2003학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2003년 3월 27일 (목)에 시행되었습니다.
2003학년도 3월 고3 전국연합학력평가
수리영역[예체능계](수학)
시행 : 2003.3.27(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청
$\dfrac{3-i}{2+i}$를 간단히 하면? (단, $i= \sqrt{-1}$)
① $1-i$
② $1+i$
③ $2i$
④ $\dfrac{7-i}{5}$
⑤ $\dfrac{7+i}{5}$
$8^{1\over2} \times 4^{1\over3} \div 2^{1\over6}$을 간단히 하면?
① $\sqrt{2}$
② $2$
③ $2 \sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $4 \sqrt{2}$
$\dfrac{\sin \theta}{1-\cos \theta} + \dfrac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$를 간단히 하면?
① $2$
② $2\sin \theta $
③ $2\cos \theta $
④ $\dfrac{2}{\cos \theta}$
⑤ $\dfrac{2}{\sin \theta}$
전체집합 $U$의 세 부분집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 다음 중 오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합은?
① $(A-B )-C$
② $(A-B )-(B-C )$
③ $(A-B ) \cup (B-C )$
④ $(A-B ) \cap (C-B )$
⑤ $(B-C ) \cup (C-A )$
두 조건 $p : | x-a | \le 2$, $q : | x-1 | \le 3$에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이 되도록 상수 $a$의 값을 정할 때, $a$의 최대값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
함수 $y= \dfrac{x}{x-1}$의 그래프에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. 점근선은 두 직선 $x=1$, $y=0$이다.
ㄴ. 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다.
ㄷ. 제$1$, $2$, $4$사분면을 지난다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
연립방정식 $\begin{cases} x^{2} +y^{2} = 25 \\ (x+y)^{2} = 25\end{cases}$의 해를 $x= \alpha$, $y= \beta $라 할 때, 순서쌍 $( \alpha, \beta )$의 개수는?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $0$
그림과 같이 길이가 $2$m인 회전팔 $OP$가 점 $O$를 중심으로 $1$초에 $1\degree$씩 회전하고 있다. 오른쪽 바닥 $OA$에서 출발한 회전팔은 왼쪽 바닥 $OB$에 닿으면 방향을 바꾸어 왔던 방향으로 되돌아 간다. 이와 같이 바닥에 닿을 때마다 방향을 바꾸어 회전을 계속하는 회전팔 $OP$가 $1230$초 동안 회전한 후 멈추었을 때, 회전팔의 끝점 $P$와 선분 $AB$ 사이의 거리는? (단, 회전팔이 지나는 평면은 바닥에 수직이고, 회전팔의 굵기는 무시한다.)
① $0.2$m
② $0.5$m
③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$m
④ $1$m
⑤ $\sqrt{2}$m
어떤 실수 $a$에 대하여 두 수 $[ a]$와 $a-[a]$를 근으로 하는 이차방정식이 $3x^{2} -4x+k=0$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $[a]$는 $a$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
크기가 $R_{1}$, $R_{2}$인 두 저항에 대하여 이를 직렬로 연결한 전체저항의 크기를 $R_{S}$라 하면 $R_{S} =R_{1} +R_{2}$이고, 병렬로 연결한 전체저항의 크기를 $R_{P}$라 하면 $\dfrac{1}{R_{P}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}}$이다. 크기가 모두 $r$인 4개의 저항을 아래 그림과 같이 연결하였을 때, 두 지점 $A$와 $B$ 사이의 전체저항의 크기는?
① $\dfrac{3}{5} r$
② $\dfrac{7}{10} r$
③ $\dfrac{4}{5} r$
④ $\dfrac{9}{10} r$
⑤ $r$
좌표평면에서 점 $A(-4, 0)$과 원 $x^{2} +y^{2} =12$ 위의 점 $P$를 지나는 직선 $AP$의 기울기의 최대값은?
① $\dfrac{1}{2}$
② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
③ $1$
④ $\sqrt{2}$
⑤ $\sqrt{3}$
이차함수 $y=f (x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식
$$\left\{ f (x) \right\}^{2} +2f (x)-3=0$$
의 서로 다른 실근의 개수는? (단, 꼭지점의 $y$좌표는 $1$이다.)
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $0$
두 이차함수 $y = -x^{2} +3$과 $y = x^{2} -4x+3$의 그래프의 꼭지점을 각각 $A$, $B$라 할 때, 직선 $AB$의 $x$절편은?
① $\dfrac{3}{2}$
② $\dfrac{4}{3}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{1}{2}$
⑤ $\dfrac{1}{3}$
네 개의 시계 A, B, C, D가 있다. 어느 시각에 A는 $8$시 $57$분, B는 $8$시 $58$분, C는 $9$시 $3$분, D는 $9$시 $6$분을 동시에 나타내고 있다. 이들 시계가 나타내는 시각과 정확한 시각의 차이는 작은 순서대로 $2$분, $3$분, $4$분, $5$분이다. 이때, A시계와 B시계가 나타내는 시각과 정확한 시각의 차이를 차례로 적으면?
① $3$분, $2$분
② $3$분, $4$분
③ $4$분, $3$분
④ $4$분, $5$분
⑤ $5$분, $4$분
자연수 $n$에 대하여 $3^{n} +5^{n}$을 $10$으로 나눈 나머지를 $f (n)$이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $f (4)=6$
ㄴ. 모든 자연수 $n$에 대하여 $f (2n+1)=f (2n-1)$
ㄷ. 모든 자연수 $n$에 대하여 $f (n+4)=f (n)$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
$x > 0$일 때, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가하는 함수를 [보기]에서 모두 고르면?
보기
ㄱ. $y= \dfrac{x+1}{x}$
ㄴ. $y= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{{x+1}\over{x}}$
ㄷ. $y=\log_{2} \dfrac{x+1}{x}$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다음은 연속된 세 홀수의 곱은 3의 배수임을 증명하는 과정이다.
증명
연속된 세 홀수의 곱 $P$를
$$P=(2k-1)(2k+1)(2k+3)\text{ (단, $k$는 정수)}$$
이라 하자.
이때, 정수 $k$는 적당한 정수 $m$에 대하여
$3m$, $3m+1$, $3m+2$ 중 어느 하나로 나타낼 수 있다.
그런데, $k=3m$이면 $\fbox{ ㈎ }$이 3의 배수이고
그런데, $k=3m+1$이면 $\fbox{ ㈏ }$이 3의 배수이고
그런데, $k=3m+2$이면 $\fbox{ ㈐ }$이 3의 배수이므로
임의의 정수 $k$에 대하여 $P$는 3으로 나누어 떨어진다.
따라서 연속된 세 홀수의 곱은 3의 배수이다.
위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?
① $2k-1$ $2k+1$ $2k+3$
② $2k-1$ $2k+3$ $2k+1$
③ $2k+1$ $2k+3$ $2k-1$
④ $2k+3$ $2k-1$ $2k+1$
⑤ $2k+3$ $2k+1$ $2k-1$
다음은 $\square ABCD$내부의 임의의 점 $P$에 대하여 $\triangle PAB$의 넓이와 $\triangle PCD$의 넓이의 합 $\triangle PAB+\triangle PCD$가 일정하면 $\square ABCD$는 평행사변형임을 증명하는 과정이다.
증명
ⅰ) $\square ABCD$ 내부의 두 점 $P$, $Q$를 $\fbox{ ㈎ }$가 되도록 잡으면
$\triangle PAB=\triangle QAB$
한편, 주어진 가정에 의하여
$\triangle PAB+\triangle PCD=\triangle QAB+\fbox{ ㈏ }$
$\therefore$ $\triangle PCD=\fbox{ ㈏ }$
따라서 $\fbox{ ㈐ }$이므로 $\overline{AB} // \overline{CD}$
ⅱ) 같은 방법으로 하면 $\overline{AD} // \overline{BC}$이다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여 $\square ABCD$는 평행사변형이다.
위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?
① $\overline{PQ} = \overline{AB}$ $\triangle PQA$ $\overline{PQ} // \overline{CD}$
② $\overline{PQ} = \overline{AB}$ $\triangle PQA$ $\overline{PQ} = \overline{CD}$
③ $\overline{PQ} // \overline{AB}$ $\triangle QCD$ $\overline{PQ} // \overline{CD}$
④ $\overline{PQ} // \overline{AB}$ $\triangle QCD$ $\overline{PQ} = \overline{CD}$
⑤ $\overline{PQ} ⊥ \overline{AB}$ $\triangle BCD$ $\overline{PQ} ⊥ \overline{CD}$
오른쪽 그림과 같이 무한히 많은 모눈이 그려진 평면에서 임의의 한 모눈은 8개의 이웃하는 모눈으로 둘러싸여 있다. 이때, 각 모눈의 색은 매 분마다 그 모눈에 이웃한 8개의 모눈 중 검은색 모눈의 개수에 따라 다음 표와 같이 결정된다.
| 이웃한 8개의 모눈 중 검은색 모눈의 개수 | 1분 후 모눈의 색 |
| 1개 이하 | 흰색 |
| 2개 | 변화 없음 |
| 3개 | 검은색 |
| 4개 이상 | 흰색 |
아래 그림과 같이 평면에 검은색 모눈이 5개가 있는 [그림1]은 1분 후에 [그림2]로 변한다. 다시 $1$분 후 [그림3]에 나타날 모습으로 옳은 것은?
좌표평면에서 $y=3^{x}$의 그래프와 직선 $x=1$ 및 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A$, $y=\log_{3} x$의 그래프와 직선 $x=3$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $B$라 할 때, $A+B$의 값은?
① $2$
② $\dfrac{5}{2}$
③ $3$
④ $\dfrac{7}{2}$
⑤ $4$
길이가 $60$인 막대에 $12$등분점들마다 눈금을 표시한다. 또, 같은 방법으로 이 막대에 $15$등분점, $20$등분점들마다 각각 눈금을 표시한다. 이때, 막대의 눈금이 표시된 곳을 모두 자르면 막대는 몇 개로 나뉘어지는가? (단, 막대를 $n$개의 같은 길이로 나누는 것을 $n$등분이라고 한다.)
① $28$개
② $30$개
③ $32$개
④ $34$개
⑤ $36$개
그림과 같이 담으로 둘러싸인 직사각형 모양의 평평한 구역이 있다. 경비원이 순찰함 $A$에서 출발하여 그림과 같이 담의 두 지점을 지나 순찰함 $B$까지 움직일 때, 가능한 최단거리는 몇 m인가?
① $55 \sqrt{2}$
② $60 \sqrt{2}$
③ $65 \sqrt{2}$
④ $55 \sqrt{3}$
⑤ $60 \sqrt{3}$
비밀유지가 요구되는 문장을 일정한 기호로 바꾸어 놓은 것을 ‘암호문’이라 한다.
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $e$ | $f$ | $g$ |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
[표1]
$7$개의 알파벳 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$를 집합 $Z= \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$의 원소에 [표1]과 같이 대응시킨다. 또, 집합 $Z$의 두 원소 $x$, $y$에 대하여 연산 $\otimes $를
$$x \otimes y= (xy\text{를 $7$로 나눈 나머지})$$
| $\otimes$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
| 4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| 6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
[표2]
로 정의하면 그 결과는 [표2]와 같다. 이때, 함수 $f : Z \to Z$를 $f (x)= 3 \otimes x$로 정의하면, [표1]의 대응과 함수 $f$에 의하여 ‘$cad$’는 암호문 ‘$602$’로 바뀌어진다. 다음 중 암호문 ‘$153$’을 바르게 해독한 것은?
① $fbe$
② $feb$
③ $feg$
④ $geb$
⑤ $gef$
광도 $I$인 등대로부터 $x$m 떨어진 곳에서 측정되는 조도 $L$은 다음과 같이 계산된다고 한다.
$$L = \dfrac{I \cdot 10^{-kx}}{x^{2}}\text{ ($k$는 기상상태에 따른 상수)}$$
광도 $I=3 \times 10^{5}$인 어떤 등대에서 $1000$m 떨어진 곳에서 측정된 조도가 $L=6 \times 10^{-4}$일 때, 기상상태에 따른 상수 $k$의 값은? (단, $\log_{10} 2 =0.3$으로 계산한다.)
[참고]
광원에서 단위시간에 나오는 빛의 양을 ‘광도’(단위는 cd)라 하고, 그 빛이 관측지점에서 측정되는 밝기를 ‘조도’(단위는 lx)라 한다.
① $1.7 \times 10^{-2}$
② $2.3 \times 10^{-3}$
③ $2.7 \times 10^{-3}$
④ $2.3 \times 10^{-4}$
⑤ $2.7 \times 10^{-4}$
$\sqrt{28+2 \sqrt{75}} + \sqrt{28-2 \sqrt{75}}$의 값을 구하시오.
다항식 $f (x)$를 $x^{2} -9$로 나눈 나머지가 $7x+2$일 때, $f (x)$를 $x-3$으로 나눈 나머지를 구하시오.
이차부등식 $x^{2} \le 5x+24$를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구하시오.
그림과 같이 두 지점 $A$, $B$ 사이에 건물이 있다. 다른 한 지점 $C$에서 두 지점 $A$, $B$까지의 거리와 $\angle ACB$의 크기를 측정하였더니 다음과 같았다.
$$\overline{AC} =30\text{m}, \overline{BC} =50\text{m}, \angle ACB=120\degree$$
이때, 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 몇 m인지 구하시오.
좌표평면에서 연립부등식 $\begin{cases} y \le -| x |+6 \\ y \ge | x-k | \end{cases}$가 나타내는 영역의 넓이가 $10$이 되는 상수 $k$에 대하여 $k^{2}$의 값을 구하시오.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $O (0, 0)$, $A (0, 8)$과 제$1$사분면 위의 점 $B$에 대하여 $\angle ABO=30\degree$일 때, 세 점 $O$, $A$, $B$를 지나는 원의 중심의 좌표를 $(a, b)$, 반지름의 길이를 $r$라 하자. 이때, $a+b+r$의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\sqrt{3} =1.732$로 계산한다.)
