2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가 수리 영역 [자연계]

2002학년도 6월 고3 전국연합학력평가

수리 영역 [자연계]

시행 : 2002.6.12(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

삽화, 사진, 표는 누락되어 있습니다. 원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com에 있습니다.

1. $(1+2 i )^{2} (1-2 i )^{2}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $5$
② $9$
③ $15$
④ $25$
⑤ $50$

2. 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$x+y = \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}},\,\,\,\,x-y = \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$$일 때, $x^{2} +y^{2}$의 값은?

① $1$
② $\sqrt{2}$
③ $\sqrt{3}$
④ $2$
⑤ $\sqrt{6}$

3. $\log_{a} 3=2$, $\log_{b} 3=5$일 때, $\log_{b} a$의 값은?

① $\dfrac{5}{2}$
② $\dfrac{2}{5}$
③ $\dfrac{2}{3}$
④ $\dfrac{3}{2}$
⑤ $\dfrac{3}{5}$

4. 전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 명제 $p \to\, \, \sim q$가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① $P \cup Q =U$
② $P - Q = P$
③ $Q - P = \phi $
④ $P \cap Q = P$
⑤ $P \cup Q = P$

5. 부등식 $\dfrac{2 x - 3}{x + 1} - 1 \le 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는?

① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$

6. 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $f (x) = [ 2 x ] - 2 [ x ]$의 치역은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① $\left\{ 0 \right\}$
② $\left\{ -1, 0 \right\}$
③ $\left\{ -1, 1 \right\}$
④ $\left\{ 0, 1 \right\}$
⑤ $\left\{ -1, 0, 1 \right\}$

7. 로그함수 $y = \log_{2} x$의 그래프가 있다. 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 $2$, $1$인 직사각형 $A B C D$의 꼭지점 $C$가 이 그래프 위를 움직일 때 점 $A$가 그리는 도형의 방정식은? (단, 변 $AB$는 항상 $y$축과 평행하다.)

① $y = \log_{2} ( x-2 )-1$
② $y = \log_{2} ( x+2 )+1$
③ $y = \log_{2} ( 2 x+1 )$
④ $y = \log_{2} 2 x +1$
⑤ $y = \log_{2} 2 x -1$

8. 복소평면에서 $z= \sqrt{3} + i$에 대하여 $z$, $z^{2}$, $z^{3}$이 나타내는 점을 각각 $A$, $B$, $C$라 할 때, $\triangle ABC$의 넓이는? (단, $i= \sqrt{-1}$이다.)

① $1+2 \sqrt{3}$
② $2+2 \sqrt{3}$
③ $8-2 \sqrt{3}$
④ $10-4 \sqrt{3}$
⑤ $12-6 \sqrt{3}$

9. 오른쪽 그림에서 원 $O$의 지름을 한 변으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이는 변 $AC$와 호 $AC$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. $\angle B= \theta $라 할 때, 다음 중 $\theta $의 값과 같은 것은?

① $2 \sin^{2} \theta $
② $2 \sin \theta \cos \theta $
③ $3 \cos^{2} \theta $
④ $3 \sin \theta \cos \theta $
⑤ $2 \tan^{2} \theta $

10. 사차함수 $y=F (x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 $F(x)\cdot F^{\prime} (x) < 0$을 만족하는 $x$의 값의 범위가 될 수 없는 것은? (단, $F^{\prime} (x)$는 $F (x)$의 도함수이다.)

① $x < a$
② $b < x < c$
③ $d < x < e$
④ $f < x < g$
⑤ $x > g$

11. $A=\left\{ 1, 2, 3\right\}$에서 $A$로의 함수 $f$가 두 조건

ⅰ) 함수 $f$는 일대일대응이다.
ⅱ) 합성함수 $f \circ f \circ f$는 함수 $f$와 같다.

를 만족하는 함수 $f$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

12. 다음과 같은 모양의 도형 위에 자연수를 차례로 나열하였다.

$2002$, $2003$, $2004$, $2005$의 수는 다음 중 어떤 모양으로 연결되는가?

13. 오른쪽 그림과 같은 규칙으로 수를 나열하면 $2^{6}$과 같은 수는 $2^{6}$, $4^{3}$, $\cdots $처럼 여러 번 나타난다. 이와 같이 생각할 때, $9^{12}$과 같은 수는 몇 번 나타나는가?

① $4$번
② $6$번
③ $8$번
④ $10$번
⑤ $12$번

14. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $a$인 원의 지름의 양 끝점을 $P$, $Q$라 하자. 철민이와 영수가 동시에 $P$지점을 출발하여 철민이가 원주 위를 따라 두 바퀴 도는 동안 영수는 지름을 따라 $\overline{PQ}$를 한 번 왕복하여 동시에 $P$지점에 도착하였다. 이 때, 철민이와 영수의 평균속력의 비는?

① $\pi : 1$
② $\pi : 2$
③ $2 \pi : 1$
④ $3 \pi : 2$
⑤ $\sqrt{2} \pi : 1$

15. 양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)=1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$이라 할 때, 다음은

$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(n-1)=n \left\{ p(n)-1 \right\}$ ($n=2$, $3$, $4$, $\cdots $)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ) $n=2$일 때,
$(좌변)=p (1) = 1$
$(우변)=2 \left\{ p(2) -1 \right\} = 2 \left( 1+ \dfrac{1}{2} -1 \right) =1$
이므로 성립한다.

ⅱ) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k-1)=k \left\{ p(k)-1 \right\}$
$p(1)+p(2)+p(3)+ \cdots +p(k)$
$=\fbox{　 ㈎ 　}p(k)-k$
$=\fbox{　 ㈎ 　}\left\{ p(k+1)-\fbox{　 ㈏ 　} \right\} -k$
$=(k+1) \left\{ p(k+1)-1 \right\}$
이므로 $n=k+1$일 때 성립한다.

따라서 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $k$, $\dfrac{1}{k}$
② $k$, $\dfrac{1}{k+1}$
③ $k+1$, $\dfrac{1}{k}$
④ $k+1$, $\dfrac{1}{k+1}$
⑤ $k+2$, $\dfrac{1}{k}$

16. 다음은 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라고 할 때, $$\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2} = 2\left( \overline{AM}^{2} + \overline{BM}^{2} \right)$$임을 증명하는 과정이다.

오른쪽 그림과 같이 $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b}$라 하면

$\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{CA} =\fbox{　 ㈎ 　}$

$\therefore$ $\overline{AB}^{2} + \overline{AC}^{2}= \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} +\left| \fbox{　 ㈎ 　} \right|^{2}$
$= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} - 2\fbox{　 ㈏ 　} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2}+ \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + 2\fbox{　 ㈏ 　} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2}$
$= 2 \left( \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} \right)$
$= 2 \left( \overline{AM}^{2} + \overline{BM}^{2} \right)$

위의 증명 과정에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$
② $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$, $\left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right| $
③ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$
④ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\left| \overrightarrow{a} \right| \left| \overrightarrow{b} \right| $
⑤ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\dfrac{\left| \overrightarrow{a} \right|}{\left| \overrightarrow{b} \right|}$
17. $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}y = -| x - 1 | + 1 \\ y = \dfrac{1}{2} | x - k | \end{cases}$가 서로 다른 두 쌍의 해를 갖기 위한 정수 $k$의 개수는?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

18. 아래 그림과 같이 정사각형 $ABCD$를 가로축과 평행한 직선 $l$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $f$[그림1], 세로축과 평행한 직선 $m$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $g$[그림2], 마주보는 두 꼭지점을 지나는 직선 $n$을 축으로 $180˚ $ 회전을 $h$[그림3]라 하자.

다음 중 어떤 모양의 정사각형을 $g \to f \to h$의 순서로 회전시켰을 때 오른쪽 그림과 같은 정사각형이 되겠는가?

19. $\overline{AB} = \overline{AC} =7$, $\overline{BC} =4$, $\overline{AD} =14$인 직삼각기둥 $ABC$-$DEF$가 있다. 이 때, 면 $ADEB$의 면 $ADFC$ 위로의 정사영의 넓이는?

① $68$
② $74$
③ $78$
④ $82$
⑤ $86$

20. 세 변의 길이가 각각 $5$, $7$, $8$인 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$이다. 호 $AB$, $BC$, $CA$ 위의 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대하여 $\triangle APB$, $\triangle BQC$, $\triangle CRA$가 모두 이등변삼각형일 때, 육각형 $APBQCR$의 넓이는?

① $18 \sqrt{3}$
② $20 \sqrt{3}$
③ $30 \sqrt{3}$
④ $\dfrac{68 \sqrt{3}}{3}$
⑤ $\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}$

21. 다항함수 $f (x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f (x+1)-f (x)=f (x)-f (x-1)$$를 만족시킨다. 미분계수 $f^{\prime} (1) =3$일 때, $f^{\prime} (-1)$의 값은?

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

22. 비행기가 왼쪽에서 날아와 동수의 머리 위를 지나 오른쪽으로 날아갔다. 비행기가 왼쪽에서 나타난 지점으로부터 오른쪽으로 $x$(km) 만큼 움직였을 때 동수와 비행기 사이의 거리는 $y$(km)이다. 이 때, $x$와 $y$의 관계를 나타내는 그래프의 개형은? (단, 비행기는 일정한 고도를 유지하면서 직선으로 비행하였고, 동수는 움직이지 않았다.)

23. 어느 핵발전소에서 사고로 방사능 물질 $1000$kg이 유출되어 대기를 오염시켰다. 사고가 일어나고 $t$년 후의 대기중의 이 물질의 양 $A$는 $$A=1000 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{t\over30}$$이라고 한다. 대기 중에 남아있는 이 물질의 양이 처음으로 $100$kg 이하가 되는 것은 사고 후 몇 년째부터인가? (단, $\log 2=0.30$으로 계산한다.)

① $90$년
② $100$년
③ $110$년
④ $120$년
⑤ $130$년

24. 오른쪽 그림과 같이 원점을 지나는 원 $C$ 위에 원점이 아닌 서로 다른 두 점 $P$, $Q$가 있다. 일차변환 $f$에 의하여 점 $P$는 점 $Q$로, 점 $Q$는 원점 $O$로 옮겨질 때, 합성변환 $f \circ f$에 의하여 원 $C$는 어떤 도형으로 옮겨지는가?

① 원점 $O$
② 선분 $OP$
③ 선분 $OQ$
④ 호 $PQ$
⑤ 원 $C$

25. 행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$에 대하여 $\left(A^{2}\right)^{-1}$의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, $X^{-1}$는 $X$의 역행렬이다.)

26. 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2 x^{2} + x - a}{x^{2} - 1} =b$가 성립하도록 하는 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+10 b$의 값을 구하시오.

27. 타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} =1$ 위의 점 $( 1, -2 )$에서 그은 접선의 기울기가 $2$일 때, $a^{2} +b^{2}$의 값을 구하시오.

28. 오른쪽 그림과 같이 $y$축 위의 점 $P$에서 $x$축에 평행한 직선을 그어 두 곡선 $y=\log_{1\over2} x$, $y=\log_{2} x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $Q$, $R$라 하자. $\overline{QR}$의 길이가 2이고 점 $Q$와 $R$의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 할 때, $a^{2} + b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < 1 < b$이다.)

29. 자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$가 다음 두 조건을 만족한다.

ⅰ) $p$가 소수이면 $f (p)=p$
ⅱ) 임의의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f (ab)=f (a)+f (b )$

이 때, $f (100)$의 값을 구하시오.

30. 다음 그림과 같이 $P$지점에서 $40$m 떨어진 곳에 높이 $40$m, 너비 $20$m인 건물이 있다. $P$지점에서 공을 쏘아 올려 건물 반대편 $R$지점으로부터 $20$m 떨어진 $S$지점에 맞추려고 한다. 공을 발사할 때, 공이 그리는 포물선의 최고점의 높이는 적어도 몇 m를 초과하여야 하는지 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 네 지점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 일직선 위에 있다.)