 $A$의 좌표를 $(0, a)$ (단, $a > 0$), 직선 $AB$의 방정식을 $y=mx+a$라 놓으면 직선 $AC$의 방정식은 $y=\fbox{ ㈎ }$
변 $BC$ 위의 임의의 점 $P (p, 0)$에서 직선 $AB$, $AC$에 이르는 거리의 합을 $l$이라 하면
$$l= \dfrac{\left| mp+a \right|}{\sqrt{\fbox{ ㈏ }}} + \dfrac{\left| -mp+a \right|}{\sqrt{\fbox{ ㈏ }}}$$
그런데, $mp+a \ge 0$, $-mp+a \ge 0$이므로 $l= \dfrac{\fbox{ ㈐ }}{\sqrt{\fbox{ ㈏ }}}$
따라서, $l$은 $p$의 값에 관계없이 일정하다.
위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?
① $mx-a$, $m^{2} +a^{2}$, $a$
② $mx+a$, $m^{2} +a^{2}$, $a$
③ $-mx+a$, $m^{2} +1$, $3a$
④ $-mx-a$, $m^{2} +1$, $2a$
⑤ $-mx+a$, $m^{2} +1$, $2a$
다음은 연속한 세 자연수의 세제곱의 합은 어떤 수의 배수임을 증명하는 과정이다.
증명
$n$이 $2$ 이상의 자연수일 때
$P=(n-1)^{3} +n^{3} +\fbox{ ㈎ }$(이)라 놓으면
$P$ $=(n^{3} -3n^{2} +3n-1)+n^{3} +\fbox{ ㈎ }$
$P$ $=3(n^{3} -n)+\fbox{ ㈏ }$
$P$ $=3n(n-1)(n+1)+\fbox{ ㈏ }$
그런데 $n(n-1)(n+1)$은 연속한 세 자연수의 곱이므로 $6$의 배수이다. 따라서 $3n(n-1)(n+1)$은 $18$의 배수이고 $\fbox{ ㈏ }$은 $\fbox{ ㈐ }$의 배수이다.
따라서 $P$는 $\fbox{ ㈐ }$의 배수이다.
위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?
① $(n+1)^{3}$, $6n$, $9$
② $(n+1)^{3}$, $9n$, $9$
③ $(n+1)^{3}$, $6n$, $18$
④ $n^{3} +1$, $9n$, $18$
⑤ $n^{3} +1$, $6n$, $6$
$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} -ax+b=0$의 두 근이 모두 양의 정수일 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $a$, $b$는 모두 양수이다.
ㄴ. 두 근은 모두 $a$보다 작다.
ㄷ. $b$가 홀수이면 $a$도 홀수이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다항식 $f (x)=ax^{2} +bx+3$에 대하여 $f (x)-1$은 $x-1$로 나누어 떨어지고, $f (x)+1$은 $x+1$로 나누어 떨어진다. 이 때, 두 상수 $a$, $b$의 곱 $a b$의 값은?
① $-3$
② $-2$
③ $-1$
④ $1$
⑤ $2$
외접원의 반지름의 길이가 $3$이고 $\overline{AB} =2$, $\overline{AC} =3$인 삼각형 $ABC$에서 선분 $BC$의 길이는? (단, $\angle BAC$는 둔각이다.)
① $\sqrt{3} + \sqrt{2}$
② $2 \sqrt{3}$
③ $4$
④ $3 \sqrt{2}$
⑤ $\sqrt{3} +2 \sqrt{2}$
집합 $S= \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$에 대하여
$$X \subset S, n(X) \ge 2$$
를 만족하는 집합 $X$의 최대인 원소와 최소인 원소의 합을 $s(X)$라 하자. 예를 들면 $X= \left\{1, 2, 3 \right\}$일 때, $s(X)=1+3=4$이다. 이 때, $s(X)=7$을 만족하는 집합 $X$의 개수는? (단, $n(X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)
① $16$
② $19$
③ $20$
④ $21$
⑤ $24$
어느 백화점에서 ㈎, ㈏ 두 종류의 물건을 산 후 모두 $12, 160$원을 지불하고 받은 영수증의 내역은 아래 그림과 같았다.
| 영 수 증 |
| 품목 | 소매가 | 부가가치세 | 소계 |
| ㈎ | $\square \square \square \square$원 | 면세 | 0원 | $\square \square \square \square$원 |
| ㈏ | $\triangle \triangle \triangle \triangle$원 | 과세(10\%) | $\triangle \triangle \triangle$원 | $■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■$ |
| 합계 | | 12,160원 |
| ○○○백화점 |
㈎는 부가가치세가 없었고, ㈏는 소매가의 $10\%$가 부가가치세로 과세되어 소계란에 그 합이 적혀있었다. ㈏의 소매가는 ㈎의 소매가의 두 배이었을 때, $■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■$ 안에 적혀있는 금액은?
① $8,260$원
② $8,310$원
③ $8,360$원
④ $8,410$원
⑤ $8,460$원
야구팀 K가 A, B, C 세 야구팀과 이 순서대로 상대한 경기 결과는 다음과 같았다.
㈎ 세 경기에서 K팀이 얻은 점수의 합계는 11점이다.
㈏ K팀이 매 경기마다 얻은 점수는 이전 경기에서 얻은 점수보다 많다.
㈐ K팀이 세 경기에서 얻은 점수를 모두 곱하면 B팀과의 경기에서 얻은 점수의 12배이다.
K팀이 B팀과의 경기에서 얻은 점수는?
① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$
전체집합 $U= \left\{1, 2, 3, 4, \cdots, 10 \right\}$의 두 부분집합
$$A= \left\{1, 3, 5, 7, 9 \right\}, B= \left\{3, 4, 5, 6, 7 \right\}$$
에 대하여 집합 $A-B^{c}$의 모든 원소의 총합을 구하시오.
$5050^{2} -10100\cdot 5046+5046^{2}$을 계산하시오.
양의 실수 $a$를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림했을 때의 정수 값을 $\left< a \right> $로 나타내자. 방정식 $\left< 3x-1 \right>= 25$를 만족하는 $x$에 대하여 $\left< x \right> $의 값을 구하시오.
두 이차함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 부등식 $f(x)g(x) > 0$의 해가
$$p < x < q\text{ 또는 }r < x < s$$
일 때, $p$, $q$, $r$, $s$의 곱 $p q r s$의 값을 구하시오.
세 자연수 $a$, $b$, $c$의 최대공약수가 $3$이고, 등식 $2^{a} \cdot 5^{b} =400^{c}$을 만족할 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 축사 한 쪽 귀퉁이에 길이가 $27$m인 철망으로 울타리를 치려고 한다. $\overline{AB} = \overline{AE}$, $\overline{BC} = \overline{DE}$일 때, 울타리로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이의 최대값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 축사의 벽면에는 울타리를 치지 않는다.)
