1994학년도 제2차 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1993년 11월 16일 (화)에 시행되었습니다.
1994학년도 제2차 대학수학능력시험
수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)(수학)
시행 : 1993.11.16(화)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원
$\sin \theta +\cos \theta = \dfrac{1}{3}$일 때, $\dfrac{1}{\cos \theta} \left( \tan \theta + \dfrac{1}{\tan^{2} \theta} \right)$의 값은?
① $\dfrac{45}{16}$
② $\dfrac{43}{16}$
③ $\dfrac{41}{16}$
④ $\dfrac{39}{16}$
⑤ $\dfrac{37}{16}$
서로 다른 두 실수 $\alpha $, $\beta $에 대하여 $\alpha + \beta =1$일 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x+ \alpha^{2}} - \sqrt{x+ \beta^{2}}}{\sqrt{4x+ \alpha } - \sqrt{4x+ \beta }}$의 값은?
① $1$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $2$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $4$
그림은 이차함수 $y=f (x)$의 그래프이다. 함수 $g (x)$를 $g (x)= \displaystyle\int_{x}^{x+1} f (t)dt$라 할 때, $g (x)$의 최소값은?
① $g (1)$
② $g (2)$
③ $g \left( \dfrac{5}{2} \right)$
④ $g \left( \dfrac{7}{2} \right)$
⑤ $g (4)$
첫째 항이 $m$, 공차가 $1$인 등차수열의 첫째 항부터 제$n$항까지의 합이 $50$일 때, $m+n$의 값은? (단, $m \le 10$인 자연수)
① $13$
② $14$
③ $15$
④ $16$
⑤ $17$
무한등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}$이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?
① $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(r^{n} +r^{2n}\right)$
② $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(r^{n} -2r^{2n}\right)$
③ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{r^{n} +(-r)^{n}}{2}$
④ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{r-1}{2} \right)^{n}$
⑤ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{r}{2} -1 \right)^{n}$
직선 $y=3x+2$를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행 이동시킨 직선이 포물선 $y^{2} =4x$에 접할 때, $k$의 값은?
① $\dfrac{5}{9}$
② $\dfrac{4}{9}$
③ $\dfrac{2}{9}$
④ $\dfrac{2}{3}$
⑤ $\dfrac{1}{3}$
실수 전체의 집합의 부분 집합 $A$가 다음 조건을 만족시킨다.
$x \in A$이면 $\dfrac{1}{2} x \in A$이다.
다음 중 항상 옳은 것은?
① $\sqrt{2} \in A$이면 $0 \not\in A$이다.
② $A$가 유한집합이면 $2 \not\in A$이다.
③ $A$가 무한집합이면 $0 \in A$이다.
④ $x \in A$이고 $y \in A$이면 $x+y \in A$이다.
⑤ $x \in A$이고 $y \in A$이면 $x y \in A$이다.
자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$를 $b$로 나눈 나머지를 $a \,\diamondsuit\, b$라 하자. 예를 들면 $1993 \,\diamondsuit\, 5 = 3$이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① 모든 자연수 $n$에 대하여 $2^{4n} \,\diamondsuit\, 5=1$이다.
② 모든 자연수 $n$에 대하여 $2^{n} \,\diamondsuit\, 5 \ne 0$이다.
③ 모든 자연수 $m$, $n$에 대하여 $2^{m+n} \,\diamondsuit\, 5= \left\{ 2^{m} (2^{n} \,\diamondsuit\, 5) \right\} \,\diamondsuit\, 5$이다.
④ 모든 자연수 $m$, $n$에 대하여 $2^{m+n} \,\diamondsuit\, 5= \left\{ (2^{m} \,\diamondsuit\, 5) (2^{n} \,\diamondsuit\, 5) \right\} \,\diamondsuit\, 5$이다.
⑤ 모든 자연수 $m$, $n$에 대하여 $(2^{m} +2^{n} ) \,\diamondsuit\, 5=(2^{m} \,\diamondsuit\, 5) +(2^{n} \,\diamondsuit\, 5)$이다.}
$A$가 $2$차 정사각행렬일 때, [보기]에서 참인 명제를 모두 고른 것은? (단, $E$는 $2$차 단위행렬이다.)
보기
ㄱ. $A^{3} =A^{5} =E$이면 $A=E$이다.
ㄴ. $A^{3} +A^{2} +A+E=O$이면 $A$는 역행렬을 갖는다.
ㄷ. $A^{k} =A^{m} =A^{n} =E$를 만족시키는 서로 다른 자연수 $k$, $m$, $n$이 존재하면 $A=E$이다.
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ
⑤ ㄷ
그림과 같은 정육면체를 평면으로 자른 단면의 모양은 [보기] 중 몇 가지가 될 수 있는가?
보기
$\bullet$ 삼각형
$\bullet$ 정사각형이 아닌 직사각형
$\bullet$ 정사각형이 아닌 마름모
$\bullet$ 오각형
$\bullet$ 육각형
① $1$가지
② $2$가지
③ $3$가지
④ $4$가지
⑤ $5$가지
오른쪽 그림에 나타나는 수를 크기 순으로 나열하여 다음과 같은 수열을 만들었다.
$1$, $2$, $3$, $11$, $12$, $13$, $21$, $22$, $23$, $31$, $32$, $33$, $111$, $112$, $113$, $121$, $\cdots$
이 수열의 제$200$항은?
① $13323$
② $13332$
③ $21111$
④ $21113$
⑤ $21122$
$a$와 $b$는 서로 다른 두 정수이고 다항식 $f (x)$는 다음 두 성질 (A)와 (B)를 갖는다.
(A) $f (x)$의 모든 계수는 정수이다.
(B) $f (a)f (b)=-(a-b)^{2}$
다음 [증명]은 위의 성질과 사실 (C)을 이용하여 $\dfrac{f (a)}{a-b}$가 정수임을 보인 것이다.
(C) 정수 $m$, $n$에 대하여 이차방정식 $x^{2} +m x+n=0$의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.
증명
자연수 $n$에 대하여 $a^{n} -b^{n}$은 $a-b$로 나누어 떨어지므로
(A)에 의하여㉠ $f (a)-f (b)$는 $a-b$로 나누어 떨어진다. 따라서, $\dfrac{f (a)-f (b)}{a-b}$는 정수이다. $\dfrac{f (a)}{a-b}$와 $\dfrac{-f (b)}{a-b}$를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수와의 관계와
(B)에 의하여㉡ $x^{2} - \left( \dfrac{f (a)-f (b)}{a-b} \right) x +1=0$이다.
$\dfrac{f (a)}{a-b}$는
(A)에 의하여㉢ 유리수이고 $\dfrac{f (a)-f (b)}{a-b}$는 정수이므로
(C)에 의하여㉣ $\dfrac{f (a)}{a-b}$는 정수이다.
위의 증명 과정에서 밑줄 친 부분 중 (A), (B), (C)를 잘못 이용한 것은?
① ㉠
② ㉡
③ ㉢
④ ㉣
⑤ 없다.
부등식 $| \log_{2} a-\log_{2} 10 |+\log_{2} b \le 1$을 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b )$의 개수는?
① $15$
② $17$
③ $19$
④ $21$
⑤ $23$
모든 실수 $x$, $y$에 대하여 행렬의 곱 $\begin{pmatrix}x&y \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b \\b&a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}$의 성분이 음이 아닐 때, $a^{2} +(b-2)^{2}$의 최소값은?
① $1$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $2$
④ $\dfrac{1}{4}$
⑤ $4$
실수 $x$에 대하여 $t^{2} =x^{3} -x$를 만족시키는 실수 $t$의 개수를 $f (x)$라 하자. 함수 $y=f (x)$의 그래프 개형은?
$a$, $b$, $c$가 양의 실수일 때, 다음 연립부등식 $\begin{cases}ax^{2} -bx+c < 0\\cx^{2} -bx+a < 0\end{cases}$의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은?
① $a+c < \dfrac{b}{2}$
② $a+c < b$
③ $a+c < 2b$
④ $a+c < 1$
⑤ $a+c < 2$
함수 $f (x)=4x^{2} -4x+1$ ($0 \le x \le 1$)에 대하여 $y=f (x)$와 $y=f (f (x))$의 그래프 개형은 각각 다음과 같다.
이때 집합 $\left\{ x \,|\, f (f (f (x)))=x, 0 \le x \le 1 \right\}$의 원소의 개수는?
① $16$
② $12$
③ $8$
④ $6$
⑤ $5$
어떤 의사가 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 진단할 확률은 $98 \%$이고, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 $92 \%$라고 한다. 이 의사가 실제로 암에 걸린 사람 $400$명과 실제로 암에 걸리지 않은 사람 $600$명을 진찰하여 암에 걸렸는지 아닌지를 진단하였다. 이들 $1000$명 중 임의로 한 사람을 택하였을 때, 그 사람이 암에 걸렸다고 진단 받은 사람일 확률은?
① $39.2\%$
② $40.0\%$
③ $40.8\%$
④ $44.0\%$
⑤ $44.8\%$
높이 $1$m인 담장이 반지름의 길이가 $5$m인 원 모양의 땅을 둘러싸고 있다. 광원이 원의 중심 $O$에서 $2$m 되는 지점에 수직으로 $6$m 되는 위치에 있을 때, 이 광원에 의하여 생긴 담장의 그림자의 넓이는?
① $11\pi\text{m}^{2}$
② $14\pi\text{m}^{2}$
③ $17\pi\text{m}^{2}$
④ $20\pi\text{m}^{2}$
⑤ $24\pi\text{m}^{2}$
고속 열차가 출발하여 $3$km를 달리는 동안은 시각 $t$분에서의 속력이 $v(t )= \dfrac{3}{4} t^{2} + \dfrac{1}{2} t(\text{km}/분)$이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출발 후 $5$분 동안 이 열차가 달린 거리는?
① $17$km
② $16$km
③ $15$km
④ $14$km
⑤ $13$km
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