2002-06 2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)

2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 2002년 6월 12일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3+ \sqrt{8}}} + \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3- \sqrt{8}}}$를 간단히 하면?

① $1$

② $\sqrt{2}$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $4$

⑤ $2+ \sqrt{2}$

집합 $X$의 모든 원소의 합을 $S(X)$로 나타내기로 하자. 이 때, 집합 $A= \left\{1, 2, 3, 4, 15 \right\}$에 대하여 $S(X) \ge 15$, $A \cap X=X$를 만족하는 집합 $X$의 개수는?

① $2$

② $4$

③ 8

④ 16

⑤ 32

$6^{\log x} =8 \times 3^{3}$을 만족하는 양수 $x$의 값은? (단, $\log x$의 밑은 10이다.)

① $6^{3}$

② $10^{2}$

③ $10^{3}$

④ $12^{2}$

⑤ $12^{3}$

$\theta =15\degree$일 때 $\cos^{2} \theta +\cos^{2} (5 \theta)$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{3}{4}$

④ $1$

⑤ $\dfrac{3}{2}$

그림과 같이 $\overline{AB} =2$, $\overline{BC} =3$, $\overline{CA} =4$인 $\triangle ABC$에서 $\dfrac{\sin B}{\sin A}$의 값은?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{2}{3}$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{3}{4}$

⑤ $\dfrac{4}{3}$

아래에서 $\fbox{\phantom{AA}}$ 안에 알맞은 식은? $$(1+ab)^{2} +(1+c d)^{2} +(a c)^{2} +(b d)^{2}=1+(1+ab+c d)^{2} +\left(\fbox{\phantom{AA}}\right)^{2}$$

① $ab-cd$

② $a c-b d$

③ $a d-b c$

④ $a c+b d$

⑤ $a d+b c$

[보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $(x-1)^{2} =0$은 $x^{2} -1=0$이기 위한 필요조건이다.
ㄴ. 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a > 0$이고 $| a | > | b |$인 것은 $a > b$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A-(A \cap B)= \phi $은 $A \subset B$이기 위한 필요충분조건이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

점 $P (a, b)$가 원 $x^{2} +y^{2} =8$ 위를 움직일 때, 직선 $ax+by=8$이 지나지 않는 영역의 넓이는?

① $2 \pi $

② $4 \pi $

③ $8 \pi $

④ $16 \pi $

⑤ $64 \pi $

함수 $f (x)$의 역함수 $f^{-1} (x)$가 존재하고 $$f^{-1} (3)=5,\,\,\,\,f (f (x)) = x$$ 일 때, $f (3)$의 값은?

① $-5$

② $-3$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $3$

⑤ $5$

이차방정식 $x^{2} -5x+p=0$의 두 근은 $3$, $\alpha $이고, $x^{2} -px+q=0$의 두 근은 $\alpha$, $\beta $이다. 이 때, $\beta $의 값은? (단, $p$, $q$는 상수)

① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

이차 정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, $O$는 영행렬, $E$는 단위행렬)

보기

ㄱ. $(A-E)^{2} =O$이면 $A=E$이다.
ㄴ. $A+B=E$이면 $AB=BA$이다.
ㄷ. $A^{2} =2A$이면 $A-E$의 역행렬은 $A-E$이다.

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차방정식 $x^{2} -3x +1 = 0$의 두 근 $\alpha$, $\beta $에 대하여 $$\left(1- \dfrac{1}{\alpha} \right) \left(1- \dfrac{1}{\beta} \right) + \left(1- \dfrac{2}{\alpha} \right) \left(1- \dfrac{2}{\beta} \right) +\cdots + \left(1- \dfrac{10}{\alpha} \right) \left(1- \dfrac{10}{\beta} \right)$$ 의 값은?

① $230$

② $240$

③ $250$

④ $260$

⑤ $270$

$x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{pmatrix} -a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y \\x+3y \end{pmatrix}$가 $x=y=0$ 이외의 해를 갖도록 하는 실수 $a$, $b$에 대하여 점 $(a, b)$가 그리는 도형의 모양은?

다음은 어떤 신문에 보도된 흡연에 대한 기사의 일부를 인용한 것이다.

세계보건기구의 발표에 의하면 전 세계에서 흡연으로 인해 8초당 1명씩 사망하고 매년 전 세계적으로 400만 명이 사망한다고 한다. 또, 흡연자의 사망 위험은 비흡연자의 약 22배에 이르며, 흡연자의 수명은 담배 한 개비 당 11분 정도 단축된다고 한다.

이 기사에 의하면 어떤 사람이 10년 간 매일 담배 10개비씩 피웠을 때, 수명이 얼마나 단축된다고 예상할 수 있는가?

① 약 150일

② 약 180일

③ 약 220일

④ 약 250일

⑤ 약 280일

그림과 같이 반지름의 길이가 같은 세 원 $A$, $B$, $C$가 한 점 $O$에서 만나고 있다. 원 $A$와 $B$, $B$와 $C$, $C$와 $A$의 교점 중 점 $O$가 아닌 점을 각각 $P$, $Q$, $R$라 하자. [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\overline{PB} // \overline{RC}$
ㄴ. 사각형 $ABQR$는 평행사변형이다.
ㄷ. 삼각형 $ABC$와 삼각형 $QRP$는 합동이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 중 오른쪽 순서도에서 인쇄되는 $S$의 값과 같은 것은?

① $\displaystyle\sum_{k=1}^{49} 2k$

② $\displaystyle\sum_{k=1}^{50} 2k$

③ $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} 2k$

④ $\displaystyle\sum_{k=1}^{99} (k+2)$

⑤ $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} (k+2)$

다음은 $$a_{1} =1,\,\,\,\,a_{n+1} = \dfrac{4-a_{n}}{3-a_{n}}\,\,(n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$$ 인 수열 $\left\{a_{n} \right\}$의 일반항이 $a_{n} = \dfrac{2n-1}{n}$임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) $n=1$일 때 $a_{1} =1= \dfrac{2\cdot 1-1}{1}$이므로 성립한다.
ⅱ) $n=k$일 때 $a_{k} =\fbox{　 ㈎ 　}$라 가정하면
$a_{k+1} = \dfrac{4-a_{k}}{3-a_{k}} = \dfrac{2k+1}{k+1} = \dfrac{2\cdot (k+1)-1}{k+1}$
따라서 $n=\fbox{　 ㈏ 　}$일 때에도 성립한다.
ⅰ), ⅱ)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} = \dfrac{2n-1}{n}$이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $\dfrac{2k-1}{k}$, $k$

② $\dfrac{2k-1}{k}$, $k+1$

③ $\dfrac{2k-1}{k}$, $k+2$

④ $\dfrac{2k+1}{k}$, $k$

⑤ $\dfrac{2k+1}{k}$, $k+1$

다음은 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$일 때, $\sin \theta \cos \theta$, $\sin \theta +\cos \theta$, $1$을 세 변의 길이로 하는 삼각형이 존재함을 증명한 것이다.

증명

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이므로 $0 < \sin \theta < 1$, $0 < \cos \theta < 1$
$\therefore$ $0 < \sin \theta \cos \theta < 1$ $\cdots$ ㉠
또, $\sin \theta \fbox{　㈎　}\sin^{2} \theta $, $\cos \theta \fbox{　㈎　}\cos^{2} \theta $이므로
$\sin \theta +\cos \theta \fbox{　㈎　}\sin^{2} \theta +\cos^{2} \theta =1$ $\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 세 수 $\sin \theta \cos \theta$, $\sin \theta +\cos \theta$, $1$ 중 $\fbox{　 ㈏ 　}$가(이) 가장 크다.
이 때, $\fbox{　 ㈐ 　}+1-\left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)=(\sin \theta -1)(\cos \theta -1) > 0$
$\therefore$ $\fbox{　 ㈐ 　}+1 >\fbox{　 ㈏ 　}$
따라서 주어진 수를 세 변의 길이로 하는 삼각형이 존재한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $>$, $\sin \theta +\cos \theta $, $\sin \theta +\cos \theta $

② $<$, $\sin \theta \cos \theta $, $\sin \theta +\cos \theta $

③ $>$, $\sin \theta +\cos \theta $, $\sin \theta \cos \theta $

④ $<$, $1$, $\sin \theta \cos \theta $

⑤ $=$, $\sin \theta \cos \theta $, $1$

오른쪽 $y=2\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3} x+ \alpha \right) -1$의 그래프에서 $1$, $\beta $, $\gamma $는 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다. 이 때, $\alpha \beta \gamma $의 값은? (단, $\alpha$, $\beta$, $\gamma $의 단위는 라디안이고 $- \pi < \alpha < 0$이다.)

① $-4 \pi $

② $-6 \pi $

③ $-8 \pi $

④ $-9 \pi $

⑤ $-10 \pi $

$b \ge a > 0$, $c \ge 0$이면 $\dfrac{a+c}{b+c} \ge \dfrac{a}{b}$가 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $A (3, 0)$, $B (0, 3)$에 대하여 점 $P (x, y)$가 선분 $AB$ 위를 움직일 때, $\dfrac{5-y}{5+x} \times \dfrac{5-x}{5+y}$의 최소값은?

① $\dfrac{1}{5}$

② $\dfrac{1}{4}$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{3}{4}$

⑤ $\dfrac{4}{5}$

네 자리의 자연수 $A$에서 맨 앞자리의 수를 맨 뒤로 보내어 생기는 새로운 네 자리의 자연수를 $B$라 하자.
예를 들어 $A=1234$이면 $B=2341$이다. 이 때, $A+B$의 값이 될 수 없는 것은?

① $2343$

② $3575$

③ $4545$

④ $5797$

⑤ $7535$

[표1]은 어느 단체에서 $9$월과 $10$월에 필요한 축구공과 축구화의 수량을 나타낸 것이고, [표2]는 A, B 두 체육용품 가게에서 팔고 있는 축구공과 축구화의 단가를 나타낸 것이다.
[표1]
(단위 : 개)

	축구공	축구화
$9$월	37	47
$10$월	52	60

[표2]
(단위 : 원)

	A	B
축구공	23,000	28,000
축구화	36,000	42,000

두 행렬 $X$, $Y$를 각각 $$X= \begin{pmatrix} 37 & 47 \\52 & 60 \end{pmatrix},\,\,\,\,\,Y= \begin{pmatrix} 23000 & 28000 \\36000 & 42000\end{pmatrix}$$ 라 하자. 다음 중 $10$월에 필요한 축구공과 축구화를 A가게에서 구입할 때, 구입액의 총합을 나타내는 것은?

① 행렬 $XY$의 $(1, 2)$성분

② 행렬 $XY$의 $(2, 1)$성분

③ 행렬 $XY$의 $(2, 2)$성분

④ 행렬 $YX$의 $(1, 2)$성분

⑤ 행렬 $YX$의 $(2, 1)$성분

A, B, C, D, E, F 6명이 원형으로 앉아 각자 가지고 있는 돈을 절반으로 나누어 좌우에 이웃해 있는 두 사람에게 주었다. 각자의 받은 돈을 확인해 보니 오른쪽과 같았다. 이 때, A가 처음에 갖고 있었던 돈은 얼마인가?

① 천원

② 이천원

③ 삼천원

④ 사천원

⑤ 오천원

FIFA랭킹 1위부터 16위까지의 국가를 다음 규칙에 따라 네 개조로 편성하여 축구대회를 열려고 한다.

$\bullet$ 각 반지름(굵은선) 위에 있는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
$\bullet$ 각 원주(가는선)에 해당하는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
$\bullet$ 각 나선형(점선)에 해당하는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
(○ 안의 수는 FIFA랭킹이다.)

이 때, ㈎, ㈏에 해당하는 FIFA랭킹을 순서대로 나열하면?

① 9, 16

② 8, 16

③ 11, 16

④ 3, 15

⑤ 6, 15

행렬 $A= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\-2 & 1 \end{pmatrix}$에 대하여 등식 $$2A+X=B$$ 를 만족하는 행렬 $X$의 모든 성분의 합을 구하시오.

자연수 $N$을 5로 나누면 3이 남고, 4로 나누면 2가 남고, 3으로 나누면 1이 남는다. 이러한 자연수 $N$ 중에서 최소인 수를 구하시오.

함수 $y= \dfrac{7x+3}{x-5}$의 그래프가 두 직선 $l$과 $m$에 대하여 각각 대칭일 때, $l$과 $m$의 교점의 좌표를 $(a, b)$라 한다. $a+b$의 값을 구하시오.

방정식 $2[x ]^{2} +[x ]-6=0$의 해가 $\alpha \le x < \beta $일 때, $\alpha + \beta $의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

한 변의 길이가 자연수인 정육각형을 각각의 변에 평행한 직선들을 그어 한 변의 길이가 1인 정삼각형들로 나누고자 한다. 다음 그림은 한 변의 길이가 1, 2, 3일 때를 나타낸 것이다.
한 변의 길이가 $n$인 정육각형을 이와 같이 정삼각형으로 나누었을 때 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형의 개수를 $S_{n}$이라 하자. 이 때, $\dfrac{S_{9}}{6}$의 값을 구하시오.

전국 연합학력평가에서 어느 학급의 수리영역의 최고점수는 78점, 최저점수는 18점이었다. 이 수리영역 점수를 $x$, 변환된 점수를 $y$라 할 때, 일차함수 $y=ax+b$를 이용하여 최고점수 78점을 100점으로, 최저점수 18점을 50점으로 변환하려고 한다. 이 시험에서 65점을 받은 학생의 변환된 점수를 소수점 아래 셋째자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.