2003-03 2003학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)

2003학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2003년 3월 27일 (목)에 시행되었습니다.

2003학년도 3월 고3 전국연합학력평가

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2003.3.27(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$\dfrac{3-i}{2+i}$를 간단히 하면? (단, $i= \sqrt{-1}$)

① $1-i$

② $1+i$

③ $2i$

④ $\dfrac{7-i}{5}$

⑤ $\dfrac{7+i}{5}$

$8^{1\over2} \times 4^{1\over3} \div 2^{1\over6}$을 간단히 하면?

① $\sqrt{2}$

② $2$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $4$

⑤ $4 \sqrt{2}$

$f (x) = (x-1)(x^{2} +x+1)$에 대하여 미분계수 $f^{\prime} (1)$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

전체집합 $U$의 세 부분집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 다음 중 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합은?

① $(A-B )-C$

② $(A-B )-(B-C )$

③ $(A-B ) \cup (B-C )$

④ $(A-B ) \cap (C-B )$

⑤ $(B-C ) \cup (C-A )$

$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $2x^{3} -6x^{2} +a \ge 0$이 성립하도록 실수 $a$의 값의 범위를 정하면?

① $1 \le a \le 8$

② $3 \le a \le 7$

③ $6 \le a \le 12$

④ $a \ge 8$

⑤ $a \le 9$

함수 $y= \dfrac{x}{x-1}$의 그래프에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. 점근선은 두 직선 $x=1$, $y=0$이다.
ㄴ. 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.
ㄷ. 제$1$, $2$, $4$사분면을 지난다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

행렬 $A= \begin{pmatrix}2 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$와 그 역행렬 $A^{-1}$에 대하여 $A=A^{-1}$가 성립할 때, $x+y$의 값은?

① $-1$

② $-2$

③ $-3$

④ $-4$

⑤ $-5$

그림과 같이 길이가 $2$m인 회전팔 $OP$가 점 $O$를 중심으로 $1$초에 $1\degree$씩 회전하고 있다. 오른쪽 바닥 $OA$에서 출발한 회전팔은 왼쪽 바닥 $OB$에 닿으면 방향을 바꾸어 왔던 방향으로 되돌아 간다. 이와 같이 바닥에 닿을 때마다 방향을 바꾸어 회전을 계속하는 회전팔 $OP$가 $1230$초 동안 회전한 후 멈추었을 때, 회전팔의 끝점 $P$와 선분 $AB$ 사이의 거리는? (단, 회전팔이 지나는 평면은 바닥에 수직이고, 회전팔의 굵기는 무시한다.)

① $0.2$m

② $0.5$m

③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$m

④ $1$m

⑤ $\sqrt{2}$m

어떤 실수 $a$에 대하여 두 수 $[ a]$와 $a-[a]$를 근으로 하는 이차방정식이 $3x^{2} -4x+k=0$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $[a]$는 $a$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

크기가 $R_{1}$, $R_{2}$인 두 저항에 대하여 이를 직렬로 연결한 전체저항의 크기를 $R_{S}$라 하면 $R_{S} =R_{1} +R_{2}$이고, 병렬로 연결한 전체저항의 크기를 $R_{P}$라 하면 $\dfrac{1}{R_{P}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}}$이다. 크기가 모두 $r$인 4개의 저항을 아래 그림과 같이 연결하였을 때, 두 지점 $A$와 $B$ 사이의 전체저항의 크기는?

① $\dfrac{3}{5} r$

② $\dfrac{7}{10} r$

③ $\dfrac{4}{5} r$

④ $\dfrac{9}{10} r$

⑤ $r$

아래와 같이 $2003$이 처음 나올 때까지 홀수들을 나열한 수열이 있다. $$1,\,\,\,\,1,\,\,\,\,3,\,\,\,\,1,\,\,\,\,3,\,\,\,\,5,\,\,\,\,1,\,\,\,\,3,\,\,\,\,5,\,\,\,\,7,\,\,\,\,1,\,\,\,\,3,\,\,\,\,5,\,\,\,\,7,\,\,\,\,9,\,\,\,\,\cdots,\,\,\,\,2001,\,\,\,\,2003$$ 다음 중 이 수열의 모든 항의 합을 나타내는 것은?

① $\dfrac{1000\cdot 1001\cdot 2001}{6}$

② $\dfrac{1001\cdot 1002\cdot 2003}{6}$

③ $\dfrac{1002\cdot 1003\cdot 2005}{6}$

④ $\dfrac{1003\cdot 1004\cdot 2007}{6}$

⑤ $\dfrac{1004\cdot 1005\cdot 2009}{6}$

방정식 $\sqrt{1-x^{2}} =a(x+3)$이 실근을 갖도록 하는 실수 $a$의 값의 범위가 $m \le a \le M$일 때, $M - m$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

③ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

다항함수 $y=f ( x )$가 다음 두 조건 Ⅰ, Ⅱ를 모두 만족할 때, $f ( 1 )$의 값은?

Ⅰ. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f ( x ) - x^{3}}{x^{2}} = 1$
Ⅱ. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f ( x )}{x} = 2$

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

네 개의 시계 A, B, C, D가 있다. 어느 시각에 A는 $8$시 $57$분, B는 $8$시 $58$분, C는 $9$시 $3$분, D는 $9$시 $6$분을 동시에 나타내고 있다. 이들 시계가 나타내는 시각과 정확한 시각의 차이는 작은 순서대로 $2$분, $3$분, $4$분, $5$분이다. 이때, A시계와 B시계가 나타내는 시각과 정확한 시각의 차이를 차례로 적으면?

① $3$분, $2$분

② $3$분, $4$분

③ $4$분, $3$분

④ $4$분, $5$분

⑤ $5$분, $4$분

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+2} =a_{n+1} +a_{n}$을 만족할 때, 다음 중 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} a_{k}$와 같은 것은? (단, $a_{1} \ne 0$, $a_{2} \ne 0$)

① $a_{101} -a_{1}$

② $a_{101} -a_{2}$

③ $a_{101} +a_{1}$

④ $a_{102} -a_{2}$

⑤ $a_{102} +a_{2}$

$x > 0$일 때, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가하는 함수를 [보기]에서 모두 고르면?

보기

ㄱ. $y= \dfrac{x+1}{x}$
ㄴ. $y= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{{x+1}\over{x}}$
ㄷ. $y=\log_{2} \dfrac{x+1}{x}$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 계수 $a$, $b$가 모두 정수인 이차방정식 $x^{2} +ax+b=0$의 근이 유리수일 때, 이 근은 반드시 정수임을 증명하는 과정이다.

증명

이 방정식의 유리수인 근을 $\alpha = \dfrac{q}{p}$ ($p$, $q$는 서로소인 정수)로 놓고, $\alpha $를 주어진 방정식에 대입하면
$\left( \dfrac{q}{p} \right)^{2} + a \left( \dfrac{q}{p} \right) +b =0$
$\therefore$ $\dfrac{q^{2}}{p} = - (aq+bp)$ $\cdots$ ㉠
㉠에서 $\dfrac{q^{2}}{p}$은 $\fbox{　 ㈎ 　}$이고, $p$와 $q^{2}$은 서로소이므로 $\fbox{　 ㈏ 　}$이어야 한다.
따라서, $\alpha $는 정수이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① 정수  $p=\pm 1$

② 정수  $q=\pm 1$

③ 양의 정수  $p=1$

④ 음의 정수  $p=-1$

⑤ 음의 정수  $q=-1$

다음은 $\square ABCD$내부의 임의의 점 $P$에 대하여 $\triangle PAB$의 넓이와 $\triangle PCD$의 넓이의 합 $\triangle PAB+\triangle PCD$가 일정하면 $\square ABCD$는 평행사변형임을 증명하는 과정이다.

증명

ⅰ) $\square ABCD$ 내부의 두 점 $P$, $Q$를 $\fbox{　 ㈎ 　}$가 되도록 잡으면
$\triangle PAB=\triangle QAB$
한편, 주어진 가정에 의하여
$\triangle PAB+\triangle PCD=\triangle QAB+\fbox{　 ㈏ 　}$
$\therefore$ $\triangle PCD=\fbox{　 ㈏ 　}$
따라서 $\fbox{　 ㈐ 　}$이므로 $\overline{AB} // \overline{CD}$
ⅱ) 같은 방법으로 하면 $\overline{AD} // \overline{BC}$이다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여 $\square ABCD$는 평행사변형이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① $\overline{PQ} = \overline{AB}$  $\triangle PQA$  $\overline{PQ} // \overline{CD}$

② $\overline{PQ} = \overline{AB}$  $\triangle PQA$  $\overline{PQ} = \overline{CD}$

③ $\overline{PQ} // \overline{AB}$  $\triangle QCD$  $\overline{PQ} // \overline{CD}$

④ $\overline{PQ} // \overline{AB}$  $\triangle QCD$  $\overline{PQ} = \overline{CD}$

⑤ $\overline{PQ} ⊥ \overline{AB}$  $\triangle BCD$  $\overline{PQ} ⊥ \overline{CD}$

오른쪽 그림과 같이 무한히 많은 모눈이 그려진 평면에서 임의의 한 모눈은 8개의 이웃하는 모눈으로 둘러싸여 있다. 이때, 각 모눈의 색은 매 분마다 그 모눈에 이웃한 8개의 모눈 중 검은색 모눈의 개수에 따라 다음 표와 같이 결정된다.

이웃한 8개의 모눈 중 검은색 모눈의 개수	1분 후 모눈의 색
1개 이하	흰색
2개	변화 없음
3개	검은색
4개 이상	흰색

아래 그림과 같이 평면에 검은색 모눈이 5개가 있는 [그림1]은 1분 후에 [그림2]로 변한다. 다시 $1$분 후 [그림3]에 나타날 모습으로 옳은 것은?

오른쪽 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $A_{1} A_{2}$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $A_{3}$, 선분 $A_{2} A_{3}$을 $1 : 2$로 내분하는 점을 $A_{4}$라 한다. 이와 같이 한없이 계속하여 점 $A_{n}$을 잡고, 선분 $A_{n}A_{n+1}$을 지름으로 하는 반원의 호의 길이를 $l_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} l_{n}$의 값은?

① $\pi $

② $\dfrac{3}{2} \pi $

③ $2 \pi $

④ $\dfrac{5}{2} \pi $

⑤ $3 \pi $

길이가 $60$인 막대에 $12$등분점들마다 눈금을 표시한다. 또, 같은 방법으로 이 막대에 $15$등분점, $20$등분점들마다 각각 눈금을 표시한다. 이때, 막대의 눈금이 표시된 곳을 모두 자르면 막대는 몇 개로 나뉘어지는가? (단, 막대를 $n$개의 같은 길이로 나누는 것을 $n$등분이라고 한다.)

① $28$개

② $30$개

③ $32$개

④ $34$개

⑤ $36$개

그림과 같이 담으로 둘러싸인 직사각형 모양의 평평한 구역이 있다. 경비원이 순찰함 $A$에서 출발하여 그림과 같이 담의 두 지점을 지나 순찰함 $B$까지 움직일 때, 가능한 최단거리는 몇 m인가?

① $55 \sqrt{2}$

② $60 \sqrt{2}$

③ $65 \sqrt{2}$

④ $55 \sqrt{3}$

⑤ $60 \sqrt{3}$

비밀유지가 요구되는 문장을 일정한 기호로 바꾸어 놓은 것을 ‘암호문’이라 한다.

$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$
0	1	2	3	4	5	6

[표1]
$7$개의 알파벳 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$를 집합 $Z= \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$의 원소에 [표1]과 같이 대응시킨다. 또, 집합 $Z$의 두 원소 $x$, $y$에 대하여 연산 $\otimes $를 $$x \otimes y= (xy\text{를 $7$로 나눈 나머지})$$

$\otimes$	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

[표2]
로 정의하면 그 결과는 [표2]와 같다. 이때, 함수 $f : Z \to Z$를 $f (x)= 3 \otimes x$로 정의하면, [표1]의 대응과 함수 $f$에 의하여 ‘$cad$’는 암호문 ‘$602$’로 바뀌어진다. 다음 중 암호문 ‘$153$’을 바르게 해독한 것은?

① $fbe$

② $feb$

③ $feg$

④ $geb$

⑤ $gef$

A선수가 어떤 장애물을 뛰어 넘기 위해서는 $8$m/초 이상의 속력을 내어야 한다. A선수가 정지상태에서 출발하여 매초 $2$m/초 씩 일정한 비율로 속력을 높인다면 최소한 이 장애물의 몇 m 앞에서 출발하여야 장애물을 뛰어 넘을 수 있는가?

① $8$

② $10$

③ $12$

④ $14$

⑤ $16$

등식 $\begin{pmatrix}-1 & x \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 6 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$을 만족시키는 실수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오.

다항식 $f (x)$를 $x^{2} -9$로 나눈 나머지가 $7x+2$일 때, $f (x)$를 $x-3$으로 나눈 나머지를 구하시오.

분수부등식 $x-1 \le \dfrac{20}{x-2}$을 만족하는 모든 자연수 $x$들의 합을 구하시오.

그림과 같이 두 지점 $A$, $B$ 사이에 건물이 있다. 다른 한 지점 $C$에서 두 지점 $A$, $B$까지의 거리와 $\angle ACB$의 크기를 측정하였더니 다음과 같았다. $$\overline{AC} =30\text{m},  \overline{BC} =50\text{m},  \angle ACB=120\degree$$ 이때, 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 몇 m인지 구하시오.

연속함수 $f (x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f (x)=f (-x),  f (2-x)=f (x)$$ 를 만족하고, $\displaystyle\int_{0}^{1} f (x) dx=2$일 때, $\displaystyle\int_{0}^{6} \left\{ x^{2} +f (x) \right\} dx$의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $O (0, 0)$, $A (0, 8)$과 제$1$사분면 위의 점 $B$에 대하여 $\angle ABO=30\degree$일 때, 세 점 $O$, $A$, $B$를 지나는 원의 중심의 좌표를 $(a, b)$, 반지름의 길이를 $r$라 하자. 이때, $a+b+r$의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\sqrt{3} =1.732$로 계산한다.)