2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [인문계]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [인문계]

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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1. $(1+2 i )^{2} (1-2 i )^{2}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $5$
② $9$
③ $15$
④ $25$
⑤ $50$

2. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$x+y = \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}},\,\,\,\,x-y = \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $2$
⑤ $\sqrt{6}$

3. $\log_{a} 3=2$, $\log_{b} 3=5$일 때, $\log_{b} a$의 값은?

① $\dfrac{5}{2}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{5}$

4. 전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \to\, \, \sim q$가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① $P \cup Q =U$
② $P - Q = P$
③ $Q - P = \phi $
④ $P \cap Q = P$
⑤ $P \cup Q = P$

5. $1 \le x \le 2$인 실수 $x$가 부등식 $x^{2} + 2 x + ( a - 3 ) \le 0$을 만족할 때, 실수 $a$의 최대값은?

① $-5$
② $-4$
③ $-3$
④ $-2$
⑤ $-1$

6. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $f (x) = [ 2 x ] - 2 [ x ]$의 치역은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $\left\{ 0 \right\}$
② $\left\{ -1, 0 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ 0, 1 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 0, 1 \right\}$

7. 로그함수 $y = \log_{2} x$의 그래프가 있다. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $2$, $1$인 직사각형 $A B C D$의 꼭지점 $C$가 이 그래프 위를 움직일 때 점 $A$가 그리는 도형의 방정식은? (단, 변 $AB$는 항상 $y$축과 평행하다.)

① $y = \log_{2} ( x-2 )-1$
② $y = \log_{2} ( x+2 )+1$
③ $y = \log_{2} ( 2 x+1 )$
④ $y = \log_{2} 2 x +1$
⑤ $y = \log_{2} 2 x -1$

8. 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $(2+i )( a + b i ) = c + d i$일 때, 등식 $A \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}$가 성립한다. 이 때, 이차정사각행렬 $A$를 구하면? (단, $i = \sqrt{-1}$이다.)

① $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
② $\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
③ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
④ $\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
⑤ $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

9. 두 개의 직각삼각형 $ABC$, $ADE$가 그림과 같이 겹쳐져 있다. $\angle ACB=60˚ $, $\angle AED=45˚ $, $\overline{AC} = \overline{AE} =6$일 때 겹쳐진 부분인 삼각형 $ADF$의 넓이는?

① $3 \sqrt{2}$
② $4 \sqrt{2}$
③ $3 \sqrt{3}$
④ $4 \sqrt{3}$
⑤ $5 \sqrt{3}$

10. 사차함수 $y=F (x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 $F(x)\cdot F^{\prime} (x) < 0$을 만족하는 $x$의 값의 범위가 될 수 없는 것은? (단, $F^{\prime} (x)$는 $F (x)$의 도함수이다.)

① $x < a$
② $b < x < c$
③ $d < x < e$
④ $f < x < g$
⑤ $x > g$

11. $A=\left\{ 1, 2, 3\right\}$에서 $A$로의 함수 $f$가 두 조건

ⅰ) 함수 $f$는 일대일대응이다.
ⅱ) 합성함수 $f \circ f \circ f$는 함수 $f$와 같다.

를 만족하는 함수 $f$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

12. 다음과 같은 모양의 도형 위에 자연수를 차례로 나열하였다.

$2002$, $2003$, $2004$, $2005$의 수는 다음 중 어떤 모양으로 연결되는가?

13. 오른쪽 그림과 같은 규칙으로 수를 나열하면 $2^{6}$과 같은 수는 $2^{6}$, $4^{3}$, $\cdots $처럼 여러 번 나타난다. 이와 같이 생각할 때, $9^{12}$과 같은 수는 몇 번 나타나는가?

① $4$번
② $6$번
③ $8$번
④ $10$번
⑤ $12$번

14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $a$인 원의 지름의 양 끝점을 $P$, $Q$라 하자. 철민이와 영수가 동시에 $P$지점을 출발하여 철민이가 원주 위를 따라 두 바퀴 도는 동안 영수는 지름을 따라 $\overline{PQ}$를 한 번 왕복하여 동시에 $P$지점에 도착하였다. 이 때, 철민이와 영수의 평균속력의 비는?

① $\pi : 1$
② $\pi : 2$
③ $2 \pi : 1$
④ $3 \pi : 2$
⑤ $\sqrt{2} \pi : 1$

15. 양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)=1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$이라 할 때, 다음은

$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(n-1)=n \left\{ p(n)-1 \right\}$ ($n=2$, $3$, $4$, $\cdots $)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) $n=2$일 때,
$(좌변)=p (1) = 1$
$(우변)=2 \left\{ p(2) -1 \right\} = 2 \left( 1+ \dfrac{1}{2} -1 \right) =1$
이므로 성립한다.

ⅱ) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k-1)=k \left\{ p(k)-1 \right\}$
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k)$
$=\fbox{　 ㈎ 　}p(k)-k$
$=\fbox{　 ㈎ 　}\left\{ p(k+1)-\fbox{　 ㈏ 　} \right\} -k$
$=(k+1) \left\{ p(k+1)-1 \right\}$
이므로 $n=k+1$일 때 성립한다.

따라서 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $k$, $\dfrac{1}{k}$
② $k$, $\dfrac{1}{k+1}$
③ $k+1$, $\dfrac{1}{k}$
④ $k+1$, $\dfrac{1}{k+1}$
⑤ $k+2$, $\dfrac{1}{k}$

16. 다음은 원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선이 점 $P$에서 만날 때, 부등식 $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}} + \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} + \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AD}} + \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BC}} \le \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PC}} + \dfrac{\overline{PC}}{\overline{PA}} + \dfrac{\overline{PB}}{\overline{PD}} + \dfrac{\overline{PD}}{\overline{PB}}$$가 성립함을 증명한 것이다.

오른쪽 그림과 같이 $\overline{AB} = a$, $\overline{BC} = b$, $\overline{CD} = c$, $\overline{DA} = d$라 하고,
$\overline{PA} = w$, $\overline{PB} = x$, $\overline{PC} = y$, $\overline{PD} = z$라 하면
$\triangle ABC : \triangle ACD= x: \fbox{　 ㈎ 　}= a b : c d$
$\therefore$ $\dfrac{x}{\fbox{　 ㈎ 　}} = \dfrac{a b}{c d}$
같은 방법으로 $\dfrac{w}{y} = \dfrac{a d}{\fbox{　 ㈏ 　}}$
따라서, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \fbox{　 ㈐ 　}$

같은 방법으로
$\dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{c}{a}$, $\dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{w} \ge 2 \cdot \dfrac{b}{d}$, $\dfrac{z}{x} + \dfrac{w}{y} \ge 2 \cdot \dfrac{d}{b}$

변끼리 더하여 정리하면
$\dfrac{w}{y} + \dfrac{y}{w} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{d} + \dfrac{d}{b}$

따라서 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞는 것을 순서대로 적으면?

① $y$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
② $y$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$
③ $z$, $ab$, $\dfrac{b}{c}$
④ $z$, $ac$, $\dfrac{a}{c}$
⑤ $z$, $bc$, $\dfrac{a}{c}$

17. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}y = -| x - 1 | + 1 \\ y = \dfrac{1}{2} | x - k | \end{cases}$가 서로 다른 두 쌍의 해를 갖기 위한 정수 $k$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

18. $1$부터 $81$까지 쓰여진 카드를 오른쪽 그림과 같이 규칙적으로 배열하였다. 이 때 오른쪽 대각선 방향(／)으로 배열된 카드에 쓰여진 수들의 합은?

① $367$
② $369$
③ $371$
④ $373$
⑤ $375$

19. 곡선 $y = x^{2} +1$ 위의 한 점과 직선 $y = x-1$ 위의 한 점을 두 꼭지점으로 하는 정사각형을 만든다. 이 때, 이 정사각형의 넓이의 최소값은?

① $\dfrac{43}{64}$
② $\dfrac{45}{64}$
③ $\dfrac{47}{64}$
④ $\dfrac{49}{64}$
⑤ $\dfrac{51}{64}$

20. 세 변의 길이가 각각 $5$, $7$, $8$인 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$이다. 호 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $\triangle APB$, $\triangle BQC$, $\triangle CRA$가 모두 이등변삼각형일 때, 육각형 $APBQCR$의 넓이는?

① $18 \sqrt{3}$
② $20 \sqrt{3}$
③ $30 \sqrt{3}$
④ $\dfrac{68 \sqrt{3}}{3}$
⑤ $\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}$

21. 다항함수 $f (x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f (x+1)-f (x)=f (x)-f (x-1)$$를 만족시킨다. 미분계수 $f^{\prime} (1) =3$일 때, $f^{\prime} (-1)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

22. 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 $O$의 원주 위의 한 정점 $A$에서 동점 $P$가 출발하여 시계방향으로 한 바퀴 회전한다. 이 때, 호 $AP$의 길이를 $x$라 하고 $f (x) = 2- \overline{AP}^{2}$으로 정의할 때, 함수 $f (x)$의 그래프의 개형은?

23. 어느 핵발전소에서 사고로 방사능 물질 $1000$kg이 유출되어 대기를 오염시켰다. 사고가 일어나고 $t$년 후의 대기중의 이 물질의 양 $A$는 $$A=1000 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{t\over30}$$이라고 한다. 대기 중에 남아있는 이 물질의 양이 처음으로 $100$kg 이하가 되는 것은 사고 후 몇 년째부터인가? (단, $\log 2=0.30$으로 계산한다.)

① $90$년
② $100$년
③ $110$년
④ $120$년
⑤ $130$년

24. 포물선 $y=1-x^{2}$과 $x$축과의 교점을 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 하자. 포물선 위의 제1사분면 위의 동점 $P$에 대하여 직선 $CP$와 $x$축과의 교점을 $Q$, 직선 $AP$와 점 $Q$를 지나고 $x$축에 수직인 직선과의 교점을 $R$라 할 때, $\displaystyle\lim_{P \to B} \dfrac{\overline{QR}}{\overline{BQ}}$의 값은?

① $0$
② $\dfrac{1}{2}$
③ $1$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $2$

25. 행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $\left(A^{2}\right)^{-1}$의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, $X^{-1}$는 $X$의 역행렬이다.)

26. 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2 x^{2} + x - a}{x^{2} - 1} =b$가 성립하도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+10 b$의 값을 구하시오.

27. 다음 두 원 $$(x-3)^{2} +(y-4)^{2} =16,\,\,\,\,(x-a)^{2} +(y-b)^{2} =4$$가 서로 외접할 때, $\sqrt{a^{2} +b^{2}}$의 최대값을 구하시오.

28. 오른쪽 그림과 같이 $y$축 위의 점 $P$에서 $x$축에 평행한 직선을 그어 두 곡선 $y=\log_{1\over2} x$, $y=\log_{2} x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $Q$, $R$라 하자. $\overline{QR}$의 길이가 2이고 점 $Q$와 $R$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 할 때, $a^{2} + b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < 1 < b$이다.)

29. 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 다음 두 조건을 만족한다.

ⅰ) $p$가 소수이면 $f (p)=p$
ⅱ) 임의의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f (ab)=f (a)+f (b )$

이 때, $f (100)$의 값을 구하시오.

30. 다음 그림과 같이 $P$지점에서 $40$m 떨어진 곳에 높이 $40$m, 너비 $20$m인 건물이 있다. $P$지점에서 공을 쏘아 올려 건물 반대편 $R$지점으로부터 $20$m 떨어진 $S$지점에 맞추려고 한다. 공을 발사할 때, 공이 그리는 포물선의 최고점의 높이는 적어도 몇 m를 초과하여야 하는지 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 네 지점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 일직선 위에 있다.)