1991-05 대학수학능력시험 제2차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제2차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1991년 5월 24일 (금)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제2차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1991.5.24(금)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
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실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$의 한 부분집합 $S$에 대하여 $$P=\left\{x\in S \left|\,-\dfrac{1}{2}\le x-1\le \dfrac{1}{2}\right.\right\}$$ 이라고 할 때, 다음 중에서 참인 명제는?

① $S=\mathbb{R}$이면, $P$는 공집합이다.

② $S=\mathbb{R}$이면, $P$는 유한집합이다.

③ $S$가 유리수 전체의 집합이면, $P$는 유한집합이다.

④ $S$가 정수 전체의 집합이면, $P$는 유한집합이다.

⑤ $S$가 정수 전체의 집합이면, $P$는 무한집합이다.

실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 정수 중에서 가장 큰 것을 $[x]$로 나타내자. 다음 [보기]의 명제 중에서 참인 것만을 묶어 놓은 것은?

보기

㈎ 모든 실수 $x$에 대하여 $[x+5]=[x]+5$
㈏ 모든 실수 $x$에 대하여 $[x-5]=[x]-5$
㈐ 모든 실수 $x$에 대하여 $[x]+[-x]=0$
㈑ 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $[x+y]=[x]+[y]$

① ㈎, ㈏

② ㈎, ㈐

③ ㈏, ㈐

④ ㈏, ㈑

⑤ ㈐, ㈑

높이가 $h$인 정삼각형의 내부의 한 점 $P$에서 세 변에 이르는 거리의 합을 $l$이라고 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① $l=h$

② $l< h$

③ $l>h$

④ $l=\dfrac{1}{2}h$

⑤ $l=2h$

한 변의 길이가 $4$인 정사각형의 내부에 $17$개의 점이 어떻게 놓이더라도 이들 점 사이의 거리에 대한 설명으로 항상 옳은 것은?

① 임의의 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{2}$이다.

② 임의의 두 점 사이의 거리는 $\sqrt{3}$이다.

③ 임의의 두 점 사이의 거리 중에는 $\sqrt{2}$ 이하인 것이 반드시 있다.

④ 임의의 두 점 사이의 거리 중에는 $\sqrt{3}$ 이상인 것이 반드시 있다.

⑤ 위에는 정답이 없다.

직육면체의 부피를 $x$라고 할 때, 여섯 면의 넓이를 모두 곱한 값은?

① $x^{2}$

② $x^{3}$

③ $x^{4}$

④ $8x^{2}$

⑤ $8x^{4}$

[6~7]

$\dfrac{3}{\sqrt{9-6\sqrt{2}}}$에 관련하여 다음 물음에 답하여라.

$\sqrt{9-6\sqrt{2}}$와 같은 것은?

① $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

② $\sqrt{5}-\sqrt{2}$

③ $3-\sqrt{7}$

④ $\sqrt{6}+\sqrt{3}$

⑤ $\sqrt{6}-\sqrt{3}$

위의 결과와 오른쪽 표를 이용하여 $\dfrac{3}{\sqrt{9-6\sqrt{2}}}$의 근사값을 구하면?

	근사값
$\sqrt{2}$	$1.4142$
$\sqrt{3}$	$1.7321$
$\sqrt{5}$	$2.2360$
$\sqrt{6}$	$2.4495$
$\sqrt{7}$	$2.6458$

① $0.7390$

② $0.8109$

③ $0.8441$

④ $3.6553$

⑤ $4.1816$

[8~9]

오른쪽 표는 어느 공장에서 두 가지 제품 A, B를 각각 한 개 생산하는 데 필요한 원료 $p$, $q$의 소모량과 하루의 최대공급량을 나타낸 것이다. 두 제품 A, B를 생산하여 얻게 되는 이익은 한 개에 각각 3000원, 2000원이라고 한다.

제품 ＼ 원료	$p$	$q$
A	$3$	$1$
B	$1$	$2$
최대공급량	$150$	$100$

이익을 최대로 하려면 제품 A를 하루에 몇 개 생산하여야 하는가?

① $0$

② $20$

③ $30$

④ $40$

⑤ $50$

이 공장에서 제품을 생산하여 얻을 수 있는 하루의 최대 이익은?

① $10$만원

② $15$만원

③ $16$만원

④ $18$만원

⑤ $20$만원

[10~11]

$x$에 관한 방정식 $$\dfrac{x^{2}-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}$$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

위 방정식의 두 근이 절대값은 같고 부호만 다를 때, $m$의 값은? (단, $a\ne \pm b$)

① $ab$

② $\dfrac{a+b}{a-b}$

③ $\dfrac{a-b}{a+b}$

④ $a+b$

⑤ $a-b$

위 방정식의 두 근의 곱이 $1$일 때, $m$의 값은? (단, $c\ne \pm 1$)

① $\dfrac{c-1}{c+1}$

② $\dfrac{c+1}{c-1}$

③ $c-1$

④ $c+1$

⑤ $c$

[12~13]

원 $x^{2}+y^{2}=1$ 위의 서로 다른 두 점 $A(-1,0)$, $B(x,y)$를 지나는 직선의 기울기를 $t$라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

$t$를 $x$, $y$에 관한 식으로 나타내면?

① $t=\dfrac{y}{x+1}$

② $t=\dfrac{y}{x-1}$

③ $t=\dfrac{y}{x}$

④ $t=\dfrac{-y}{x+1}$

⑤ $t=\dfrac{y}{1-x}$

$x$를 $t$에 관한 식으로 나타내면?

① $x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$

② $x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

③ $x=\dfrac{1+t^{2}}{2t}$

④ $x=\dfrac{1+t^{2}}{1-t^{2}}$

⑤ $x=\dfrac{2t}{1-t^{2}}$

함수 $f(x)=2x+6$, $g(x)=ax-1$에 대하여 $f\circ g = g \circ f$일 때, $a$의 값은?

① $\dfrac{1}{6}$

② $\dfrac{5}{6}$

③ $1$

④ $2$

⑤ $6$

아래 그림은 두 주기함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프이다. 다음 중 옳은 것은?

① $g(x)=\dfrac{1}{3}f(x-5)$

② $g(x)=3f(x-5)$

③ $g(x)=\dfrac{1}{3}f(x+5)$

④ $g(x)=3f(x+5)$

⑤ $g(x)=\dfrac{1}{3}f(x)$

$a = 3^{x+2}$일 때, $27^{x}$를 $a$에 관한 식으로 나타내면?

① $\dfrac{a^{3}}{3^{2}}$

② $\dfrac{a^{3}}{3^{3}}$

③ $\dfrac{a^{3}}{3^{4}}$

④ $\dfrac{a^{3}}{3^{5}}$

⑤ $\dfrac{a^{3}}{3^{6}}$

[17~19]

아래 그림은 두 함수 $y=f(x)$와 $y=x$의 그래프이다. 합성함수 $f\circ f$를 $f^{2}$, $f^{2}\circ f$를 $f^{3}$, $\cdots$, $f^{n}\circ f$를 $f^{n+1}$로 나타낼 때, 다음 물음에 답하여라.

$f^2 \left(\dfrac{1}{3}\right)$의 값은?

① $a$

② $b$

③ $c$

④ $d$

⑤ $e$

$f^{4}\left(\dfrac{1}{4}\right)$의 값은?

① $a$

② $b$

③ $c$

④ $d$

⑤ $e$

$n$이 커짐에 따라 $f^{n}\left(\dfrac{3}{2}\right)$의 값은 어떻게 변하는가?

① $n$에 관계없이 항상 $\dfrac{3}{2}$이다.

② $0$에 한없이 가까워진다

③ $1$에 한없이 가까워진다.

④ $\dfrac{3}{2}$에 한없이 가까워진다.

⑤ $2$에 한없이 가까워진다.

[20~21]

다음은 $y=\log_{10}x$의 그래프이다. 아래 물음에 답하여라.

$\log_{10}M=0.3$, $\log_{10}N=0.4$일 때, $M\cdot N$의 값은?

① $a$

② $b$

③ $c$

④ $d$

⑤ $e$

$10^{x}=a$인 $x$의 값은?

① $0.1$

② $0.2$

③ $0.3$

④ $0.4$

⑤ $0.5$

오른쪽 상용로그표를 이용하여 $(1 +0.11)^{n}\ge 2$가 되는 정수 $n$의 최소값을 구하면?

수	$0$	$1$	$\cdots$
$1.0$	$0.0000$	$0.0043$	$\cdots$
$1.1$	$0.0414$	$0.0453$	$\cdots$
$1.2$	$0.0792$	$0.0828$	$\cdots$
$1.3$	$0.1139$	$0.1173$	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$2.0$	$0.3010$	$0.3032$	$\cdots$
$2.1$	$0.3222$	$0.3243$	$\cdots$

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

한 변의 길이가 $1$인 정육각형의 두 대각선의 길이는?

① $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$

② $2$, $\sqrt{3}$

③ $2$, $\sqrt{2}$

④ $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$

⑤ $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$

둘레의 길이가 $10$cm인 부채꼴 가운데 그 넓이가 최대인 것의 반지름의 길이는 몇 cm인가?

① $2$

② $\dfrac{5}{2}$

③ $3$

④ $\dfrac{10}{3}$

⑤ $4$

변수 $x$, $y$와 $x^{\prime}$, $y^{\prime}$ 사이에 관계식 $$\begin{cases}x^{\prime}=x+2y\\y^{\prime}=3x+5y\end{cases}$$ 가 성립할 때, $x$, $y$를 $x^{\prime}$, $y^{\prime}$에 관한 식으로 나타내면?

① $\begin{cases}x=x^{\prime}+2y^{\prime}\\y=3x^{\prime}+5y^{\prime}\end{cases}$

② $\begin{cases}x=2x^{\prime}+y^{\prime}\\y=5x^{\prime}+3y^{\prime}\end{cases}$

③ $\begin{cases}x=5x^{\prime}-2y^{\prime}\\y=-3x^{\prime}+y^{\prime}\end{cases}$

④ $\begin{cases}x=-5x^{\prime}+2y^{\prime}\\y=3x^{\prime}-y^{\prime}\end{cases}$

⑤ $\begin{cases}x=-2x^{\prime}+5y^{\prime}\\y=x^{\prime}-3y^{\prime}\end{cases}$