2002-03 2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 3월 28일 (목)에 시행되었습니다.

2002학년도 3월 고3 전국연합학력평가

수리영역[예체능계](수학)

시행 : 2002.3.28(목)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

두 유리수 $a$, $b$에 대하여 등식 $\left( 1 + \sqrt{2} \right) a - \left( b + 3 \sqrt{2} \right) \sqrt{2} = 0$이 성립할 때, $a + b$의 값은?

① $8$

② $9$

③ $10$

④ $11$

⑤ $12$

이차방정식 $x^{2} -2 \sqrt{2} x +1 =0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $ ($\alpha < \beta $)라 할 때, $\dfrac{\beta}{\alpha}$의 값은?

① $3+ \sqrt{2}$

② $3+2 \sqrt{2}$

③ $4+ \sqrt{2}$

④ $4+2 \sqrt{2}$

⑤ $5+2 \sqrt{2}$

$(1-\sin 2002˚ )(1+\sin 2002˚ )$를 간단히 하면?

① $\cos 2˚ $

② $\cos^{2} 2˚ $

③ $\cos 22˚ $

④ $\cos^{2} 22˚ $

⑤ $-\cos^{2} 22˚ $

$\log_{2} (x+y)=2$, $\log_{3} x+\log_{3} y=1$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $7$

② $10$

③ $13$

④ $19$

⑤ $22$

오른쪽 벤 다이어그램의 어두운 부분을 나타내는 집합을 [보기]에서 모두 고르면? (단, $U$는 전체집합이다.)

보기

ㄱ. $( A \cap C ) \cap B^{c}$
ㄴ. $(A \cap C ) - ( A \cap B \cap C )$
ㄷ. $(A - B ) \cap (C - B )$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항식 $f (x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지가 각각 $x^{2} +2x+3$, $4$일 때, 다항식 $xf (x)+2$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫은?

① $x^{3} +2x^{2} +3x+4$

② $x^{3} -2x^{2} +2x+3$

③ $x^{3} +x^{2} +x+4$

④ $x^{3} +3x^{2} -2x+4$

⑤ $x^{3} +4x^{2} -3x+2$

$-1 \le x \le 3$에서 정의된 함수 $f (x)=-2x^{2} +8x+a$의 최대값이 5가 되도록 상수 $a$의 값을 정할 때, 함수 $f (x)$의 최소값은?

① $-11$

② $-12$

③ $-13$

④ $-14$

⑤ $-15$

[보기]의 함수의 그래프를 평행이동하였을 때, $y= \dfrac{x}{x-2}$의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $y= \dfrac{2}{x+1}$
ㄴ. $y= \dfrac{2x+1}{x+2}$
ㄷ. $y= \dfrac{3x+5}{x+1}$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

$\triangle ABC$에서 $A=30 ˚ $, $\overline{AC} =8$, $\overline{BC} =4 \sqrt{2}$일 때, 예각 $C$의 크기는?

① $15 ˚ $

② $30 ˚ $

③ $45 ˚ $

④ $60 ˚ $

⑤ $75 ˚ $

좌표평면 위에서 연립부등식 $\begin{cases}y \ge f ( x ) \\ y \le g ( x ) \end{cases}$의 영역이 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 $\left\{ y - f ( x ) \right\} \left\{ y - g ( x ) \right\} \le 0$의 영역을 그림으로 나타내면? (단, 경계선은 모두 영역에 포함된다.)

세 실수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $x$에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} ( x - a ) ( x - b ) > 0 \\ ( x - b ) ( x - c ) > 0 \end{cases}$$ 의 해가 $x < -4$, $x > 3$일 때, 이차부등식 $x^{2} + ax + c < 0$의 해는?

① $-3 < x < 4$

② $3 < x < 4$

③ $-3 < x < 1$

④ $-1 < x < 3$

⑤ $1 < x < 3$

다음 [그림1]은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직사각형으로 나눈 것이고, [그림2]는 같은 정사각형 $PQRS$의 각 변을 $m : n$으로 내분하는 점을 연결하여 4개의 직각삼각형과 1개의 정사각형으로 나눈 것이다.
[그림1]의 각 직사각형의 넓이를 $A$, $B$, $C$, $D$라 할 때, 다음 중 [그림2]의 어두운 정사각형의 넓이를 나타내는 것은?

① $3A$

② $A + B$

③ $B + C$

④ $A + 2C$

⑤ $B + 2C$

집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에 대하여 함수 $f (x)$는 $X$에서 $X$로의 일대일대응이다. 함수 $f (x)$가 $$(f \circ f )( 1)=4,\,\,\,\,(f \circ f )( 3)=3$$을 만족할 때, $2f (1)+4f (3)$값은? (단, $(f \circ f )( x)=f (f (x))$)

① $12$

② $14$

③ $16$

④ $18$

⑤ $20$

세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 조건 $p$, $q$, $r$를
  $p : x^{2} +y^{2} +z^{2} =0$
  $q : x^{2} +y^{2} +z^{2} +xy+yz+zx=0$
  $r : x^{2} +y^{2} +z^{2} -xy-yz-zx=0$
이라 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이다.
ㄴ. $p$는 $r$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. $q$는 $r$이기 위한 필요조건이다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

폐구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f (x)$의 그래프가 아래 그림과 같다. 합성함수 $f^{n}$을 $$f^{1} =f,\,\,\,\, f^{2} =f \circ f,\,\,\,\, \cdots , \,\,\,\,f^{n+1} = f^{n} \circ f\,\, (n=1, \,\,2, \,\,3, \,\,\cdots )$$ 이라 정의하자. 이 때, $f^{2002} (0)$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)

① $0$

② $1$

③ $2$

④ $3$

⑤ $4$

오른쪽 그림의 사면체 $A$-$BCD$에서 $\overline{AD} \,⊥\, \overline{BD}$, $\overline{AD} \,⊥\, \overline{DC}$이고, $\overline{AB} = \overline{AC}$이다. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\angle ABC =\angle ACB$
ㄴ. $\angle BAC=\angle BDC$
ㄷ. $\overline{BD} = \overline{CD}$
ㄹ. $\angle ABD=\angle ACD$

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄷ

③ ㄱ, ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

다음은 좌표평면에서 점 $P ( a, b )$와 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 점 $P^{\prime}$의 좌표를 구하는 과정이다.

점 $P^{\prime}$의 좌표를 $( a^{\prime}, b^{\prime} )$이라 하면
$\dfrac{b^{\prime} - b}{a^{\prime} - a} =\fbox{　 ㈎ 　}$
즉, $b^{\prime} =\fbox{　 ㈏ 　}+ b$ $\cdots$ ㉠
또, 선분 $PP^{\prime}$의 중점 $M$은 직선 $y = x$ 위에 있으므로
$\dfrac{a + a^{\prime}}{2} =\fbox{　 ㈐ 　}$ $\cdots$ ㉡
㉠, ㉡ 두 식을 연립하여 풀면
$a^{\prime} = b$, $b^{\prime} = a$
따라서, 점 $P^{\prime}$의 좌표는 $( b, a )$이다.

위의 ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열하면?

① $-a^{\prime} + a$, $\dfrac{b^{\prime} - b}{2}$

② $a^{\prime} + a$, $\dfrac{b - b^{\prime}}{2}$

③ $a^{\prime} - a$, $\dfrac{b + b^{\prime}}{2}$

④ $a^{\prime} - a$, $\dfrac{b - b^{\prime}}{2}$

⑤ $-a^{\prime} + a$, $\dfrac{b + b^{\prime}}{2}$

다음은 $a$, $b$가 모두 홀수일 때 $m=11a+b$, $n=3a+b$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아님을 증명하는 과정이다. (단, 정수의 제곱인 수를 제곱수라 한다.)

증명

$a$, $b$가 홀수이므로 $m$, $n$은 모두 짝수이다.
$m$, $n$이 모두 제곱수라고 가정하면
$m=4p^{2}$, $n=4q^{2}$ ($p$, $q$는 정수)로 놓을 수 있다.
$m-n=(11a+b)-(3a+b)=8a$이므로
$(p+q)(p-q)=\fbox{　 ㈎ 　}$
그런데 $p$, $q$는 정수이므로 두 수 $p+q$와 $p-q$는 모두 홀수 아니면 짝수이다.
그러므로 $(p+q)(p-q)$는 홀수이거나 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수이다.
그런데 ㈎는 $\fbox{　 ㈏ 　}$의 배수가 아닌 짝수이므로 모순이다.
따라서 $m$, $n$ 중 적어도 하나는 제곱수가 아니다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $2a$, $4$

② $4a$, $4$

③ $2a$, $3$

④ $4a$, $3$

⑤ $2a$, $6$

두 이차 다항식 $f ( x )$와 $g ( x )$의 최대공약수가 $x - 1$, 최소공배수가 $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$이다. 이 때, 두 집합 $$A = \left\{ x\,|\, f ( x ) = 0 \right\},\,\,\,\,B = \left\{ x\,|\, g ( x ) = 0 \right\}$$에 대하여 집합 $( A - B ) \cup ( B - A )$는?

① $\left\{ -1, 3 \right\}$

② $\left\{ -1, 2 \right\}$

③ $\left\{ -1, 1 \right\}$

④ $\left\{ -1, 1, 3 \right\}$

⑤ $\left\{ -1, 1, 2 \right\}$

실수 $a$에 대하여 $a$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[ a ]$, $a$보다 작지 않은 최소의 정수를 $\left< a \right>$로 나타내기로 한다. 예를 들어 $[ 4.3 ] =4$, $\left< 4.3\right> = 5$이다. 이 때, $\left< \left[ \dfrac{3x+8}{x+2} \right] + \dfrac{x}{5} \right>= 5$를 만족시키는 양의 정수 $x$의 개수는?

① $3$

② $5$

③ $7$

④ $9$

⑤ $11$

좌표평면 위에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 양 끝점으로 하고 길이가 1인 선분을 단위선분이라고 하자. 오른쪽 그림은 $0 < x < 6$에서 직선 $y= \dfrac{4}{3} x$가 만나는 단위선분의 개수는 10개임을 보여주고 있다. 이와 같이 생각할 때, $0<x<28$에서 직선 $y= \dfrac{11}{7} x$가 만나는 단위선분의 개수는? (단, 직선이 단위선분의 끝점과 만나는 것은 제외한다.)

① $64$

② $65$

③ $66$

④ $67$

⑤ $68$

A, B, C, D 네 팀이 출전한 어느 축구대회에서 네 팀이 각각 다른 세 팀과 한 번씩 경기를 치르는 리그 방식의 예선전을 하였다. 각 경기에서 이긴 팀은 $3$점을 받고, 진 팀은 $0$점을 받으며 비긴 경우에는 두 팀이 $1$점씩을 받기로 규칙을 정하였다. 총 $6$경기가 모두 끝난 후 A팀이 $6$점, B팀이 $4$점, C팀이 $3$점을 받았을 때, D팀이 받은 점수는?

① $1$점

② $3$점

③ $4$점

④ $5$점

⑤ $7$점

어떤 신도시에 A, B, C 세 백화점이 있다. 이 신도시에 사는 주부 $100$명을 대상으로 지난 일년동안 이 백화점의 이용 실태를 조사하였더니 A, B, C 백화점을 이용한 적이 있는 주부들이 각각 $88$명, $75$명, $50$명이었다. [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있는 주부들은 많아야 $25$명이다.
ㄴ. 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 없는 주부들은 많아야 $12$명이다.
ㄷ. 적어도 $13$명의 주부들은 세 백화점 A, B, C를 모두 이용한 적이 있다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

오른쪽 그림과 같이 조난 구조용 헬리콥터가 기지 $A$를 출발하여 $B$지점에 있는 중상을 입은 등산객을 싣고, $C$지점에 있는 병원으로 가려고 한다. 세 지점 $A$, $B$, $C$에 대하여 $\angle ABC=30 ˚ $, $\angle BAC=15 ˚ $이고, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리가 $20$km일 때, 두 지점 $B$와 $C$ 사이의 거리는?

① $(20-5 \sqrt{2} )$km

② $(10 \sqrt{3} -10 \sqrt{2} )$km

③ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{2})$km

④ $(10 \sqrt{6} -10 \sqrt{3)}$km

⑤ $(20 \sqrt{3} -10 \sqrt{2})$km

이차방정식 $x^{2} - 3x - 3 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta $라 할 때, $( \alpha^{2} - 2 \alpha ) ( \beta^{2} - 2 \beta )$의 값을 구하시오.

$f (3)=5$를 만족하는 무리함수 $f (x) = \sqrt{ax + b}$의 역함수를 $g (x)$라 한다. $g (3)=5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f (x)=3^{x} +3^{-x}$에 대하여 $f (a)=6$일 때, $f (-2a)$의 값을 구하시오.

좌표평면에서 원 $( x - a )^{2} + ( y - b )^{2} = r^{2}$이 $x$축과 두 점 $( 3 + \sqrt{21}, 0 )$, $( 3 - \sqrt{21}, 0 )$에서 만나고, $y$축과 두 점 $( 0, 6 )$, $( 0, -2 )$에서 만나도록 상수 $a$, $b$, $r$의 값을 정할 때, $a + b + r$의 값을 구하시오. (단, $r > 0$)

$2002$년 한일월드컵 공인구인 피버노바는 아래 그림과 같이 각 변의 길이가 같은 정오각형 $12$개와 정육각형 $20$개를 붙여 만든 다면체를 변형한 것이다. 이 다면체의 모서리의 개수를 구하시오.

소리의 강도가 $P$(단위 : $W/\text{m}^{2}$)일 때, 소리의 크기 $D$(단위 : dB)는 기준 음의 강도 $I$와 비교하여 $D = 10\log_{10} \dfrac{P}{I}$로 나타낸다. A지역의 소리의 강도가 B지역의 소리의 강도의 5000배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\log_{10} 2=0.301$로 계산한다.)