1992-08 대학수학능력시험 제6차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제6차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1992년 8월 31일 (월)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제6차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1992.8.31(월)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$x=1992$, $y=4325$일 때, $\dfrac{x+yi}{y-xi}+\dfrac{y-xi}{x+yi}$의 값은? (단, $i =\sqrt{-1}$)

① $0$

② $1$

③ $-1$

④ $i$

⑤ $-i$

다항식 $x^{49} +x^{25}+x^{9}+x$를 $x^{3}-x$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 하면, $R(2)$는?

① $8$

② $10$

③ $14$

④ $16$

⑤ $20$

각 자리의 수의 합이 $9$의 배수인 $10$ 이상의 자연수 $n$은 $9$의 배수임을 다음과 같이 보이려고 한다.

주어진 자연수 $n$의 일의 자리의 수를 $B$라 하면
적당한 자연수 $A$에 대하여 $n=10A+B$라 쓸 수 있다._㉠
$10A+B=9A+(A+B)$_㉡이므로 가정으로부터
$A+B$는 $9$의 배수_㉢이고, $9A$도 $9$의 배수_㉣이므로
$n$은 $9$의 배수이다.

위 과정에서 밑줄 친 부분 중 옳지 않은 것은?

① ㉠

② ㉡

③ ㉢

④ ㉣

⑤ 없다.

임의의 실수 $x$에 대하여 $$P(x^{2} +1) = \left\{ P(x) \right\}^{2} +1, P ( 0) =0$$ 을 만족하는 2차 이하의 다항식 $P(x)$의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 없다.

⑤ 무수히 많다.

유리수 전체의 집합을 $Q$라 하고 자연수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$을 $$A_{n} =\left\{x \in Q \left|\, x-[x]=\dfrac{1}{n}\right.\right\}$$ 과 같이 정하면, 다음 중에서 참인 것은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대 정수를 나타낸다.)

① $-\dfrac{4}{3}\in A_{3}$

② $A_{2}\subset A_{4}$

③ $A_{4}\subset A_{2}$

④ $A_{2}\cap A_{3} =\phi$

⑤ $A_{5}=\left\{\dfrac{1}{5}, \dfrac{6}{5}, \dfrac{11}{5}, \cdots,\dfrac{51}{5}\right\}$

구간 $[0, 1]$을 $10$등분하여 앞에서부터 여섯 번째 구간을 버린다. 두 번째 시행에서도 남은 $9$개의 구간을 구간별로 각각 $10$둥분하여 여섯 번째 구간들을 버린다. 이와 같은 시행을 계속 반복할 때, 다음 중 세 번째 시행에서 버려진 구간에 있는 숫자는?

① $0.45237$

② $0.52421$

③ $0.77533$

④ $0.89154$

⑤ $0.99175$

반지름이 각각 $10$, $20$인 두 개의 원이 있다. 큰 원이 작은 원의 원둘레를 이등분하도록 교차할 때, 두 교점 간의 거리는?

① $20$

② $25$

③ $10\sqrt{3}$

④ $20\sqrt{3}$

⑤ $25\sqrt{3}$

넓이가 $4$이고 $B=30\degree$인 $\triangle ABC$ 중에서 $\overline{AC}$가 최소일 때, $\overline{AB} + \overline{BC}$의 값은?

① $5$

② $6$

③ $7$

④ $8$

⑤ $9$

좌표평면 위의 점 $(x, y)$에서의 높이가 $x^{2}+y^{2}-x$인 입체가 있다. 좌표평면 위의 집합 $\left\{(x,y)\,|\,x^{2}+y^{2}-x=n\right\}$을 이 입체에 대한 높이 $n$에서의 등고선이라 하자. 이때, 높이 $0$, $1$, $2$, $3$에서의 등고선을 나타낸 것은?

좌표평면 위의 두 영역 $$A=\left\{(x,y)\,|\,|x|\le 2\text{, }|y|\le 2\right\},  B=\left\{(x,y)\,|\,0\le y\le 1-|x|\right\}$$ 에 대하여 영역 $$\left\{(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\,|\,(a_{1}, a_{2})\in A\text{, }(b_{1}, b_{2})\in B\right\}$$ 가 나타내는 도형의 모양은?

그림과 같이 $4$, $6$, $20$, $x$, $y$가 오각형의 인접한 변의 길이가 되도록 $x$, $y$가 변할 때, $x^{2}+y^{2}$의 최소 정수 값은? (단, 각 꼭지점의 내각의 크기는 $180\degree$보다 작다.)

① $45$

② $48$

③ $51$

④ $54$

⑤ $57$

자연수 $n$에 대하여 $a_{n}$은 $n!$을 $100$으로 나눈 나머지이다. 이때, $\displaystyle\sum_{n=9}^{12}a_{n}$의 값은?

① $60$

② $65$

③ $70$

④ $75$

⑤ $80$

그릇 A에는 농도 $p$%의 소금물 300g, 그릇 B에는 농도 $q$%의 소금물 300g이 있다. 동시에 100g씩 퍼내어 서로 교환해 섞는 시행을 $n$회 반복한 후, 그릇 A의 소금물의 농도를 $a_{n}$, 그릇 B의 소금물의 농도를 $b_{n}$이라 하면 $$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\,\, (단,\,\,n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$$ 이다. 이때, 행렬 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$는?

① $\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\rule{0pt}{3.5ex}\end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\rule{0pt}{3.5ex}\end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&2\\2&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$

곡선 $y=x^{2}$ 위의 점 $P(x, y)$에 대하여 $A(x)$를 세 점 $O(0, 0)$, $P(x,y)$, $Q(1,0)$을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이라 하고, $B(x)$를 세 점 $O(0, 0)$, $P(x,y)$, $R(0,1)$을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이라 하자. 이때, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{A(x)}{B(x)}$의 값은?

① $0$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

④ $1$

⑤ $2$

오른쪽 그림은 $-1<x<6$에서 정의된 함수 $y=f(x)$의 그래프를 나타낸 것이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

① $f^{\prime}(2)$는 양수이다.

② $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)$가 존재한다.

③ $f(x)$의 불연속인 점은 $2$개이다.

④ $f(x)$의 미분가능하지 않은 점은 $3$개이다.

⑤ $f^{\prime}(x)=0$인 점은 $2$개이다.

곡선 $y=x^{3}$ 위의 점 $(a, a^{3})$에서의 접선과 $y$축과의 교점을 $(0,g(a))$라 할 때, $\displaystyle\lim_{a\to \infty}\dfrac{g(a)-g\left(\sqrt{a^{2}+a}\right)}{a^{2}}$의 값은? (단, $a>0$)

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

어떤 주사액을 환자에게 $m$만큼 투여했을 때 환자의 혈압 $P$는 $$P=m^{2}\left(\dfrac{c}{2}-\dfrac{m}{3}\right)$$ 으로 주어진다고 하자. 이 주사액을 투여하기 시작하여 환자의 혈압이 떨어지는 순간부터 투여를 중단한다. 투여량에 대한 혈압의 변화율이 가장 클 때의 주사액의 투여량은? (단, $c$는 양의 상수)

① $\dfrac{c}{3}$

② $\dfrac{c}{2}$

③ $\dfrac{2c}{3}$

④ $\dfrac{3c}{4}$

⑤ $c$

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$ 내부의 점 $P$를 임의로 택할 때, $\triangle ABP$가 예각삼각형이 될 확률은?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{2}{3}$

③ $\dfrac{\pi}{10}$

④ $1-\dfrac{\pi}{10}$

⑤ $1-\dfrac{\pi}{8}$

한 개부터 여섯 개까지의 점이 찍혀 있으나 각 면이 나타날 확률이 모두 다른 주사위가 있다. 이 주사위를 한 번 던질 때 나타나는 눈의 수를 $X$라 하자. $X$의 기댓값을 구해 보니 $E(X)=3.5$이었다. 다음 설명 중 가장 옳은 것은?

① 이 주사위는 $X$의 값이 $3$ 또는 $4$일 확률이 가장 크다.

② 이 주사위를 매우 많이 던질 때 나오는 $X$의 값들 전체의 평균이 약 $3.5$이다.

③ 이 주사위를 매우 많이 던질 때 $X$의 값은 $3.5$ 근처의 값이 가장 많을 것이다.

④ 이 주사위를 던질 때 나타날 것으로 예측되는 $X$의 값은 $3.5$이다.

⑤ 이 주사위를 매우 많이 던질 때 $X$ 값들의 확률분포는 정규분포를 이룬다.

다음 그림은 어느 도시의 주요 도로망과 소매상점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 위치를 나타낸 것이다. 이들 상점에 물을 공급할 도매상점을 가, 나, 다, 라, 마 중의 한 곳에 정하려 한다. 각 소매상점에서 도매상점까지 도로를 따라 다녀오는 왕복거리를 각각 $|A|$, $|B|$, $|C|$, $|D|$, $|E|$라 할 때, $|A|+|B|+|C|+|D|+|E|$가 최소가 되는 도매상점의 위치는? (단, 모든 도로는 수직으로 교차한다.)

① 가

② 나

③ 다

④ 라

⑤ 마