2002-06 2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)

2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 2002년 6월 12일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 6월 고2 전국연합학력평가

수리영역[예체능계](수학)

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$\sqrt{3+ \sqrt{8}} + \sqrt{3- \sqrt{8}}$을 간단히 하면?

① $1$

② $\sqrt{2}$

③ $2$

④ $2 \sqrt{2}$

⑤ $2+ \sqrt{2}$

집합 $X$의 모든 원소의 합을 $S(X)$로 나타내기로 하자. 이 때, 집합 $A= \left\{1, 2, 3, 4, 15 \right\}$에 대하여 $S(X) \ge 15$, $A \cap X=X$를 만족하는 집합 $X$의 개수는?

① $2$

② $4$

③ 8

④ 16

⑤ 32

$6^{\log x} =8 \times 3^{3}$을 만족하는 양수 $x$의 값은? (단, $\log x$의 밑은 10이다.)

① $6^{3}$

② $10^{2}$

③ $10^{3}$

④ $12^{2}$

⑤ $12^{3}$

$\theta =15\degree$일 때 $\cos^{2} \theta +\cos^{2} (5 \theta)$의 값은?

① $\dfrac{1}{4}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{3}{4}$

④ $1$

⑤ $\dfrac{3}{2}$

그림과 같이 $\overline{AB} =2$, $\overline{BC} =3$, $\overline{CA} =4$인 $\triangle ABC$에서 $\dfrac{\sin B}{\sin A}$의 값은?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{2}{3}$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{3}{4}$

⑤ $\dfrac{4}{3}$

아래에서 $\fbox{\phantom{AA}}$ 안에 알맞은 식은? $$(1+ab)^{2} +(1+c d)^{2} +(a c)^{2} +(b d)^{2}=1+(1+ab+c d)^{2} +\left(\fbox{\phantom{AA}}\right)^{2}$$

① $ab-cd$

② $a c-b d$

③ $a d-b c$

④ $a c+b d$

⑤ $a d+b c$

$A=2^{444}$, $B=3^{333}$, $C=5^{222}$일 때, $A$, $B$, $C$의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① $A < C < B$

② $C < A < B$

③ $A < B < C$

④ $B < A < C$

⑤ $B < C < A$

원 $x^{2} +y^{2} =5$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선과 평행하고 점 $(-1, 3)$을 지나는 직선의 방정식은?

① $x+2y-5=0$

② $x-2y+1=0$

③ $2x+y-1=0$

④ $2x-y+5=0$

⑤ $2x+2y+1=0$

함수 $f (x)$의 역함수 $f^{-1} (x)$가 존재하고 $$f^{-1} (3)=5,\,\,\,\,f (f (x)) = x$$ 일 때, $f (3)$의 값은?

① $-5$

② $-3$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $3$

⑤ $5$

이차방정식 $x^{2} -5x+p=0$의 두 근은 $3$, $\alpha $이고, $x^{2} -px+q=0$의 두 근은 $\alpha$, $\beta $이다. 이 때, $\beta $의 값은? (단, $p$, $q$는 상수)

① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

두 실수 $x$, $y$가 $x+y=4$, $xy=2$를 만족할 때, $\sqrt{\dfrac{x}{y}} + \sqrt{\dfrac{y}{x}}$의 값은?

① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

② $\sqrt{2}$

③ $2 \sqrt{2}$

④ $2- \sqrt{2}$

⑤ $2+ \sqrt{2}$

방정식 $\dfrac{1}{\log_{3} x} + \dfrac{1}{\log_{5} x} = \dfrac{1}{2}$을 만족하는 양수 $x$의 값은?

① $\sqrt{15}$

② $15$

③ $\dfrac{1}{15}$

④ $225$

⑤ $\dfrac{1}{225}$

[보기]의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $(x-1)^{2} =0$은 $x^{2} -1=0$이기 위한 필요조건이다.
ㄴ. 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a > 0$이고 $| a | > | b |$인 것은 $a > b$이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A-(A \cap B)= \phi $은 $A \subset B$이기 위한 필요충분조건이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 어떤 신문에 보도된 흡연에 대한 기사의 일부를 인용한 것이다.

세계보건기구의 발표에 의하면 전 세계에서 흡연으로 인해 8초당 1명씩 사망하고 매년 전 세계적으로 400만 명이 사망한다고 한다. 또, 흡연자의 사망 위험은 비흡연자의 약 22배에 이르며, 흡연자의 수명은 담배 한 개비 당 11분 정도 단축된다고 한다.

이 기사에 의하면 어떤 사람이 10년 간 매일 담배 10개비씩 피웠을 때, 수명이 얼마나 단축된다고 예상할 수 있는가?

① 약 150일

② 약 180일

③ 약 220일

④ 약 250일

⑤ 약 280일

다음은 오른쪽 그림과 같은 별 모양의 도형에서 $\overline{AB} < \overline{BC}$, $\overline{CD} < \overline{DE}$, $\overline{EF} < \overline{FG}$, $\overline{GH} < \overline{HI}$, $\overline{IJ} < \overline{JA}$가 모두 성립할 수 없음을 설명한 것이다.

위의 부등식을 모두 만족하는 별 모양의 도형이 존재한다고 가정하면 $$\angle BAC > \angle BCA > \fbox{　 ㈎ 　}> \angle FGE > \fbox{　 ㈏ 　}> \angle BAC$$ 이다. 따라서 $\angle BAC > \angle BAC$이므로 모순이다.

위의 설명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $\angle CDE$, $\angle HIG$

② $\angle DEC$, $\angle HGI$

③ $\angle DCE$, $\angle EFG$

④ $\angle FEG$, $\angle GHI$

⑤ $\angle DEC$, $\angle HIG$

집합 $A= \left\{x \,|\, x \ge a \right\}$에서 $A$로의 함수 $f(x)=2x-5$가 일대일 대응일 때, 상수 $a$의 값은?

① $5$

② $10$

③ $-5$

④ $\dfrac{5}{2}$

⑤ $- \dfrac{5}{2}$

다음은 명제 ‘$1$보다 큰 자연수 $p$에 대하여 $8p^{2} +1$이 소수이면 $p$는 3의 배수이다.’를 증명한 것이다.

증명

$p$가 $\fbox{\phantom{AA} ㈎ \phantom{AA}}$라고 가정하면
$p=3m\pm 1$ ($m$은 자연수)로 놓을 수 있다.
이 때, $8p^{2} +1=3\left(\fbox{\phantom{AA} ㈏ \phantom{AA}}\right)$이므로 $8p^{2} +1$은 3의 배수이다.
한편, 3의 배수 중 소수는 3 뿐이고 $8p^{2} +1 > 3$이므로 $8p^{2} +1$은 소수가 아니다.
그러므로, $1$보다 큰 자연수 $p$에 대하여 $8p^{2} +1$이 소수이면 $p$는 3의 배수이다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $3$의 배수이다, $24m^{2} \pm 16m+3$

② $3$의 배수이다, $12m^{2} \pm 8m+3$

③ $3$의 배수가 아니다, $24m^{2} \pm 8m+3$

④ $3$의 배수가 아니다, $12m^{2} \pm 8m+3$

⑤ $3$의 배수가 아니다, $24m^{2} \pm 16m+3$

다음은 $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$일 때, $\sin \theta \cos \theta$, $\sin \theta +\cos \theta$, $1$을 세 변의 길이로 하는 삼각형이 존재함을 증명한 것이다.

증명

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이므로 $0 < \sin \theta < 1$, $0 < \cos \theta < 1$
$\therefore$ $0 < \sin \theta \cos \theta < 1$ $\cdots$ ㉠
또, $\sin \theta \fbox{　㈎　}\sin^{2} \theta $, $\cos \theta \fbox{　㈎　}\cos^{2} \theta $이므로
$\sin \theta +\cos \theta \fbox{　㈎　}\sin^{2} \theta +\cos^{2} \theta =1$ $\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 세 수 $\sin \theta \cos \theta$, $\sin \theta +\cos \theta$, $1$ 중 $\fbox{　 ㈏ 　}$가(이) 가장 크다.
이 때, $\fbox{　 ㈐ 　}+1-\left(\fbox{　 ㈏ 　}\right)=(\sin \theta -1)(\cos \theta -1) > 0$
$\therefore$ $\fbox{　 ㈐ 　}+1 >\fbox{　 ㈏ 　}$
따라서 주어진 수를 세 변의 길이로 하는 삼각형이 존재한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $>$, $\sin \theta +\cos \theta $, $\sin \theta +\cos \theta $

② $<$, $\sin \theta \cos \theta $, $\sin \theta +\cos \theta $

③ $>$, $\sin \theta +\cos \theta $, $\sin \theta \cos \theta $

④ $<$, $1$, $\sin \theta \cos \theta $

⑤ $=$, $\sin \theta \cos \theta $, $1$

오른쪽 $y=2\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3} x+ \alpha \right) -1$의 그래프에서 $1$, $\beta $, $\gamma $는 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다. 이 때, $\alpha \beta \gamma $의 값은? (단, $\alpha$, $\beta$, $\gamma $의 단위는 라디안이고 $- \pi < \alpha < 0$이다.)

① $-4 \pi $

② $-6 \pi $

③ $-8 \pi $

④ $-9 \pi $

⑤ $-10 \pi $

$b \ge a > 0$, $c \ge 0$이면 $\dfrac{a+c}{b+c} \ge \dfrac{a}{b}$가 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $A (3, 0)$, $B (0, 3)$에 대하여 점 $P (x, y)$가 선분 $AB$ 위를 움직일 때, $\dfrac{5-y}{5+x} \times \dfrac{5-x}{5+y}$의 최소값은?

① $\dfrac{1}{5}$

② $\dfrac{1}{4}$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{3}{4}$

⑤ $\dfrac{4}{5}$

그림과 같이 원 $x^{2} +y^{2} =50$ 위의 두 점 $A$, $B$와 원 내부에 한 점 $C$가 있다. 이 때 $A(5, 5)$이고 선분 $AC$는 $x$축과 수직이며, $\angle ACB=90\degree$, $\overline{BC} =2$이다. 선분 $AC$의 길이는? (단, 점 $B$는 제4사분면 위의 점이다.)

① $4 \sqrt{2}$

② $\sqrt{34}$

③ $\sqrt{35}$

④ $6$

⑤ $\sqrt{38}$

두 자리의 자연수 $A$에서 십의 자리의 수와 일의 자리의 수를 바꾼 수를 $B$라 하자.
예를 들면, $A=12$이면 $B=21$이다. 이 때, $A+B$의 값이 될 수 없는 것은?

① $110$

② $122$

③ $143$

④ $165$

⑤ $187$

갑, 을 두 사람은 어떤 물건 한 개를 98,000원에 공동 구입하여 두 달로 나누어 내기로 하였다. 첫 번째 달에는 갑이 을보다 더 많이 지불하였고, 두 번째 달에는 갑은 첫 번째 달보다 $40\%$ 적게, 을은 첫 번째 달보다 $50\%$ 많게 지불하였다. 이 때, 을이 지불한 총액이 갑이 지불한 총액보다 2,000원 많았다면 갑이 첫 번째 달에 지불한 금액은 얼마인가?

① 18,000원

② 22,000원

③ 25,000원

④ 28,000원

⑤ 30,000원

FIFA랭킹 1위부터 16위까지의 국가를 다음 규칙에 따라 네 개조로 편성하여 축구대회를 열려고 한다.

$\bullet$ 각 반지름(굵은선) 위에 있는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
$\bullet$ 각 원주(가는선)에 해당하는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
$\bullet$ 각 나선형(점선)에 해당하는 4개국의 순위의 합은 모두 34이다.
(○ 안의 수는 FIFA랭킹이다.)

이 때, ㈎, ㈏에 해당하는 FIFA랭킹을 순서대로 나열하면?

① 9, 16

② 8, 16

③ 11, 16

④ 3, 15

⑤ 6, 15

두 집합 $A, B$에 대하여 집합 $$A \oplus B= \left\{x \,|\, \text{$x=a+b$, $a \in A$, $b \in B$}\right\}$$ 라 한다. 집합 $A= \left\{1, 2\right\}$, $B= \left\{3, 4\right\}$일 때, 집합 $A \oplus B$의 모든 원소의 합을 구하시오.

자연수 $N$을 5로 나누면 3이 남고, 4로 나누면 2가 남고, 3으로 나누면 1이 남는다. 이러한 자연수 $N$ 중에서 최소인 수를 구하시오.

함수 $y= \dfrac{7x+3}{x-5}$의 그래프가 점 $(a, b)$에 대하여 대칭일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

방정식 $2[x ]^{2} +[x ]-6=0$의 해가 $\alpha \le x < \beta $일 때, $\alpha + \beta $의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

알루미늄 새시를 이용하여 둘레의 길이가 $200$cm인 직사각형 모양의 환기창을 만들려고 한다. 환기창의 넓이가 $1600\text{cm}^{2}$ 이상이 되도록 하고 한 변의 길이를 가능한 길게 만들 때, 긴 변의 길이는 몇 cm인지 구하시오. (단, 새시의 폭은 생각하지 않는다.)

전국 연합학력평가에서 어느 학급의 수리영역의 최고점수는 78점, 최저점수는 18점이었다. 이 수리영역 점수를 $x$, 변환된 점수를 $y$라 할 때, 일차함수 $y=ax+b$를 이용하여 최고점수 78점을 100점으로, 최저점수 18점을 50점으로 변환하려고 한다. 이 시험에서 65점을 받은 학생의 변환된 점수를 소수점 아래 셋째자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.