1991-07 대학수학능력시험 제3차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제3차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1991년 7월 11일 (목)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제3차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1991.7.11(목)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

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부등식 $1 \le x^{2}+y^{2} \le 5$를 만족하는 정수의 쌍 $(x,y)$의 개수는?

① $11$

② $12$

③ $16$

④ $20$

⑤ $24$

제곱의 합이 일정한 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+2b$가 최대일 때, $a$와 $b$ 사이의 관계는?

① $b=2a$

② $a=2b$

③ $a=b$

④ $a^{2}=b$

⑤ $b^{2}=a$

$x>0$, $y>0$이며 $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}=1$인 $x$와 $y$ 사이의 관계는?

① $x+y=1$

② $x+y=2$

③ $xy=1$

④ $xy=2$

⑤ $y=\sqrt{x}$

다음 $\fbox{\phantom{AAAA}}$ 안에 들어갈 알맞은 식은? $$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=a^{2}-2ab+\cdots=\fbox{\phantom{AAAA}}$$

① $(a+b+c)^{2}$

② $(a-b-c)^{2}$

③ $(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}$

④ $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

⑤ $(a-b)^{2}-(b-c)^{2}-(c-a)^{2}$

위의 4번 식을 이용하여 증명할 수 있는 부등식은? (단, $a$, $b$, $c$는 실수이다.)

① $|a+b+c|\le|a|+|b|+|c|$

② $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\le|a|+|b|+|c|$

③ $|a+b+c|\le\sqrt{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

④ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\le(a+b+c)^{2}$

⑤ $\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{3}(a+b+c)$

$x$, $y$가 $0$보다 큰 실수일 때, $(2x+y)\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$의 최솟값은?

① $16$

② $18$

③ $19$

④ $25$

⑤ $27$

어떤 휴대용 계산기에서 근호($\sqrt{\phantom{a}}$)가 표시된 키(key)를 누르면, 계산기는 화면에 나타난 수의 양의 제곱근의 근사값을 화면에 나타낸다. 화면에 $2$가 나타나 있을 때 근호($\sqrt{\phantom{a}}$)키를 세 번 연속으로 누르면, 나타나는 수는 어떤 수의 근사값인가?

① $\sqrt{2}$

② $3\sqrt{2}$

③ $\left(\sqrt{2}\right)^{3}$

④ $\sqrt[3]{2}$

⑤ $\sqrt[8]{2}$

다음과 같은 식의 변형을 이용하여 증명할 수 있는 것은? (단, ‘$\overline{z}$’는 $z$의 켤레복소수를 나타낸다.) $$\overline{az^{3}+bz^{2}+cz+d}=\overline{az^{3}}+\overline{bz^{2}}+\overline{cz}+\overline{d}$$ $$\phantom{\overline{az^{3}+bz^{2}+cz+d}}=\overline{a}\,\overline{z^{3}}+\overline{b}\,\overline{z^{2}}+\overline{c}\,\overline{z}+\overline{d}$$ $$\phantom{\overline{az^{3}+bz^{2}+cz+d}}=\overline{a}\left(\overline{z}\right)^{3}+\overline{b}\left(\overline{z}\right)^{2}+\overline{c}\left(\overline{z}\right)+\overline{d}$$

① $z$가 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이면, $\overline{z}$는 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이다.

② $z$가 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이면, $\overline{z}$는 $\overline{a}x^{3}+\overline{b}x^{2}+\overline{c}x+\overline{d}=0$의 근이다.

③ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근과 $\overline{a}x^{3}+\overline{b}x^{2}+\overline{c}x+\overline{d}=0$의 근은 같다.

④ $\overline{z}$가 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이면, $z$는 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이다.

⑤ $\overline{z}$가 $\overline{a}x^{3}+\overline{b}x^{2}+\overline{c}x+\overline{d}=0$의 근이면, $\overline{z}$는 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 근이다.

$1$에서 $100$까지의 자연수 중에서 $3$의 배수의 개수를 $x$, $3^{2}$의 배수의 개수를 $y$라 할 때, $x+y$는? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대 정수를 나타낸다.)

① $\left[\dfrac{100}{3}\right]+\left[\dfrac{100}{3^{2}}\right]$

② $\left[\dfrac{100}{3}\right]+2\left[\dfrac{100}{3^{2}}\right]$

③ $\left[\dfrac{100}{3}\right]-\left[\dfrac{100}{3^{2}}\right]$

④ $2\left[\dfrac{100}{3}\right]+\left[\dfrac{100}{3^{2}}\right]$

⑤ $\left[\dfrac{100}{3}\right]-2\left[\dfrac{100}{3^{2}}\right]$

$1$에서 $100$까지의 자연수를 모두 곱한 수를 소인수분해하여 $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100= 2^{97}\cdot 3^{n}\cdot 5^{24}\cdots 97$$ 로 나타낼 때, $n$의 값을 구하여라.

① $40$

② $44$

③ $48$

④ $52$

⑤ $54$

$X=\left\{1,2,3,4\right\}$이고 함수 $f:X\to X$는 다음과 같이 정의한다. $$f(x)=\begin{cases}x+1&(x\le3)\\1&(x=4)\end{cases}$$ 이때, 함수 $g:X\to X$가 $g(1)=3$이고 $f\circ g=g\circ f$라면 다음 중 옳은 것은? (단, $(f\circ g)(x)=f(g(x))$)

① $g(2)=4$, $g(3)=2$

② $g(2)=4$, $g(3)=1$

③ $g(2)=1$, $g(3)=2$

④ $g(2)=1$, $g(3)=4$

⑤ $g(2)=2$, $g(3)=4$

어떤 용기에 물이 담겨 있다. 현재 이 용기에 남아 있는 물의 양은 전날 같은 시각의 물의 양의 $90\%$라고 한다. 이와 같은 추세로 물의 양이 줄어든다면, 남아 있는 물의 양이 현재의 절반 이하가 되려면 최소한 며칠이 걸리는가? (단, $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$)

① $5$

② $7$

③ $9$

④ $11$

⑤ $13$

오른쪽 그림과 같이 세 점 $A(1, 5)$, $B(-4, -7)$, $C(5, 2)$를 꼭짓점으로 하는 $\triangle ABC$에서 $\angle A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 할 때, 점 $D$의 좌표는?

① $\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$

② $\left(\dfrac{9}{4},-\dfrac{3}{4}\right)$

③ $(2,-1)$

④ $\left(\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4}\right)$

⑤ $\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{2}\right)$

좌표평면에서 중심의 좌표가 $(1,4)$이고 직선 $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}$에 접하는 원의 반지름의 길이는?

① $3$

② $\sqrt{5}$

③ $\sqrt{15}$

④ $\sqrt{17}$

⑤ $5$

그림과 같이 좌표평면 위에 있는 단위원을 $10$등분하여 각 분점을 차례로 $P_{1}$, $P_{2}$, $\cdots$, $P_{10}$이라 하자. $\angle P_{1}OP_{2}=\theta$라 할 때, $$\cos\theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta + \cdots +\cos 10\theta$$ 의 값을 구하여라. (단, $P_{1}(1, 0)$)

① $-2$

② $-1$

③ $0$

④ $1$

⑤ $2$

위의 15번과 같은 방법으로 단위원을 $100$등분하여 각 분점을 차례로 $P_{1}$, $P_{2}$, $\cdots$, $P_{100}$이라 하자. $\angle P_{1}OP_{2}=\alpha$라 할 때, $$\cos\alpha +\cos 2\alpha +\cos 3\alpha + \cdots +\cos 99\alpha$$ 의 값을 구하여라. (단, $P_{1}(1, 0)$)

① $-2$

② $-1$

③ $0$

④ $1$

⑤ $2$

오른쪽 그림과 같은 $\triangle SPR$에서 $\overline{PQ} =1$, $\overline{QR} =2$, $\overline{SP} =a$, $\overline{SQ} =b$, $\overline{SR} =c$일 때, $a$, $b$, $c$ 사이의 관계는?

① $1+a^{2}=2(b^{2}+c^{2})$

② $1+a^{2}=3(b^{2}+c^{2})$

③ $1+a^{2}=4b^{2}-3c^{2}$

④ $1+b^{2}=a^{2}+c^{2}$

⑤ $3(2+b^{2})=2a^{2}+c^{2}$

위 17번의 결과를 이용하여 어떤 산의 높이를 구하려 한다. 일직선 상에 있는 해면 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에서 산의 꼭대기를 올려다 본 각의 크기 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$를 각각 재었을 때, $\overline{PQ} =1$km, $\overline{QR} =2$km이고, $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}$, $\tan\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan \gamma =1$이면 이 산의 높이 $\overline{ST}$는 몇 km인가?

① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

② $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

③ $1$

④ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

⑤ $\sqrt{2}$

[19~21]

다음은 두 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$, $g(x)=x$의 그래프이다. (단, $x>0$)

두 함수 $f(x)$, $g(x)$의 그래프가 만나는 점 $A$의 $x$좌표는?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

③ $1$

④ $\sqrt{2}$

⑤ $2$

$x_{1}=10$, $x_{2}=f(x_{1})$, $\cdots$, $x_{n+1}=f(x_{n})$이라 할 때, $n$이 커짐에 따른 $x_{n}$의 변화 상태는?

① $\sqrt{10}$에 가까워진다.

② $10$에 가까워진다.

③ $\sqrt{2}$에 가까워진다.

④ $2$에 가까워진다.

⑤ 한없이 커진다.

$x_{1}=\dfrac{1}{3}$, $x_{2}=f(x_{1})$, $\cdots$, $x_{n+1}=f(x_{n})$이라 할 때, $n$이 커짐에 따른 $x_{n}$의 변화 상태는?

① $\sqrt{2}$에 가까워진다.

② $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$에 가까워진다.

③ $\sqrt{3}$에 가까워진다.

④ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$에 가까워진다.

⑤ $1$에 가까워진다.

방정식 $\sin\pi x=\dfrac{3}{10}x$의 근의 개수는?

① $1$

② $3$

③ $5$

④ $7$

⑤ 무수히 많다.

두 개의 3차 정사각행렬 $A$, $X$가 $$X^{2}-AX-XA+A^{2}=O$$ 을 만족할 때 다음 [보기] 중 옳은 것만을 묶어 놓은 것은? (단, $O$는 3차 영행렬이다.)

보기

Ⅰ. $X^{2}-2AX+A^{2}=O$
Ⅱ. $(X-A)^{2}=O$
Ⅲ. $X=A$

① Ⅰ

② Ⅱ

③ Ⅲ

④ Ⅱ, Ⅲ

⑤ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ

[24~25]

두 행렬 $$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix},\,\,A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$ 에 대하여 다음 물음에 답하여라.

다음 중 $EA$와 같은 행렬은?

① $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\-a_{21}&-a_{22}&-a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&-a_{33}\end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+a_{31}&a_{22}+a_{32}&a_{23}+a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}-a_{21}&a_{32}-a_{22}&a_{33}-a_{23}\end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}-a_{31}&a_{22}-a_{32}&a_{23}-a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

행렬 $A$에 어떤 기본변형을 하면 $EA$와 같아지겠는가?

① 행렬 $A$의 제$2$행을 $-1$배한다.

② 행렬 $A$의 제$3$행을 $-1$배한다.

③ 행렬 $A$의 제$3$행을 제$2$행에 더한다.

④ 행렬 $A$의 제$2$행을 $-1$배하여 제$3$행에 더한다.

⑤ 행렬 $A$의 제$3$행을 $-1$배하여 제$2$행에 더한다.