1992-05 대학수학능력시험 제5차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제5차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1992년 5월 27일 (수)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제5차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1992.5.27(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

다음 중 가장 큰 수는?

① $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

② $\sqrt{\pi}$

③ $\dfrac{1}{5}\log_{2}32$

④ 한 변이 $2$인 정사각형의 대각선의 길이

⑤ $x^{2}-x+2$의 최솟값 (단, $x$는 실수)

$\sqrt{-x^{2}(x^{2}-1)^{2}}$이 실수가 되는 서로 다른 실수 $x$의 개수는?

① $0$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ 무수히 많다.

대관령 정상에서 동해 바다를 바라보았을 때 수평선까지의 거리는? (단, 지구는 반지름이 6400km인 구이고, 대관령 정상은 해발 800m로 한다.)

① 약 $10$km

② 약 $50$km

③ 약 $100$km

④ 약 $150$km

⑤ 약 $200$km

그래프가 오른쪽 그림과 같은 함수 $y=f(x)$를 나타내는 식은?

① $|x-1|-|y|=1$

② $|x+1|-y=1$

③ $|x-1|+|y|=1$

④ $|x+1|+y=1$

⑤ $|x+1|+|y|=1$

한 쪽 면에는 숫자, 다른 쪽 면에는 영어문자가 쓰여있는 카드가 있다. ‘카드의 한 쪽 면에 홀수가 쓰여 있으면 다른 쪽 면에는 자음이 쓰여 있다.’고 한다. 한 면에 ②, ⑦, ⓚ, ⓤ가 각각 쓰여 있는 카드를 차례로 보여줄 때, 위의 규칙에 맞는 카드인지 알기 위해 다른 쪽 면에 무엇이 쓰여 있는지 확인할 필요가 있는 카드는 어느 것인가?

① ⑦, ⓤ

② ⑦, ⓚ

③ ②, ⓤ

④ ②, ⓚ

⑤ ②, ⑦, ⓚ, ⓤ

$A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}a&1\\1&b\end{pmatrix}$이고 $B^{-1}AB=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$일 때, $a+b$의 값은? (단, $B^{-1}$는 $B$의 역행렬)

① $3$

② $2$

③ $1$

④ $0$

⑤ $-1$

넓이가 $S$인 평행사변형이 있다. 서로 다른 세 변 위에 꼭지점을 둔 임의의 삼각형의 넓이를 $T$라 하면 $\dfrac{T}{S}<\fbox{\phantom{M}}$이다. $\fbox{\phantom{M}}$ 안에 알맞은 최소의 수는?

① $\dfrac{8}{20}$

② $\dfrac{9}{20}$

③ $\dfrac{10}{20}$

④ $\dfrac{11}{20}$

⑤ $\dfrac{12}{20}$

오른쪽 그림과 같이 서로 평행이고 거리가 $1$인 두 직선 위에 간격이 $1$이 되게 점들이 놓여 있다. 주어진 점을 꼭지점으로 하는 삼각형 또는 사각형 위에 주어진 점이 $n$개 놓여 있을 때 그 다각형의 넓이를 $S_{n}$이라고 하자. 다음 중 바르게 나타낸 것은? (단, $n$은 $3$ 이상인 자연수이다.)

① $S_{n+1}=S_{n}-\dfrac{3}{2}$

② $S_{n+1}=S_{n}+1$

③ $S_{n+1}=S_{n}-\dfrac{1}{2}$

④ $S_{n+1}=S_{n}+\dfrac{1}{2}$

⑤ $S_{n+1}=S_{n}+\dfrac{3}{2}$

한 변의 길이가 $1$인 정$n$각형에 외접하는 원과 내접하는 원 사이의 넓이는? (단, $n$은 $3$ 이상인 자연수이다.)

① $\dfrac{\pi}{n+1}$

② $\dfrac{\pi}{n}$

③ $\dfrac{\pi}{5}$

④ $\dfrac{\pi}{4}$

⑤ $\dfrac{\pi}{3}$

다음은 $\sqrt{2}$가 무리수임을 증명한 것이다.

증명

$\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하면 $\fbox{(가)}$인 자연수 $m$, $n$에 대하여 $\sqrt{2}= \dfrac{n}{m}$ 꼴로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하여 정리하면 $2=\dfrac{n^{2}}{m^{2}}$이므로 $n^{2}=2m^{2}$이다.
따라서 $\fbox{(나)}$은 2의 배수이다.
$\fbox{(나)}=2k$라 놓으면 $n^{2}=2m^{2}$에서 $\fbox{(다)}^{2} =2k^{2}$이 된다.
따라서 $\fbox{(다)}$도 2의 배수이다.
이는 $m$, $n$이 $\fbox{(가)}$라는 가정에 모순된다.
그러므로 $\sqrt{2}$는 유리수가 될 수 없고, 무리수이다.

위의 증명과정에서 $\fbox{(가)}$, $\fbox{(나)}$, $\fbox{(다)}$에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① 홀수, $m$, $n$

② 서로소, $m$, $n$

③ $m\ne n$, $m$, $n$

④ 홀수, $n$, $m$

⑤ 서로소, $n$, $m$

$1$과 $-1$ 중의 한 수를 임의로 택하는 과정을 $27$번 반복하여 얻어진 수들을 모두 더했을 때 그 결과에 대한 다음 설명 중 옳은 것은? (단, 아래에서 $k$는 정수이다.)

① $2k$꼴 이어야 한다.

② $2k+1$꼴 이어야 한다.

③ $3k$꼴 이어야 한다.

④ $3k\pm 1$꼴 이어야 한다.

⑤ $-27$부터 $27$까지의 어떤 정수라도 얻을 수 있다.

$f(x)$는 $x$에 관한 $3$차 다항식이고, $f(x)+1$은 $x^{2}-3x+2$로 나누어 떨어지고, $f(x)-1$은 $x^{2}+3x+2$로 나누어 떨어진다. $f(x)=0$의 세 근을 모두 더하면?

① $0$

② $1$

③ $-1$

④ $4$

⑤ $-4$

오른쪽 그림과 같은 사다리꼴 영역 안에 넣을 수 있는 직사각형의 최대 넓이는?

① $300$

② $310$

③ $320$

④ $330$

⑤ $340$

각 자연수 $n$에 대하여 $x$에 관한 이차방정식 $x^{2}+2nx+1=0$의 두 근을 $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$이라 놓을 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{5}\left({\alpha_{n}}^{2}+{\beta_{n}}^{2}\right)$의 값은?

① $170$

② $180$

③ $190$

④ $200$

⑤ $210$

단위원에 외접하는 사다리꼴에서 평행인 두 변의 길이를 $x$, $y$라 할 때, 다음 [보기]에 있는 명제들 중 참인 것을 모두 고르면?

보기

가. $x+y\ge 4$이다.
나. $x+y= 4$이면 사다리꼴은 정사각형이다.
다. $xy\ge 4$이다.
라. $xy=4$이면 사다리꼴은 정사각형이다.

① 가, 나

② 다, 라

③ 가, 다

④ 가, 나, 다

⑤ 가, 나, 다, 라

한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $ABC$ 모양의 종이가 있다. 이때 각 변의 중점을 이어서 만든 정삼각형 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 모양을 오려내고, 또 다시 나머지 세 개의 정삼각형 모양의 종이에서도 같은 방법으로 각각의 한가운데 정삼각형 모양을 오려낸다. 이와 같은 방법을 처음부터 $10$회 반복 시행한 후 남아 있는 종이의 넓이는?

① $\sqrt{3}$

② $\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{10}$

③ $\sqrt{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}$

④ $\sqrt{3}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10}$

⑤ $\sqrt{3}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{10}$

오른쪽 그림과 같이 A, B 두 지점을 왕복 운항하는 비행기가 있다. 일정한 속력의 북서풍이 불고 있을 때, 비행기가 A를 출발하여 B를 거쳐서 다시 A로 돌아왔다고 한다. 이때 이 비행기의 실제 운항 평균속력을 구하기 위하여 반드시 필요한 자료를 모두 고르면? (단, 공기 저항은 무시하기로 한다.)

가. A, B 사이의 거리
나. 비행기 자체의 속력
다. 바람의 속력

① 가, 나

② 나, 다

③ 가, 다

④ 가, 나, 다

⑤ 나

그림과 같이 포물선 모양인 강이 포물선의 초점 위치에 있는 마을 P와 또 다른 마을 Q를 돌아 흐르고 있다. 강변의 한 곳에 하수처리장을 건설하려 하는데 하수처리장으로부터 두 마을까지의 직선거리의 합이 최소가 되도록 하려면 A, B, C, D, E 중 어느 곳이 좋을까?

① A

② B

③ C

④ D

⑤ E

1000만원의 목돈을 마련하기 위해 월 불입금 10만원, 월 이율 1%, 매달 복리로 계산하는 적금에 가입하려고 한다. 최소한 몇 번의 불입금을 내야 만기일에 원리합계가 1000만원 이상이 되는가? (단, 적금의 만기일은 마지막 불입금을 낸 때로부터 한 달 후이다.)
상용로그표

수	$0$	$1$	$2$
$1.0$	$.0000$	$.0043$	$.0086$
$1.1$	$.0414$	$.0453$	$.0492$
$1.2$	$.0792$	$.0828$	$.0864$
$1.3$	$.1139$	$.1173$	$.1206$
$1.4$	$.1461$	$.1492$	$.1523$
$1.5$	$.1761$	$.1790$	$.1818$
$1.6$	$.2041$	$.2068$	$.2095$
$1.7$	$.2304$	$.2330$	$.2355$
$1.8$	$.2553$	$.2577$	$.2601$
$1.9$	$.2788$	$.2810$	$.2833$
$2.0$	$.3010$	$.3022$	$.3054$
$2.1$	$.3222$	$.3243$	$.3263$
$2.2$	$.3424$	$.3444$	$.3464$
$2.3$	$.3617$	$.3636$	$.3655$
$2.4$	$.3802$	$.3820$	$.3838$
$2.5$	$.3979$	$.3997$	$.4014$

① $70$

② $80$

③ $87$

④ $93$

⑤ $100$

아래 그림과 같이 $A$지점에서 $P$지점까지의 직선거리를 구하려 한다. $P$지점에 높이 $210$m인 철탑 $PQ$가 있고 $\overline{AB}=2$km, $\angle ABP=45\degree$, $\angle QBP=4\degree$이다. 이때, $A$지점에서 $P$지점까지의 거리는 약 몇 km인가? (단, $\sin 4\degree=0.070$, $\cos 4\degree=0.998$, $\tan 4\degree=0.070$이다.)

① $1.8$

② $2.1$

③ $2.4$

④ $2.7$

⑤ $3.0$

다음에 예시된 [예시-1]~[예시-10]문항들은 '94학년도 대학수학능력시험의 출제 범위에 맞추어 출제한 문항들입니다.
'94학년도 대학입시에 대비하여 참고 자료로 제시한 것이므로 풀지 않아도 됩니다.

[예시-1]

정적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}(x^{2}+1)^{2}dx$의 값은?

① $\dfrac{27}{15}$

② $\dfrac{28}{15}$

③ $\dfrac{29}{15}$

④ $\dfrac{30}{15}$

⑤ $\dfrac{31}{15}$

[예시-2]

극한 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_{1}^{1+h}(t^{3}+t^{2}+t+1)dt$의 값은?

① $0$

② $2$

③ $4$

④ $6$

⑤ 무한대로 발산한다.

[예시-3]

곡선 $y=x^{4}-2x^{3}+x^{2}$과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① $\dfrac{1}{15}$

② $\dfrac{1}{20}$

③ $\dfrac{1}{25}$

④ $\dfrac{1}{30}$

⑤ $\dfrac{1}{35}$

[예시-4]

오른쪽 표는 어느 학교 학생 전체의 학생별 학기말 평균성적을 1점 만점으로 환산했을 때 각 점수대별 학생수를 조사하여 정리한 도수분포표이다. 이 학교 학생 한 사람의 학기말 평균 성적을 확률변수 $X$라 할 때, $X$의 확률밀도함수의 그래프로 적당한 것은?

계급	도수
$0^{이상}\sim 0.1^{미만}$	$126$명
$0.1^{이상}\sim 0.2^{미만}$	$94$명
$0.2^{이상}\sim 0.3^{미만}$	$78$명
$0.3^{이상}\sim 0.4^{미만}$	$72$명
$0.4^{이상}\sim 0.5^{미만}$	$79$명
$0.5^{이상}\sim 0.6^{미만}$	$91$명
$0.6^{이상}\sim 0.7^{미만}$	$134$명
$0.7^{이상}\sim 0.8^{미만}$	$145$명
$0.8^{이상}\sim 0.9^{미만}$	$167$명
$0.9^{이상}\sim 1.0^{미만}$	$234$명
합계	$1220$명

[예시-5]

세 사람이 차례대로 주사위를 던져 $6$의 눈이 먼저 나오면 이기는 놀이가 있다. 이런 놀이에서 제일 처음 던지는 사람이 이길 확률은? (단, 주사위를 던졌을 때 각 눈이 나올 확률은 동일하다고 본다.)

① $\dfrac{34}{91}$

② $\dfrac{35}{91}$

③ $\dfrac{36}{91}$

④ $\dfrac{37}{91}$

⑤ $\dfrac{38}{91}$

[예시-6]

평균이 $\mu$이고 표준편차가 $5$인 정규분포를 따르는 모집단에서 얻은 크기 $100$인 임의 표본의 평균이 $68.2$이다. 공식 $\overline{x}\pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 부터, 이 모집단의 평균 $\mu$에 관한 $95$% 신뢰구간은 $(67.22,69.18)$임을 알 수 있다. 우리 동네에 새로 이사온 집에 두 명의 아이가 있는데 하나는 남자아이라고 한다. 다른 아이가 남자인지 여자인지를 [보기1] 중에서 택하고 그 택한 답의 신뢰도를 [보기2] 중에서 택하되, 앞의 신뢰구간 및 신뢰도와 논리적 일관성이 가장 높은 것들을 택하면? (단, 남녀의 출생확률은 항상 $\dfrac{1}{2}$로 본다.)

보기1

가. 남자 아이일 것이다.
나. 여자 아이일 것이다.

보기2

ㄱ. $25$%
ㄴ. $33.3$%
ㄷ. $50$%
ㄹ. $66.7$%
ㅁ. $75$%

① 가, ㄱ

② 가, ㄷ

③ 나, ㄴ

④ 나, ㄹ

⑤ 나, ㅁ

[예시-7]

방정식 $x+y+z=7$을 만족하는 음이 아닌 세 정수 $x$, $y$, $z$를 순서대로 나열한 세 수의 순서쌍 $(x,y,z)$의 개수는?

① $34$

② $35$

③ $36$

④ $37$

⑤ $38$

[예시-8]

수증기가 응결하여 빗방울이 형성될 때, 시간에 대한 빗방울 부피의 순간변화율은 겉넓이에 비례한다고 한다. 빗방울을 완전한 구라고 생각할 때, 시간에 대한 겉넓이의 순간변화율은?

① 반지름 길이의 제곱근에 비례한다.

② 반지름 길이의 제곱에 비례한다.

③ 반지름 길이의 세제곱에 비례한다.

④ 반지름 길이에 비례한다.

⑤ 반지름 길이에 관계없이 일정하다.

[예시-9]

미분가능한 함수 $y=f(x)$의 도함수 $y=f^{\prime}(x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 주어져 있다. 다음 중 $y=f(x)$의 그래프로 알맞은 것은?

[예시-10]

아래 그림과 같이 수평으로 놓인 반구 모양의 용기에 기름이 가득 들어있다. 어느 날 기름이 새고 있는 것이 발견되어 확인해 보니 그림과 같이 A 위치에 작은 구멍이 하나 있었다. 기름은 적어도 전체의 몇 분의 몇이 남아 있겠는가? (단, 구멍의 크기는 무시하기로 한다.)

① $\dfrac{11}{16}$

② $\dfrac{13}{16}$

③ $\dfrac{12}{17}$

④ $\dfrac{13}{18}$

⑤ $\dfrac{11}{18}$