2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 경기교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2003년 4월 24일 (목)에 시행되었습니다.
2003학년도 4월 고3 전국연합학력평가
수리영역[자연계](수학)
시행 : 2003.4.24(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 경기교육청
$4 \log_{2} \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} \log_{2} 3 - \log_{2} \sqrt{6}$을 간단히 하면?
① $\dfrac{1}{2}$
② $\dfrac{1}{2} +\log_{2} 3$
③ $- \dfrac{1}{2}$
④ $- \dfrac{1}{2} +\log_{2} 3$
⑤ $\dfrac{3}{2}$
공집합이 아닌 세 집합 $A$, $B$, $C$가 전체집합 $U$의 부분집합일 때, 다음 중 $(A \cup B) \cap (C \cap B^{c} )^{c}$와 항상 같은 집합은?
① $B - (A - C)$
② $B \cap (A - C)$
③ $B \cup (A \cap C)$
④ $B \cup (A - C)$
⑤ $(A \cup B) \cap C^{c}$
부등식 $\dfrac{x^{2} - 5x - 6}{| x - 4 |} < 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는?
① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$
부등식 $x^{2} + | x | -2 < 0$의 해를 구하면?
① $-2 < x < 2$
② $-1 < x < 2$
③ $-2 < x < 1$
④ $-1 < x < 1$
⑤ $0 < x < 2$
복소평면에서 점 $P_{1}$, $P_{2}$는 각각 복소수 $z_{1}$, $z_{2}$를 나타내는 점이고, 점 $P_{3}$는 점 $P_{2}$를 원점 $O$에 대하여 대칭이동 시킨 점이다. $OP_{1}$, $OP_{3}$를 두 변으로 하는 평행사변형의 제$4$꼭지점을 $P$라 할 때, 점 $P$를 나타내는 복소수는?
① $z_{1} - z_{2}$
② $z_{1} + z_{2}$
③ $-z_{1} + z_{2}$
④ $-z_{1} - z_{2}$
⑤ $-z_{1}$
지난 해 세 학생이 $3$회의 수학 시험에서 얻은 성적은 표와 같다.
| 학생 ＼ 월 | $5$월 | $7$월 | $9$월 |
| 혜연 | $a_{1}$ | $b_{1}$ | $c_{1}$ |
| 선영 | $a_{2}$ | $b_{2}$ | $c_{2}$ |
| 인희 | $a_{3}$ | $b_{3}$ | $c_{3}$ |
이 자료를 행렬 $A= \begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{pmatrix}$로 나타내고, 행렬 $B= \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C= \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$라 할 때, 행렬 $BAC$의 계산 결과로 얻을 수 있는 것은?
① $5$월 세 학생의 수학 평균 점수
② $7$월 세 학생의 수학 평균 점수
③ $9$월 세 학생의 수학 평균 점수
④ 혜연이의 $3$개월 수학 평균 점수
⑤ 인희의 $3$개월 수학 평균 점수
$12 \times 12$의 모든 칸에 아래와 같은 규칙에 따라 수가 배열되어 있다.
이 수들의 총합은?
① $1064$
② $1118$
③ $1222$
④ $1274$
⑤ $1326$
집합 $A_{n}$을 다음과 같이 정의한다.
$$A_{n} = \left\{ m \left| \left[ \dfrac{m}{n} \right] =0\text{, $m$, $n$은 서로소인 자연수}\right. \right\}$$
다음 중 옳지 않은 것은? (단, $\left[ x \right]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)
① $A_{1} = \phi $
② $A_{2} \cap A_{3} = A_{2}$
③ $A_{2} \cup A_{3} = A_{3}$
④ $A_{3} \cup A_{4} = A_{4}$
⑤ $A_{3} \cap A_{4} = A_{2}$
$0$이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$는 아래 두 조건 ㈎와 ㈏를 모두 만족한다.
㈎ $(a-2)(b-2)(c-2) = 0$
㈏ $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}$
이 때, $a + b + c$의 값은?
① $\dfrac{1}{3}$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $2$
⑤ $3$
수직선 위의 두 점 $A$, $B$에 대하여 선분 $AB$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $A \circledcirc B$로 나타내기로 한다. 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $(A \circledcirc B) \circledcirc C$와 $(B \circledcirc C) \circledcirc A$가 일치할 때, 다음 중 세 점의 위치 관계로 옳은 것은?
① 점 $A$는 선분 $BC$의 중점이다.
② 점 $B$는 선분 $AC$의 중점이다.
③ 점 $C$는 선분 $AB$의 중점이다.
④ 점 $A$는 선분 $BC$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다.
⑤ 점 $C$는 선분 $AB$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다.
이차방정식 $x^{2} -x-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $\dfrac{1}{1+ \alpha^{3}} + \dfrac{1}{1+ \beta^{3}}$의 값은?
① $0$
② $\dfrac{1}{4}$
③ $\dfrac{1}{2}$
④ $1$
⑤ $\dfrac{3}{2}$
실수 $x$에 대하여 정의된 두 함수 $f (x) = x-[ x ]$와 $g (x) = [ x ]+1$에 대하여 다음 중 $y = (g \circ f )(x)$의 그래프의 개형은? (단, $[ x ]$는 $x$를 넘지 않는 최대정수이다.)
자연수 전체의 집합 $N$에서 $N$으로의 함수 $f$를
$$f (n) = (n\text{의 모든 양의 약수의 곱})$$
으로 정의할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
보기
ㄱ. $p$가 소수이면 $f (p) = p$
ㄴ. $m < n$이면 $f (m) < f (n)$
ㄷ. $m$, $n$이 서로소이면 $f (m n)=f (m) f (n)$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
어떤 농장에서 현재 토끼를 $200$마리 사육하고 있다. 매달마다 전 달에 비하여 그 수가 $20 \%$씩 증가할 때, 토끼 수가 처음으로 $3000$마리 이상 되는 것은 몇 개월 후인가? (단, $\log_{10} 1.2 = 0.08$, $\log_{10} 1. 5 = 0. 18$로 계산한다.)
① $13$
② $15$
③ $17$
④ $19$
⑤ $21$
다음 함수 중 주기함수가 아닌 것은?
① $y= | \sin x | $
② $y= | \cos x | $
③ $y= | \tan x | $
④ $y=\sin | x | $
⑤ $y=\cos | x | $
이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $O$는 영행렬이고 $E$는 단위행렬이다.)
보기
ㄱ. $A^{2} -B^{2} = O$이면 $A = B$ 또는 $A = -B$
ㄴ. $A^{2} -A-2E = O$일 때, $A$의 역행렬은 $A-E$이다.
ㄷ. $A$의 역행렬이 존재할 때, $AB = O$이면 $B = O$이다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
이차방정식 $x^{2} - x - 5 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, 분수방정식 $\dfrac{1}{x - \alpha} + \dfrac{1}{x - \beta} = \dfrac{3}{2}$의 두 근의 곱은?
① $-5$
② $- \dfrac{13}{3}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{7}{3}$
⑤ $\dfrac{9}{2}$
$23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재하지 않음을 증명한 과정이다.
증명
$23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재한다면
어떤 자연수 $n$에 대하여 $23p+1=n^{2}$꼴로 나타낼 수 있다.
$23p=(n-1)(n+1)$ $\cdots$ ①
$23$이 소수이므로 $n-1$과 $n+1$ 중 적어도 하나는 $23$의 배수이다.
ⅰ) $n-1$이 $23$의 배수일 때,
$n-1 = 23s$ ($s$는 자연수)로 놓고
이 식을 ①에 대입하면 $p = s (23s+2)$ $\cdots$ ②
그런데 $p$가 소수이므로 $s =\fbox{ $A$ }$
이 값을 ②에 대입하면, $p =\fbox{ $B$ }$
$\therefore$ $p$는 소수가 아니다.
ⅱ) $n+1$이 $23$의 배수일 때,
$n+1 = 23t$ ($t$는 자연수)로 놓고
이 식을 ②에 대입하면 $p = t (23t-2)$ $\cdots$ ③
그런데 $p$가 소수이므로 $t =\fbox{ $A$ }$
이 값을 ③에 대입하면, $p =\fbox{ $C$ }$
$\therefore$ $p$는 소수가 아니다.
따라서, $23p+1$이 완전제곱수가 되는 소수 $p$가 존재하지 않는다.
위의 증명 과정에서 $A+B+C$의 값은?
① $43$
② $44$
③ $45$
④ $46$
⑤ $47$
수열 $\dfrac{1}{1}$, $\dfrac{1}{1+2}$, $\dfrac{1}{1+2+3}$, $\cdots $, $\dfrac{1}{1+2+ \cdots +10}$의 합을 구하는 순서도이다.
다음 중 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?
① $A \leftarrow A + n$ $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$
② $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$ $A \leftarrow A + n$
③ $S \leftarrow S + A$ $A \leftarrow A + n$
④ $A \leftarrow A + \dfrac{1}{n}$ $S \leftarrow S + A$
⑤ $A \leftarrow A + \dfrac{1}{n}$ $S \leftarrow S + \dfrac{1}{A}$
$100$km 떨어진 목적지를 향하여 A버스가 먼저 출발하고, $20$분 뒤에 같은 장소에서 B버스가 출발하여 목적지에 동시에 도착하였다. B버스가 A버스보다 시속 $10$km 더 빠르다고 할 때, B버스의 속력은?
① 시속 $50$km
② 시속 $60$km
③ 시속 $70$km
④ 시속 $80$km
⑤ 시속 $90$km
아래 그림과 같이 $\angle C$가 직각이고 $\angle B = \theta $인 직각삼각형 $ABC$가 있다. 점 $A$에서 $\angle BAD = \dfrac{\theta}{2}$가 되게 선을 그어 선분 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 다음 중 $\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}$를 $\theta $의 식으로 나타낸 것은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{3}$)
① $\sin \theta $
② $\cos \theta $
③ $2\cos \dfrac{\theta}{2}$
④ $\sin \dfrac{\theta}{2} +\cos \dfrac{\theta}{2}$
⑤ $\sin \dfrac{\theta}{2} -\cos \dfrac{\theta}{2}$
다음은 점 $P (x, y)$를 원점을 중심으로 $\theta $만큼 회전이동 시키는 일차변환을 나타내는 행렬이 $\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$임을 증명하는 과정이다.
증명
그림에서 직사각형 $OAPB$를 원점 $O$를 중심으로 $\theta $만큼 회전시킨 직사각형을 $OA^{\prime} P^{\prime} B^{\prime}$라 하면
$\angle AOA^{\prime} = \angle POP^{\prime} = \angle BOB^{\prime} = \theta $
점 $A^{\prime}$의 좌표는 $A^{\prime} \left(x \cos \theta,\fbox{ ㈎ }\right)$
점 $B^{\prime}$의 좌표는 $B^{\prime} \left(\fbox{ ㈏ }, y \sin \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)\right)$
이 때, 직사각형 $OA^{\prime} P^{\prime} B^{\prime}$에서
두 대각선 $OP^{\prime}$과 $A^{\prime} B^{\prime}$의 중점은 일치하므로
$x^{\prime} =x \cos \theta -y \sin \theta $, $y^{\prime} =x \sin \theta +y \cos \theta $
따라서, 이 변환은 일차변환이고, 행렬로 나타내면
$\begin{pmatrix}x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$이다.
위의 [증명] 과정에서 다음 중 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?
① $y \cos \theta $ $y \cos \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)$
② $x \sin \theta $ $y \cos \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)$
③ $x \cos \theta $ $x \cos \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)$
④ $y \sin \theta $ $y \sin \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)$
⑤ $x \sin \theta $ $x \sin \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right)$
두 일차변환 $f$, $g$를 나타내는 행렬이 각각 $\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$일 때, 합성변환 $g \circ f$에 의하여 직선 $3x - 2y - 1 = 0$은 어떤 도형으로 옮겨지는가?
① $(0, 0)$
② $( - 2, 4)$
③ $(1, -2)$
④ $2x + y = 0$
⑤ $6x + y = 0$
그림과 같이 지점 $O$에서 해안선 $A$를 따라 동쪽으로 $30$km 떨어진 지점 $H$에서 북쪽으로 $10$km 떨어진 곳에 섬이 있다. 이 섬을 출발하여 해안선 $A$에 있는 선착장을 거쳐 해안선 $B$에 있는 선착장을 경유하여 되돌아오는 유람선을 운행하려고 한다. 유람선의 항해거리가 최소가 되도록 해안선 $A$와 해안선 $B$에 선착장을 만들려고 할 때, 해안선 $A$에 있는 선착장은 $O$에서 얼마나 떨어진 지점에 만들어야 하는가? (단, 해안선 $A$와 해안선 $B$가 이루는 각은 $45 \degree $이다.)
① $15$km
② $17$km
③ $20$km
④ $23$km
⑤ $25$km
양수 $a$, $b$에 대하여 $f (a, b )= \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}}$라 할 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{f (k, k+1)}$의 값을 구하시오.
행렬 $\begin{pmatrix}a & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$로 나타내어지는 일차변환 $f$에 의하여 $\triangle OAB$가 $\triangle OA^{\prime} B^{\prime}$로 옮겨진다. $\triangle OA^{\prime} B^{\prime}$의 넓이가 $3$이 될 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
그림과 같이 두 변의 길이가 각각 $10$, $8$인 직사각형 $ABCD$가 있다. 점 $B$가 중심이고 선분 $AB$를 반지름으로 하는 사분원을 그린 후, 점 $C$에서 이 사분원에 접선을 그어 선분 $AD$와 만난 점을 $E$라 할 때, $\overline{AE}$의 길이를 구하시오.
$a$, $b$, $c$가 정수인 이차 정사각행렬 $A= \begin{pmatrix}0 & a \\ b & c \end{pmatrix}$의 역행렬이 존재한다. $A = A^{-1}$를 만족시키는 행렬 $A$의 개수를 구하시오. (단, $A^{-1}$은 $A$의 역행렬이다.)
아래 두 조건 ㈎와 ㈏를 모두 만족하는 복소수를 $z_{1}$, $z_{2}$라고 하자.
㈎ $ | z | = 2$
㈏ $ | z+1 | = | z+2i | $
$z_{1}$과 $z_{2}$의 편각을 각각 $\theta_{1}$, $\theta_{2}$라 할 때, $\tan \left( \dfrac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2} \right)$의 값을 구하시오. (단, $i = \sqrt{-1}$이다.)
삼각형의 세 꼭지점에서 각각의 대변 또는 그 연장선에 내린 수선의 길이의 비가 $2 : 3 : 4$이다. 이 삼각형의 내각 중 최대각을 $\theta $라 할 때, $\dfrac{1}{\cos \theta}$의 값을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.
