1990-12 대학수학능력시험 제1차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제1차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1990년 12월 19일 (수)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제1차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1990.12.19(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

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명제 ‘이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑지 않다.’의 대우는?

① 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑다.

② 그날 날씨가 맑지 않으면, 이번 일요일에 체육대회는 열리지 않는다.

③ 그날 날씨가 맑으면, 이번 일요일에 체육 대회는 열린다.

④ 이번 일요일에 체육 대회가 열리지 않으면, 그날 날씨는 맑다.

⑤ 이번 일요일에 체육 대회가 열리면, 그날 날씨는 맑지 않다.

$a$, $b$가 실수일 때, 부등식 $|a| < |b|$가 성립할 필요충분조건은?

① $a< b$

② $a^{2}< b^{2}$

③ $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$

④ $|a|< b$

⑤ $a<|b|$

$1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1$에서 등호가 잘못 사용된 부분은?

① $1=\sqrt{1}$

② $\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}$

③ $\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}$

④ $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\left(\sqrt{-1}\right)^{2}$

⑤ $\left(\sqrt{-1}\right)^{2}=-1$

두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$와 $b$의 최대공약수를 $D(a, b)$로 나타낼 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① $D(a, b) =D(b, a)$

② $D(a, a)=a$

③ $D(a+2, b+2)=D(a, b)+2$

④ $D(2a, 2b)=2D(a, b)$

⑤ $D (1, a) = 1$

좌표평면에서 두 집합 $$A=\left\{ (x, y)\,|\, (x+y-1)(x-y-1)=0\right\}, B=\left\{ (x, y) \,|\, x^{2} - y^{2} =0\right\}$$의 교집합 $A\cap B$에 속해 있는 원소의 개수는?

① 무수히 많다.

② $0$

③ $4$

④ $1$

⑤ $2$

[6~7]

함수 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 $$x\text{가 유리수일 때 }f(x)=1,$$ $$x\text{가 무리수일 때 }f(x)=0$$ 으로 정의하자. (단, $\mathbb{R}$는 실수 전체의 집합이다.)

다음 중 옳은 것은?

① $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=1$, $f\left(\sqrt{2}\right)=1$

② $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=1$, $f\left(\sqrt{2}\right)=0$

③ $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=0$, $f\left(\sqrt{2}\right)=1$

④ $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=0$, $f\left(\sqrt{2}\right)=0$

⑤ $f(0)=0$, $f(1)=0$

합성함수 $f\circ f$의 치역은?

① 무리수 전체의 집합

② 유리수 전체의 집합

③ $\left\{0,1\right\}$

④ $\left\{0\right\}$

⑤ $\left\{1\right\}$

어느 마을의 남녀 전체의 평균 나이가 $45$세이다. 이 마을 남자의 평균 나이가 $50$세이고 여자의 평균 나이가 $40$세일 때, 남자와 여자의 수의 비는?

① $1:1$

② $2:1$

③ $1:2$

④ $3:1$

⑤ $1:3$

다음은 나머지 정리의 증명 과정이다.

다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 $Q(x)$, $R$이라고 하면 $$P(x) =\fbox{　㉠　}+R$$이다. 위의 등식에 $x=a$를 대입하면 $$P(a) =\fbox{　㉡　}$$이다.

위의 증명 과정에서 ㉠, ㉡ 각각에 알맞은 식은?

① ㉠ : $Q(x)$ / ㉡ : $Q(a)$

② ㉠ : $x-a$ / ㉡ : $R$

③ ㉠ : $x-a$ / ㉡ : $aR$

④ ㉠ : $\dfrac{Q(x)}{x-a}$ / ㉡ : $Q(a)R$

⑤ ㉠ : $Q(x)(x-a)$ / ㉡ : $R$

점 $(2, 1)$을 지나는 직선이 포물선 $y^{2} =x$와 원점 $O$가 아닌 두 점 $P$, $Q$에서 만나고, $\angle POQ$가 직각일 때, 직선 $PQ$의 방정식은?

① $y =-x +3$

② $y = 2x - 3$

③ $y = -x-1$

④ $y= x-1$

⑤ $y = 2x +3$

두 정수 $a$, $b$의 차가 $2$로 나누어 떨어질 때, 이를 $a\equiv b$로 나타내기로 하자. $a\equiv 1$, $b\equiv 1$일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① $a+b\equiv a-b$

② $a-b\equiv (a-1)(b-1)$

③ $a+b\equiv (a+1)(b+1)$

④ $2a+1\equiv 3b+1$

⑤ $a+b\equiv (a-1)(b-1)$

포물선 $y=ax^{2}+bx +c$ 위의 두 점 $(1, y_{1})$, $(-1, y_{2})$에 대하여 $y_{1}- y_{2}=10$일 때, $b$의 값은?

① $0$

② $5$

③ $-5$

④ $10$

⑤ $-10$

좌표평면 위에 네 점 $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(4, 5)$, $D(0, 5)$가 주어져 있다. $\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}+\overline{PD}$를 최소로 하는 점 $P$의 좌표는?

① $\left(2,\dfrac{5}{2}\right)$

② $(2,0)$

③ $\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$

④ $(4,0)$

⑤ $(0,5)$

두 미지수 $x$, $y$에 관한 연립방정식 $$\begin{cases}4x +3y =kx\\x +2y =ky\end{cases}$$에 대하여, 다음 명제 중 옳은 것은?

① $k = 0$일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.

② $k = 1$일 때, 위의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.

③ $k = 1$일 때, 위의 연립방정식의 해는 $x = 0$, $y = 0$ 뿐이다.

④ $k$의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 $x = 0$, $y = 0$ 뿐이다.

⑤ $k$의 값에 관계없이 위의 연립방정식의 해는 없다.

목욕통에 세 개의 수도 꼭지 A, B, C로 물을 채우려고 한다. 세 개를 모두 틀어 물을 채우면 $1$시간이 걸리고, A와 C를 틀어 채우면 $1.5$시간 걸리고, B와 C를 틀어 채우면 $2$시간 걸린다. A와 B를 틀어 채울 때 걸리는 시간은?

① $1.2$

② $1.25$

③ $1.3$

④ $1.35$

⑤ $1.5$

등식 $$\log_{2}\left( \log_{3}\left(\log_{4}x\right)\right)=\log_{3}\left(\log_{4}\left(\log_{2}y\right)\right) = \log_{4}\left(\log_{2}\left(\log_{3}z\right)\right) = 0$$이 성립할 때 $x+y+z$의 값은?

① $50$

② $55$

③ $58$

④ $89$

⑤ $111$

두 함수 $y=\log_{10}3x$, $y=3\log_{10}x$의 그래프에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은?

① 두 그래프는 일치한다.

② 두 그래프는 만나지 않는다.

③ 두 그래프는 한 점에서만 만난다.

④ 두 그래프는 두 점에서만 만난다.

⑤ 두 그래프는 세 점에서만 만난다.

수열 $$1,\,\, -2, \,\,3, \,\,-4, \,\,5, \,\,\cdots, \,\,(-1)^{n+1}n, \,\,\cdots$$에서 첫째 항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라고 할 때, $S_{100}+S_{29}$의 값은?

① $-35$

② $-65$

③ $35$

④ $65$

⑤ $129$

[19~20]

평면 위에서 어느 두 직선도 평행하지 않도록, 그리고 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않도록, 직선을 그어서 평면을 분할하려고 한다.

$k$개의 직선이 이미 그어져 있을 때, 한 직선을 더 그으면 몇 개의 분할이 더 생기는가? (단, $k\ge 2$)

① $1$

② $2$

③ $k$

④ $k+1$

⑤ $k+2$

$n$개의 직선을 그었을 때, 평면은 몇 개의 부분으로 분할되는가? (단, $n\ge 2$)

① $n$

② $2n$

③ $2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k$

④ $2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)$

⑤ $2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(k+2)$

주관식1.

두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a\ast b$를 $$a^{2}\le 2b\text{이면 }a\ast b=2b,$$ $$a^{2}> 2b\text{이면 }a\ast b=a^{2}$$으로 정의하자. [3점]
⑴ $\dfrac{2}{3}\ast \dfrac{2}{3}$의 값을 구하여라.
⑵ 함수 $f(x)=x\ast x$의 그래프를 그려라.

주관식2.

좌표평면 위에 세 점 $A(0, 2)$, $B(-2, 0)$, $C(2, 0)$를 꼭지점으로 가지는 삼각형 $ABC$가 있다. 밑변 $\overline{BC}$ 위의 한 점 $P(x, 0)$을 지나 $\overline{BC}$에 수직인 직선으로 이 삼각형을 두 부분으로 나눌 때, 꼭지점 $B$ 쪽의 도형의 넓이 $y$를 $x$의 함수로 나타내라. (단, $-2< x < 2$) [3점]

주관식3.

함수 $y=\sin^{2}\theta +2a\cos \theta -1$ ($0 \le\theta\le 2\pi$)에서 $a>0$이고 또 이 함수의 최대값이 $4$일 때, $a$의 값을 구하라. [4점]