2001-11 2002학년도 대학수학능력시험 수리영역[예체능계](수학)

2002학년도 대학수학능력시험 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2001년 11월 7일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 대학수학능력시험

수리영역[예체능계](수학)

시행 : 2001.11.7(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$\left(2- \sqrt{3} i \right)\left(2+ \sqrt{3} i \right)$의 값은? (단, $i = \sqrt{-1}$)

① $1$

② $3$

③ $5$

④ $7$

⑤ $9$

$\log_{2} \left(4^{3\over4} \cdot \sqrt{2^{5}} \right)^{1\over2}$의 값은?

① $2$

② $1$

③ $0$

④ $-1$

⑤ $-2$

$\sin \dfrac{\pi}{6} +\tan \dfrac{9}{4}\pi$의 값은?

① $-2$

② $- \dfrac{1}{2}$

③ $0$

④ $1$

⑤ $\dfrac{3}{2}$

다항식 $(3x^{2} +2x+1)^{2}$을 전개하였을 때, $x^{2}$의 계수는?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

[보기]에 주어진 함수 $y=f (x)$의 그래프 중에서 $f (x)=f (x^{2} )$을 만족하는 그래프를 모두 고른 것은?

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

오른쪽 벤 다이어그램에서 어두운 부분을 나타내는 집합은?

① $(B \cap C)-(A-(A \cap B))$

② $(B \cap C)-(B-(A \cap B))$

③ $(B \cap C)-(C-(A \cap B))$

④ $(B \cap C)-(A \cap B \cap C)$

⑤ $(B \cap C)-((A \cap B)-(A \cap B \cap C))$

원 $x^{2} +y^{2} =4$ 안의 두 점 $(1, 0)$, $(0, 1)$과 원 위의 한 점 $P$가 만드는 삼각형의 넓이가 1이 되는 점 $P$의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

$a > 0$, $b > 0$일 때 [보기] 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}\le \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}$
ㄴ. $\dfrac{3^{a} +3^{b}}{2}\le 3^{a+b\over2}$
ㄷ. $\dfrac{\log a+\log b}{2}\le \log \dfrac{a+b}{2}$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

원 $(x+8)^{2} +(y-6)^{2} =10^{2}$ 위에 두 점 $A (-8, -4)$, $B (2, 6)$가 있다. $\triangle PAB$의 넓이가 최대가 되도록 하는 원 위의 한 점 $P$와 원의 중심을 지나는 직선의 방정식을 $y=ax+b$라 할 때, $a+b$의 값은?

① $1$

② $0$

③ $-1$

④ $-2$

⑤ $-3$

연립부등식 $x > 0$, $y+x \ge 0$, $y-2x \le 0$이 나타내는 좌표평면 위의 영역을 $D$라 하자. $D$에 속하는 두 점 $P (a, b)$, $Q (c, d)$에 대하여 $\dfrac{b+d}{a+c}$의 최대값과 최소값의 차는?

① $\dfrac{2}{3}$

② $\dfrac{4}{3}$

③ $2$

④ $3$

⑤ $\dfrac{10}{3}$

지수함수에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $y=2^{x}$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $y= \dfrac{1}{2^{x}}$의 그래프가 된다.
ㄴ. $y=2^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 $y=2^{x}$의 그래프보다 아래에 놓이게 된다.
ㄷ. $y= \sqrt{2} \cdot 2^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 평행이동하여 $y=2^{x}$의 그래프를 얻을 수 있다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

$\cos \theta \ge \dfrac{1}{2}$일 때, $\sin^{2} \theta $의 최대값은?

① $1$

② $\dfrac{3}{4}$

③ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $\dfrac{1}{4}$

그림과 같이 넓이가 다른 세 종류의 직사각형 종이 네 장을 이용하여 $$(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}$$ 임을 보일 수 있다. 이와 유사한 방법으로 부피가 다른 몇 종류의 직육면체 나무토막을 이용하여 $$(a+b)^{3} =a^{3} +3a^{2} b+3ab^{2} +b^{3}$$ 임을 보이고자 한다. 최소로 필요한 나무토막의 종류의 수와 전체의 개수를 순서대로 적은 것은?

① $3$, $4$

② $3$, $6$

③ $3$, $8$

④ $4$, $6$

⑤ $4$, $8$

한 평면에 서로 다른 $n$개의 직선을 그려서 나누어진 영역의 수의 최소값을 $f (n)$, 최대값을 $g (n)$이라 하자. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $f (2)=3$, $g (2)=4$이다.
ㄴ. 모든 $n$에 대하여 $f (n)=n+1$이다.
ㄷ. 모든 $n$에 대하여 $g (n) \le f (n+1)$이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음을 만족하는 다항함수에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? $$f_{0} (x)=1,   f_{1} (x)=x,$$ $$f_{n+1} (x)=x f_{n} (x)+f_{n-1} (x)\text{ ($n$은 자연수})$$

보기

ㄱ. $f_{2n-1} (0)=0$, $f_{2n} (0)=1$이다.
ㄴ. $f_{2n-1} (x)$는 기함수이고, $f_{2n} (x)$는 우함수이다.
ㄷ. $f_{2n-1} (x)$와 $f_{2n} (x)$의 항의 개수는 각각 $n$개이다.

[참고] 다항함수에서 모든 항의 차수가 짝수인 함수는 우함수이고, 모든 항의 차수가 홀수인 함수는 기함수이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 $f (x)=\big[ x [ x ] \big]$에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

보기

ㄱ. $f (x)=-1$이 되는 $x$는 존재하지 않는다.
ㄴ. 자연수 $n$에 대하여 집합 $\left\{ f (x) \,|\, n \le x < n+1 \right\}$의 원소의 개수는 $n$개이다.
ㄷ. 자연수 $n$에 대해서 집합 $\left\{ f (x) \,|\, -n \le x < -n+1 \right\}$의 원소의 개수는 $n+1$개이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 정삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위의 한 점 $D$를 잡아 직선 $AD$가 $\triangle ABC$의 외접원과 만나는 점을 $E$라 할 때, $$\dfrac{1}{\overline{DE}} = \dfrac{1}{\overline{EB}} + \dfrac{1}{\overline{CE}}$$ 임을 보인 것이다.

증명

선분 $CE$의 연장선 위에 $\overline{EB} = \overline{EP}$인 점 $P$를 잡는다.
네 점 $A$, $B$, $E$, $C$는 한 원 위에 있으므로
$\angle AEC= \angle ABC=60 \degree $이고
$\angle AEB= \angle ACB=60 \degree $이다.
따라서 $\fbox{　 ㈎ 　}=60 \degree $이고 $\overline{EB} = \overline{EP}$이므로
$\triangle EBP$는 정삼각형이다.
그러므로 $\fbox{　 ㈏ 　}=60 \degree = \angle DEC$이고 선분 $BP$와 $DE$는 평행하다. $\triangle CBP$와 $\triangle CDE$는 닮음이므로
$\overline{BP} : \overline{DE} = \overline{CP} : \fbox{　 ㈐ 　}$이고 $\overline{BP} \cdot \fbox{　 ㈐ 　}= \overline{DE} \cdot \overline{CP}$이다.
또한 $\overline{BP} = \overline{EP} = \overline{EB}$, $\overline{CP} = \overline{CE} + \overline{EP}$이므로
$$\overline{EB} \cdot \fbox{　 ㈐ 　}= \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EP} \right)= \overline{DE} \left( \overline{CE} + \overline{EB} \right)$$ 가 된다. 양변을 $\overline{EB} \cdot \overline{CE} \cdot \overline{DE}$로 나누면
$\dfrac{1}{\overline{DE}} = \dfrac{1}{\overline{EB}} + \dfrac{1}{\overline{CE}}$이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BPE$, ㈐ : $\overline{CE}$

② ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BPE$, ㈐ : $\overline{CD}$

③ ㈎ : $\angle EBP$, ㈏ : $\angle CBE$, ㈐ : $\overline{CE}$

④ ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle DCE$, ㈐ : $\overline{CD}$

⑤ ㈎ : $\angle PEB$, ㈏ : $\angle BED$, ㈐ : $\overline{CD}$

다음은 자연수 $m$, $n$에 대하여 $m^{4} +4^{n}$이 소수이고 $m \ne 1$ 또는 $n \ne 1$이면, $m$은 홀수이고 $n$은 짝수임을 증명한 것이다.

증명

$m$이 짝수이거나 $n$이 홀수라 가정하자.
ⅰ) $m$이 짝수이면 $m=2j$ 꼴의 정수이고,
$m^{4} +4^{n} =4 \cdot (4j^{4} +4^{n-1} )$이므로 $m^{4} +4^{n}$은 $\fbox{　 ㈎ 　}$.
이것은 가정에 모순이므로 $m$은 홀수이다.
ⅱ) $n$이 홀수이면 $n=2k-1$ 꼴의 정수이다.
$m^{4} +4^{n} =m^{4} +4^{2k-1}$은 다음과 같이 인수분해된다. $$m^{4} +4^{2k-1} = \fbox{ 　㈏ 　} (m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} )$$ 이 수는 소수이므로
$\fbox{　 ㈏ 　} =1$ 또는 $m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} =1$이다.
그런데, $m^{2} +m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1} > 1$이므로
$\fbox{　 ㈏ 　} =1$이다.
$\fbox{　 ㈏ 　} = \left(\fbox{　 ㈐ 　}\right)^{2} +4^{k-1} =1$로부터
$k=1$, $m=1$이다.
따라서 $m=1$, $n=1$이다.
이것은 가정에 모순이므로 $n$은 짝수이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k-1}$

② ㈎ : 소수이다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k} +2 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k-1}$

③ ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+1} +5 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k}$

④ ㈎ : 소수이다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+1} +5 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k}$

⑤ ㈎ : 소수가 아니다, ㈏ : $m^{2} -m 2^{k+2} +17 \cdot 4^{k-1}$, ㈐ : $m-2^{k+1}$

집합 $A= \left\{ 1, 2, 3, \cdots, 21 \right\}$에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

보기

ㄱ. $A$에 있는 서로 다른 두 수의 최소공배수 중 최대는 420이다.
ㄴ. $A$에 있는 서로 다른 두 수의 최대공약수 중 최대는 10이다.
ㄷ. $A$의 서로 다른 11개의 수 중에는 서로소인 두 수가 있다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선 $y=a(x-1)$이 서로 다른 다섯 점에서 만나게 되는 $a$의 범위는?

① $0 < a < \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

② $0 < a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

③ $0 < a < \dfrac{2}{3}$

④ $0 < a < \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

⑤ $0 < a < \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

함수 $f (x)=x^{2} -x-6$, $g (x)=x^{2} -ax+4$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $(f \circ g )(x) \ge 0$이 되는 실수 $a$의 범위는? (단, $f \circ g$는 $g$와 $f$의 합성함수이다)

① $a \le -1$, $a \ge 1$

② $-1 \le a \le 1$

③ $a \le -1$, $a \ge 1$

④ $-2 \le a \le 2$

⑤ $-4 \le a \le 4$

어떤 물질은 원자를 구로 나타낼 경우 똑같은 구들을 규칙적으로 배열하여 얻은 정육각형 격자구조를 갖는다. 아래 그림은 이 격자구조의 한 단면에 놓여 있는 원자의 중심을 연결한 것이다. 이 구조에서 한 원자의 에너지는 인접한 원자의 수와 거리에 영향을 받는다. 가장 인접한 원자의 중심간의 거리가 모두 $1$일 때, 동일 평면상에서 고정된 한 원자와 중심 사이의 거리가 $\sqrt{7}$인 원자의 개수는?

① $4$

② $6$

③ $8$

④ $12$

⑤ $16$

자전거 경기장에서 트랙의 반지름이 $r$m이고, 경사각이 $a\degree $인 경사면을 안전하게 달릴 수 있는 속력 $v$(m/초)는 $v= \sqrt{0.2ra}$로 나타내어진다고 하자. 이 때, 자전거 경기장에서 반지름이 40m이고 경사각이 $32\degree$인 경사면을 안전하게 달릴 수 있는 속력(m/초)은?

① 16

② 19

③ 22

④ 25

⑤ 28

중심도시에서 상품을 구매하는 주변도시의 전체 구매량은 다음과 같은 법칙을 따른다고 하자.

각 주변도시 B, C의 시민들이 중심도시 A시에서 상품을 구매할 때, 각 도시의 전체 구매량은 그 도시의 인구수에 비례하고 A시와의 거리의 제곱에 반비례한다.

위 법칙과 아래표에 의거하여 신도시 C를 건설하려고 한다.

도시 ＼ 구분	인구 (단위 : 명)	A시로부터의 거리 (단위 : km)
B시	$500000$	$20$
C시	$x$	$10$

A시에서 구매하는 C시의 전체 구매량이 B시의 전체 구매량의 절반이 되게 하려면 C시의 인구 $x$를 얼마로 예상해야 하는가?

① $42500$

② $52500$

③ $62500$

④ $72500$

⑤ $82500$

원 $x^{2} +y^{2} -10x-2y+1=0$의 중심의 좌표를 $(a, b )$, 반지름을 $r$이라 할 때, $a+b+r$의 값을 구하시오.

$\sin \theta +\cos \theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$일 때, $\dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} + \dfrac{\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$의 값을 구하시오.

$U= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$일 때, $\left\{ 2, 3 \right\} \cap A \ne \phi $를 만족시키는 $U$의 부분집합 $A$의 개수를 구하여라.

다음 방정식의 모든 해의 곱을 구하여라. $$(\log_{2} x)^{3} +\log_{2} x^{3} =4(\log_{2} x)^{2} +\log_{2} x$$

어떤 행사에서 $20$ 종류의 스티커를 모으면 경품을 받을 수 있다고 한다. 갑은 네 종류, 을과 병은 각각 다섯 종류의 스티커를 모았다. 두 사람씩 비교하였을 때, 각각 세 종류의 스티커가 공통으로 있었고, 세 사람을 함께 비교하였을 때는 두 종류의 스티커가 공통으로 있었다. 갑, 을, 병의 스티커를 모아서 경품을 받으려고 할 때, 최소로 더 필요한 스티커의 종류의 수를 구하여라.

원 $x^{2} +y^{2} = \dfrac{13}{4}$과 함수 $y= \dfrac{3}{2x}$의 그래프가 만나는 모든 교점의 $x$좌표의 곱을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.