1999-11 2000학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[인문계](수학)

2000학년도 대학수학능력시험 수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[인문계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 1999년 11월 17일 (수)에 시행되었습니다.

2000학년도 대학수학능력시험

수리ㆍ탐구영역(Ⅰ)[인문계](수학)

시행 : 1999.11.17(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$\log_{7} \dfrac{1}{\sqrt{7}}$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $0$

④ $-\dfrac{1}{2}$

⑤ $-\dfrac{1}{4}$

$( 4 + 3 i )^{2} - ( 4 - 3 i )^{2}$의 값은?

① $0$

② $24$

③ $48$

④ $24i$

⑤ $48i$

$4 \cos^{2} x + 4 \sin x = 5$일 때, $\sin x$의 값은?

① $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $1$

④ $- \dfrac{1}{2}$

⑤ $- \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix}$일 때, $A^{2} B - A$는?

① $\begin{pmatrix} 1&0\\-1&1 \end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix} 0&-1\\1&-1 \end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}$

이차방정식 $x^{2} + ax + b = 0$의 두 근이 $2$, $3$일 때, 이차방정식 $a x^{2} + b x + 2 = 0$의 두 근의 합은?

① $\dfrac{1}{5}$

② $\dfrac{2}{5}$

③ $\dfrac{3}{5}$

④ $\dfrac{4}{5}$

⑤ $\dfrac{6}{5}$

함수 $y = \sqrt{x}$의 그래프 위의 두 점 $P ( a, b )$, $Q ( c, d )$에 대하여 $\dfrac{b + d}{2} = 1$일 때, 직선 $PQ$의 기울기는? (단, $0 < a < c$)

① $\dfrac{1}{5}$

② $\dfrac{1}{4}$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $1$

시간 $t$에 따라 감소하는 함수 $f(t)$에 대하여 $$f(t+c) = \dfrac{1}{2} f(t)$$를 만족시키는 양의 상수 $c$를 $f ( t )$의 반감기라 한다. 함수 $f ( t ) = 3^{-t}$의 반감기는?

① $\dfrac{1}{3} \log_{3} 2$

② $\dfrac{1}{2} \log_{3} 2$

③ $\log_{3} 2$

④ $2 \log_{3} 2$

⑤ $3 \log_{3} 2$

고대 인도의 수학자 바스카라는 다음과 같은 식을 사용하였다. $$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a +\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a -\sqrt{\fbox{　 　}}}{2}}$$ $\fbox{　 　}$ 안에 알맞은 것은? (단, $a \ge b \ge 1$)

① $b$

② $a^{2} - b$

③ $a^{2} + b$

④ $a + b$

⑤ $a - b$

전체집합 $U = \left\{1, 2, 3, \cdots, 100 \right\}$의 부분집합 $A$에 대하여 $f ( A )$를 $A$에 속하는 모든 원소의 합이라고 하자. $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여, [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $f ( \phi ) = 0$)

보기

ㄱ. $f ( A^{c} ) = f ( U ) - f ( A )$
ㄴ. $A \subset B$이면 $f ( A ) \le f ( B )$이다.
ㄷ. $f ( A \cap B ) = f ( A ) + f ( B )$

① ㄴ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

$1$이 두 번만 나타나는 이진법의 수를 작은 수부터 차례로 배열하여 얻은 수열 $$11_{(2)},\,\,101_{(2)},\,\,110_{(2)},\,\,1001_{(2)},\,\,1010_{(2)},\,\,1100_{(2)},\,\,\cdots $$ 의 제$56$항과 같은 수는?

① $2^{9} + 1$

② $2^{10} + 2^{9}$

③ $2^{11} + 1$

④ $2^{11} + 2^{10}$

⑤ $2^{13} + 1$

삼차함수 $y = x^{3} - 3 a x^{2} + 4a$의 그래프가 $x$축에 접할 때, $a$의 값은? (단, $a > 0$)

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{1}{3}$

③ $\dfrac{1}{2}$

④ $1$

⑤ $\dfrac{4}{3}$

$\triangle A B C$에서 $$6 \sin A = 2 \sqrt{3} \sin B = 3 \sin C$$ 가 성립할 때, $\angle A$의 크기는?

① $120˚ $

② $90˚ $

③ $60˚ $

④ $45˚ $

⑤ $30˚ $

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수를 $4$로 나눈 나머지를 확률변수 $X$라 하자. $X$의 평균은? (단, 주사위의 각 눈이 나올 확률은 모두 같다.)

① $2$

② $\dfrac{5}{3}$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{4}{3}$

⑤ $1$

집합 $X = \left\{ 1, 2, 3\right\}$, $Y = \left\{a, b, c\right\}$, $Z = \left\{ 4, 5, 6\right\}$에 대하여, 일대일 대응인 함수 $f : X \to Y$와 함수 $g : Y \to Z$가 $$f(1) = a,\,\,g ( c ) = 6,\,\,( g \circ f ) ( 2) = 4$$ 를 만족시킬 때, $f ( 3 )$의 값은?

① $a$

② $b$

③ $c$

④ $b$, $c$ 모두 가능하다.

⑤ $a$, $b$, $c$ 모두 가능하다.

두 개의 논리상자 $A$와 $B$가 있다. 논리상자 $A$는 문자 $x$와 $y$로 이루어진 네 자리 문자열을 $x$는 $y$로, $y$는 $x$로 바꾼다. 논리상자 $B$는 두 개의 네 자리 문자열을 각 자리의 문자가 서로 같으면 $x$, 서로 다르면 $y$인 하나의 네 자리 문자열로 바꾼다. 다음과 같은 논리회로에 두 문자열 $x y x y$, $x x y x$를 입력하였을 때, 출력 ㈐에 들어갈 문자열은?

① $x x x x$

② $x x x y$

③ $x x y y$

④ $x y y y$

⑤ $y y y y$

음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $n$을 $5$로 나눈 나머지를 $f ( n )$, $10$으로 나눈 나머지를 $g ( n )$이라 하자. [보기] 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $f ( f ( n ) ) = f ( n )$
ㄴ. $g ( f ( n ) ) = g ( n )$
ㄷ. $f ( g ( n ) ) = f ( n )$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

다음은 $\triangle A B C$의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.

증명

직선 $B C$를 $x$축, 변 $B C$의 수직이등분선을 $y$축으로 잡고, $A ( a, b )$, $B ( - c, 0 )$, $C(c, 0 )$라고 하자. (단, $b \ne 0$, $c > 0$)
ⅰ) $a \ne c$이고 $a \ne - c$일 때,
직선 $AC$의 기울기는 $\dfrac{b}{a - c}$이므로,
변 $AC$의 중점 $E$를 지나고 변 $AC$에 수직인 직선의 방정식은
$y = \fbox{　 ㈎ 　} \left( x - \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈎ 　} x + \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ①
같은 방법으로, 변 $AB$의 중점 $D$를 지나고 변 $AB$에 수직인 직선의 방정식은
$y = - \left( \dfrac{a + c}{2} \right) + \dfrac{b}{2} = \fbox{　 ㈏ 　}$ $\cdots $ ②
두 직선 ①, ②의 $y$절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 $y$축 위의 점 $\left( 0, \fbox{　 ㈏ 　} \right)$에서 만난다.
따라서, $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.
ⅱ) $a =c$ 또는 $a =- c$일 때,
$\triangle ABC$는 $\fbox{　 　 ㈐ 　 　}$이므로 세 변의 수직이등분선은 $D$ 또는 $E$에서 만난다.
따라서 $\triangle ABC$의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형

② $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 정삼각형

③ $- \dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형

④ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 이등변삼각형

⑤ $\dfrac{a - c}{b}$, $\dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2b}$, 직각삼각형

다음은 $4k + 3$꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다. (단, $k$는 음이 아닌 정수이다.)

증명

$4k + 3$꼴의 소수가 유한개 있다고 가정하고, 이것을 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$라 하자.
$n = 4(3\cdot7\cdot11\cdot19\cdot\cdots\cdot p)+ 3$이라 하면,
$n$은 $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$로 $\fbox{　 ㈎ 　}$.
$n$의 모든 소인수는 $4k + 1$ 또는 $4k + 3$꼴의 정수이고, $4k + 1$꼴의 두 정수를 곱하면 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴의 정수이다.
그러므로 $n$의 모든 소인수가 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이면, $n$도 $\fbox{　 ㈏ 　}$꼴이다.
이것은 모순이므로 $n$은 $\fbox{　 ㈐ 　}$꼴의 소인수 $q$를 갖는다.
$n$은 $q$로 나누어 떨어지므로, $3$, $7$, $11$, $19$, $\cdots$, $p$가 아닌 $4k + 3$꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, $4k + 3$꼴의 소수는 무수히 많다.

위의 증명과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 나누어 떨어진다. $4k + 1$, $4k + 1$

② 나누어 떨어진다. $4k + 3$, $4k + 3$

③ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 3$, $4k + 1$

④ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 1$

⑤ 나누어 떨어지지 않는다. $4k + 1$, $4k + 3$

부등식 $\cos^{2} \theta - 3 \cos \theta - a + 9 \ge 0$이 모든 $\theta $에 대하여 항상 성립하는 실수 $a$의 범위는?

① $- 1 \le a \le 9$

② $a \ge 0$

③ $a \ge 5$

④ $a \le 7$

⑤ $a \le 9$

다항함수 $f ( x )$, $g ( x )$가 $$\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{f (x) - 2}{x - 3} = 1,\,\,\,\,\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{g(x) - 1}{x - 3} = 2$$ 를 만족시킬 때, 함수 $y = f(x)g(x)$의 $x = 3$에서의 미분계수는?

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

자연수 $n$에 대하여, 두 곡선 $$y = x^{2} - 2,\,\,\,\,y = - x^{2} + \dfrac{2}{n^{2}}$$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_{n}$이라할 때, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n}$의 값은?

① $\dfrac{16}{3}$

② $\dfrac{14}{3}$

③ $4$

④ $\dfrac{10}{3}$

⑤ $\dfrac{8}{3}$

어떤 원자의 에너지는 주양자수 $n$에 의해서 결정된다. 주양자수가 $n$인 에너지 상태에는 $2 n^{2}$개의 서로 다른 궤도가 존재한다. 주양자수가 $n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $9$인 에너지 상태에 있는 모든 궤도의 수는? (단, 주양자수에 다른 에너지 상태에 있는 궤도들은 서로 다르다.)

① $770$

② $570$

③ $408$

④ $350$

⑤ $182$

입력값의 전체집합 $U = \left\{ 0, 1, 2, 3\right\}$에 대하여 빨강에서 보라까지 $7$개의 전등으로 구성된 숫자판을 다음과 같이 점등하고자 한다.
입력값을 이진법의 수로 $pq_{(2)}$와 같이 표현하였을 때, $p$가 $1$인 입력값의 집합을 $P$, $q$가 $1$인 입력값의 집합을 $Q$라 하자. 빨간 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 올바르게 나타낸 것은?

① $P$

② $Q$

③ $P \cup Q^{c}$

④ $P^{c} \cup Q$

⑤ $P^{c} \cap Q^{c}$

컴퓨터 중앙처리장치의 속도는 1985년 1MHz이던 것이 매 3년마다 약 4배의 비율로 빨라지고 있다. 한 연구에 의하면, 현재 기술로 이와 같은 발전을 지속할 수 있는 중앙처리장치 속도의 한계는 약 4,000MHz라고 한다. 이 연구에서 현재 기술이 한계에 도달할 것으로 예측되는 해는? (단, MHz는 중앙처리장치 속도의 단위이며, $\log 2 = 0.3$으로 계산한다.)

① 2003년

② 2006년

③ 2009년

④ 2012년

⑤ 2024년

다항식 $x^{3} + 5x^{2} + 10x + 6$이 $( x + a ) ( x^{2} + 4x + b )$로 인수분해될 때, $a + b$의 값을 구하시오.

다항함수 $f (x )$가 $\displaystyle\int_{2}^{x} f ( t ) dt = x^{2} + ax + 2$를 만족시킬 때, $f ( 10 )$의 값을 구하시오.

직선 $y = x$에 대하여 대칭인 두 직선 $y = a x$, $y = bx$가 이루는 각이 $30˚ $일 때, $3 ( a^{2} + b^{2} )$의 값을 구하시오.

반지름의 길이가 $10$인 원 $O$의 내부에 한 점 $P$가 있다. 점 $P$를 지나고 직선 $OP$에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 $A$, $B$에서의 두 접선의 교점을 $Q$라 하자. $\overline{OP} = 5$일 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

$1$에서 $10$까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택할 때, 선택된 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우의 수를 구하시오.

$-1 \le x \le 1$에서 부등식 $x + a \le x^{2} \le 2x + b$가 항상 성립할 때, $b - a$의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.