2002-09 2003학년도 대학수학능력시험 모의평가 수리영역[자연계](수학)

2003학년도 대학수학능력시험 모의평가 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 9월 3일 (화)에 시행되었습니다.

2003학년도 대학수학능력시험 모의평가

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2002.9.3(화)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$a= \sqrt{1+ \sqrt{2}}$일 때, $a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}$의 값은?

① $\sqrt{2}$

② $2$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $4$

⑤ $2+2 \sqrt{2}$

서로 직교하는 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$에 대하여 $\left| \vec{a} \right|=2$이고 $\left| \vec{b} \right|=3$일 때, $\left| 3 \vec{a} -2 \vec{b} \right|$의 값은?

① $3 \sqrt{2}$

② $4 \sqrt{2}$

③ $5 \sqrt{2}$

④ $6 \sqrt{2}$

⑤ $7 \sqrt{2}$

$\cos 2 \alpha = \dfrac{1}{5}$일 때, $\sec^{2} \alpha $의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$

② $\dfrac{2}{3}$

③ $1$

④ $\dfrac{4}{3}$

⑤ $\dfrac{5}{3}$

정적분 $2 \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} dx$의 값은?

① $\dfrac{1}{e}$

② $\dfrac{e-1}{e}$

③ $\dfrac{e+1}{e}$

④ $e-1$

⑤ $e+1$

일차변환 $f$는 직선 $y = x$ 위의 모든 점을 자기 자신으로 옮기고, $f$의 역변환이 존재하지 않는다. $f$를 나타내는 행렬을 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 할 때, $a + d$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

함수 $f (x) =x^{n} e^{-x}$에 대한 [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, $n$은 자연수)

보기

ㄱ. $n$이 짝수일 때, $f (x)$의 최소값은 0이다.
ㄴ. $n$이 짝수일 때, $f (x)$는 $x=0$에서 극소값을 갖고 $x=n$에서 극대값을 갖는다.
ㄷ. $n$이 홀수일 때, $f (x)$는 $x=0$에서 극대값을 갖고 $x=n$에서 극소값을 갖는다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 식의 값은? $$\dfrac{1}{2^{-100} + 1} + \dfrac{1}{2^{-99} + 1} + \cdots + \dfrac{1}{2^{-1} +1} + \dfrac{1}{2^{0} +1}+ \dfrac{1}{2^{1} +1} + \cdots + \dfrac{1}{2^{99} +1} + \dfrac{1}{2^{100} +1}$$

① $50$

② $\dfrac{101}{2}$

③ $100$

④ $\dfrac{201}{2}$

⑤ $200$

$x$와 $y$에 관한 다음 연립방정식이 실수해를 갖도록 하는 실수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b )$를 좌표평면에 나타낸 것은? (단, 경계선 포함) $$\begin{cases} x+y = 1 \\ ( x-a )^{2} +( y-b )^{2} = 1\end{cases}$$

아래 그림은 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 격자점을 좌표평면에 나타낸 것이다.
위의 좌표평면에 직선 $y=ax$를 그렸을 때, [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, $a > 0$)

보기

ㄱ. $a$가 자연수일 때, 무수히 많은 격자점을 지난다.
ㄴ. $a$가 유리수일 때, 지나는 격자점의 $y$좌표는 등차수열을 이룬다.
ㄷ. $a$가 무리수일 때, 적어도 하나의 격자점을 지난다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 $n$에 대하여 $\sqrt{n}$의 정수 부분을 $f (n)$이라 하자. 예를 들면, $f (5) = 2$이다. 이때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{120}\dfrac{1}{2f (n )+1}$의 값은?

① $10$

② $12$

③ $20$

④ $24$

⑤ $36$

어느 상점에는 $\fbox{(가)}$, $\fbox{(나)}$, $\fbox{(다)}$ 3개의 진열대가 있다. 9월 1일에 $\fbox{(가)}$, $\fbox{(나)}$, $\fbox{(다)}$에 진열된 상품은 각각 A, B, C이다. 9월 2일부터 아래의 규칙에 따라 상품을 진열할 때, 같은 해 9월 30일에 진열될 상품을 바르게 나타낸 것은?

규칙 1 : 홀수 날에는 전날 $\fbox{(가)}$에 진열되었던 상품을 $\fbox{(나)}$로, $\fbox{(나)}$의 상품을 $\fbox{(다)}$로, $\fbox{(다)}$의 상품을 $\fbox{(가)}$로 옮겨 진열한다.
규칙 2 : 짝수 날에는 전날 $\fbox{(나)}$와 $\fbox{(다)}$에 진열되었던 상품을 서로 바꾸어 진열한다.

① $\fbox{(가)}$ : A / $\fbox{(나)}$ : B / $\fbox{(다)}$ : C

② $\fbox{(가)}$ : A / $\fbox{(나)}$ : C / $\fbox{(다)}$ : B

③ $\fbox{(가)}$ : B / $\fbox{(나)}$ : A / $\fbox{(다)}$ : C

④ $\fbox{(가)}$ : B / $\fbox{(나)}$ : C / $\fbox{(다)}$ : A

⑤ $\fbox{(가)}$ : C / $\fbox{(나)}$ : B / $\fbox{(다)}$ : A

함수 $y=\log_{2} (x+1)+1$의 그래프가 $x$축 및 $y$축과 만나는 두 점을 지나는 직선의 기울기는?

① $-2$

② $-1$

③ $1$

④ $2$

⑤ $4$

자연수에서 정의된 함수 $f (n)$에 대하여 다음이 성립한다. $$f (1)=1,\,\,\,\,f (n)=1+f (m)$$ (단, $m$은 $n$이 아닌 $n$의 가장 큰 약수이다.) 예를 들면, $f ( 3 ) = 1+f ( 1 ) = 2$이다. 이때, [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $p$와 $q$가 소수이면 $f (p )=f (q )$이다.
ㄴ. $n$이 1보다 큰 홀수이면 $f (n ) = 1+f \left( \dfrac{n-1}{2} \right)$이다.
ㄷ. $n$이 짝수이면 $f (n ) = 1+f \left( \dfrac{n}{2} \right)$이다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

오른쪽 그림과 같이 $\omega^{3} =1$ ($\omega \ne 1$)인 복소수 $\omega$에 대하여 $1$, $\omega$, $\omega^{2}$을 세 꼭지점으로 갖는 정삼각형이 복소평면 위에 있다. $| z | = 2$인 원 위의 점 $P (z )$와 이 정삼각형의 각 꼭지점 사이의 거리의 곱 $| z-1 | \cdot | z- \omega | \cdot | z- \omega^{2} |$의 최대값은?

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

8개의 전구가 있다. 전구마다 스위치가 달려 있어서 스위치를 누르면 전구가 켜지고 다시 누르면 꺼진다. 전구가 모두 꺼져 있는 상태에서 학생 A가 임의로 3개의 스위치를 한 번씩 누르고 간 후, 학생 B도 임의로 3개의 스위치를 한 번씩 누르고 갔다. 이때, [보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. 꺼져 있는 전구의 수는 짝수이다.
ㄴ. 2개의 전구만 켜지는 경우는 없다.
ㄷ. 4개의 전구가 켜질 확률이 6개의 전구가 켜질 확률보다 더 크다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

확률변수 $X$와 $Y$는 각각 정규분포 $N(0, 1^{2} )$과 $N(1, 2^{2} )$을 따르고, 확률 $a$, $b$, $c$는 다음과 같다. $$a = P (-1 < X < 1 ),\,\,\,\,b = P (1 < Y < 5 ),\,\,\,\,c = P (-5 < Y < -1 )$$ 이때, $a$, $b$, $c$의 대소 관계는?

① $a=b=c$

② $b = c < a$

③ $a < b < c$

④ $b < a < c$

⑤ $c < b < a$

다음은 임의의 자연수 $n$에 대하여 $n+1$이 $3$의 배수이면 $n$의 양의 약수의 합이 $3$의 배수임을 증명한 것이다.

증명

자연수 $n$에 대하여 $n+1$이 $3$의 배수이면, $n$은 $3k+2$꼴이다. (단, $k$는 음이 아닌 정수)
$3k+1$꼴의 수들의 곱은 $\fbox{ (가) }$꼴이므로, $n$의 소인수 중에는 $3k+2$꼴이 반드시 있다.
그런데 $3k+2$꼴의 수를 짝수 번 곱하면 $3k+1$꼴의 수가 되므로, $n$의 소인수 중 $3k+2$꼴이면서 그 지수가 $\fbox{ (나) }$인 것이 있다. 그 소인수를 $p$라 하고 $p$의 지수를 $m$이라 하면, $p$와 서로소인 자연수 $N$에 대하여 $n=N \cdot p^{m}$과 같이 나타내어진다.
이때, $p^{m}$의 양의 약수의 합 $1+p+p^{2} + \cdots +p^{m-1} +p^{m}$은 $\fbox{ (다) }$꼴이고, $n$의 양의 약수의 합은 $N$의 양의 약수의 합과 $p^{m}$의 양의 약수의 합의 곱이다. 따라서 $n$의 양의 약수의 합은 $3$의 배수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

① (가) : $3k+1$ / (나) : 홀수 / (다) : $3k$

② (가) : $3k+1$ / (나) : 짝수 / (다) : $3k+2$

③ (가) : $3k+1$ / (나) : 홀수 / (다) : $3k+1$

④ (가) : $3k+2$ / (나) : 짝수 / (다) : $3k$

⑤ (가) : $3k+2$ / (나) : 홀수 / (다) : $3k+2$

다음은 예각삼각형 $ABC$에서 세 내각의 크기를 $A$, $B$, $C$로 나타낼 때, $A < B < C$이면 $\sin 2A > \sin 2B > \sin 2C$임을 증명한 것이다.

증명

오른쪽 그림에서 점 $O$를 삼각형 $ABC$의 외심이라 하고, 선분 $AO$의 연장선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자.
점 $O$가 외심이므로 $\angle AOB= 2C$이고 $\angle AOC= 2B$이다.
$B < C$이므로 다음을 얻는다.
$\overline{BD}\,\fbox{ (가) }\,\overline{CD}$ $\cdots$ ㉠
또한, 삼각형 $BOD$와 $COD$의 넓이는 각각 다음과 같다.
$\triangle BOD= \dfrac{1}{2} \overline{OB} \cdot \overline{OD} \sin\left(\fbox{ (나) }\right)$
$\triangle COD= \dfrac{1}{2} \overline{OC} \cdot \overline{OD} \sin\left(\fbox{ (다) }\right)$
㉠에 의하여 $\triangle BOD$ < $\triangle COD$이므로 $\sin 2B > \sin 2C$이다. 마찬가지로, $\sin 2A > \sin 2B$가 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

① (가) : $>$ / (나) : $B$ / (다) : $C$

② (가) : $>$ / (나) : $2B$ / (다) : $2C$

③ (가) : $>$ / (나) : $2C$ / (다) : $2B$

④ (가) : $<$ / (나) : $2B$ / (다) : $2C$

⑤ (가) : $<$ / (나) : $2C$ / (다) : $2B$

좌표공간에 두 점 $P(0, 0, 5)$와 $Q(a, b, 4)$를 잇는 직선 $l$과 방정식이 $(x-1)^{2} +(y-2)^{2} +(z-3)^{2} =4$인 구 $S$가 있다. 이 직선 $l$과 구 $S$를 $xy$평면에 정사영시켜 얻은 두 도형이 서로 접할 때, $\dfrac{a}{b}$의 값은? (단, $b \ne 0$)

① $-2$

② $- \dfrac{3}{2}$

③ $-1$

④ $- \dfrac{3}{4}$

⑤ $- \dfrac{2}{3}$

삼차함수 $f (x)$는 극값을 갖고 두 실수 $a$와 $b$에 대하여 다음을 만족시킨다. (단, $0 < a < b$) $$\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f (x)}{x-a} = 1,\,\,\,\,\displaystyle\lim_{x \to b} \dfrac{f (x)-1}{x-b} = 2$$ 이때, $y = f (x)$의 그래프의 개형은?

사차함수 $y=f (x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 $$\left\{ f (x ) \right\}^{2} =4f (x )-3$$ 의 실근의 개수는?

① $1$

② $2$

③ $4$

④ $6$

⑤ $8$

첨단 기술을 연구하는 어느 연구소 안의 통로는 아래 그림과 같다. 그림에 표시된 $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ 세 지점에는 보안을 위하여 검색대가 설치되어 있다.
이 연구소의 연구원 중에서 $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$지점을 통과할 수 있는 연구원의 집합을 각각 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$이라고 할 때, 연구소의 입구에서 출발하여 빗금 친 방까지 갈 수 있는 연구원 전체의 집합은?

① $A_{1} \cap (A_{2} \cup A_{3} )$

② $A_{2} \cap (A_{1} \cup A_{3} )$

③ $A_{1} \cup (A_{2} \cap A_{3} )$

④ $(A_{1} \cup A_{2} ) \cap A_{3}$

⑤ $(A_{1} \cap A_{2} ) \cup A_{3}$

아래 그림과 같이 육지의 D지점과 섬의 E지점 사이를 연결하는 다리를 건설하려고 한다. 지점 A, B, C를 정하고, A와 B 사이의 거리 및 각 지점 사이의 각의 크기를 측정하였더니 아래 그림과 같았다. 이때, D와 E 사이의 거리는? (단, 각 지점 A, B, C, D, E의 해발고도는 모두 같고, $\dfrac{1}{\cos 72\degree} =3.24$로 한다.)

① $324 \sqrt{3}$m

② $324 \sqrt{6}$m

③ $648$m

④ $648 \sqrt{3}$m

⑤ $648 \sqrt{6}$m

한 사회의 인구 분포에 따른 경제 구조를 판단하는 기준으로 부양비, 노령화지수, 노년부양비가 사용된다. $0\sim14$세의 유소년인구를 $P_{1}$, $15\sim64$세의 생산연령인구를 $P_{2}$, 65세 이상의 노년인구를 $P_{3}$로 구분할 때, 부양비, 노령화지수, 노년부양비는 다음과 같다. $$(부양비)= \dfrac{P_{1} + P_{3}}{P_{2}} \times 100,\,\,\,\,(노령화지수)= \dfrac{P_{3}}{P_{1}} \times 100,\,\,\,\,(노년부양비)= \dfrac{P_{3}}{P_{2}} \times 100$$ 2025년의 부양비를 50, 노령화지수를 80이라고 가정하였을 때, 2025년의 노년부양비는?

① $\dfrac{100}{9}$

② $\dfrac{200}{9}$

③ $\dfrac{100}{3}$

④ $\dfrac{400}{9}$

⑤ $\dfrac{500}{9}$

전체집합 $U= \left\{ x\,|\, x\text{는 20 이하의 자연수} \right\}$의 세 부분집합 $A$, $B$, $C$는 다음과 같다. $$A= \left\{ x\,|\, x\text{는 소수}\right\},\,\,\,\,B= \left\{ x \,|\, x\text{는 3의 배수} \right\},\,\,\,\,C= \left\{ x \,|\, x\text{는 5의 배수} \right\}$$ 이때, $(B \cup C ) \cap A^{c}$의 원소의 개수를 구하시오. (단, $A^{c}$은 $A$의 여집합이다.)

타원 $\dfrac{x^{2}}{100} + \dfrac{y^{2}}{36} = 1$의 두 초점을 $F$와 $F^{\prime}$이라 하고, 이 타원과 원 $(x + 8)^{2} + y^{2} = 9$와의 교점 중 하나를 $P$라 하자. 이때, 두 선분 $PF$와 $PF^{\prime}$의 길이의 곱 $\overline{PF} \cdot \overline{PF^{\prime}}$을 구하시오.

모든 자연수 $n$에 대하여 수열 $\left\{ a_{n} \right\}$은 다음을 만족시킨다. $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_{1} + \cdots +a_{k}}{k} =(n+1)^{2}$$ 이때, $a_{10}$의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 여섯개의 수 $6$, $9$, $15$, $a$, $b$, $c$가 배열되어 있고, $a$, $b$, $c$는 선을 따라 인접하고 있는 세 수의 평균과 같다. 예를 들면, $b$는 $a$, $6$, $9$의 평균이다. 이때, $a$의 값을 구하시오.

$-1$이 아닌 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{x^{n} +20}{x^{n+1} +2}$의 최대값을 구하시오.

아래 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{BC} = 4$, $\overline{CA} = 3$이고, 변 $BC$의 연장선 위에 점 $D$를 $\overline{CD} =3$이 되도록 잡을 때, $\overline{AD}^{2}$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.