2002-10 2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)

2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 10월 2일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2002.10.2(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$(1+i)^{2} +(1+i)^{4}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$)

① $4+2i$

② $-4+2i$

③ $4-2i$

④ $-4$

⑤ $4i$

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} +mx+2=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta $에 대하여, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} =-3$일 때 상수 $m$의 값은?

① $2$

② $4$

③ $6$

④ $8$

⑤ $10$

$\dfrac{\sin 80 \degree}{\sin 10\degree \cos 30\degree + \cos 10\degree \sin 30\degree}$를 간단히 하면?

① $2\sin 40 \degree $

② $2\cos 40 \degree $

③ $2\tan 40 \degree $

④ $2\sec 40 \degree $

⑤ $2\csc 40 \degree $

두 집합 $$A= \left\{ x \left|\, \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x-3} \ge 0 \right.\right\},    B= \left\{ x \,|\, x^{2} -2x-8 \le 0 \right\}$$ 에 대하여 집합 $A \cap B$에 속하는 모든 정수의 합은?

① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 연산 $\triangle$를 $$A\triangle B = (A-B) \cup (B-A)$$ 로 정의할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $A\triangle B = B\triangle A$
ㄴ. $A\triangle A = U$
ㄷ. $A^{c} \triangle B^{c} =A\triangle B$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

철수가 가지고 있는 계산기는 $\fbox{$\sqrt{ }$}$키를 누르면 화면에 나타나 있는 양수의 양의 제곱근을 계산하여 그 값을 화면에 나타낸다. 아래와 같은 순서로 키를 눌렀을 때 화면에 나타나는 값은? $$\fbox{2}\,\,\,\,\fbox{$\sqrt{ }$}\,\,\,\,\fbox{$\sqrt{ }$}\,\,\,\,\fbox{$\times$}\,\,\,\,\fbox{4}\,\,\,\,\fbox{$=$}$$

① $2^{3\over4}$

② $2^{5\over4}$

③ $2^{7\over4}$

④ $2^{9\over4}$

⑤ $2^{11\over4}$

방정식 $z^{3} =i$의 세 근을 각각 $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$라 할 때, $$ | z_{1} -z_{2} | + | z_{2} -z_{3} | + | z_{3} -z_{1} | $$ 의 값은? (단, $i = \sqrt{-1}$)

① $\sqrt{2}$

② $\sqrt{3}$

③ $2 \sqrt{3}$

④ $3 \sqrt{2}$

⑤ $3 \sqrt{3}$

다음 그림과 같이 네 막대 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{PQ}$, $\overline{PR}$는 네 점 $B$, $P$, $Q$, $R$에서 움직일 수 있도록 연결되어 있다. 두 점 $Q$와 $R$는 각각 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$의 중점이고 $\overline{PQ} = \overline{RB}$, $\overline{BQ} = \overline{RP}$이다.
막대 $\overline{AB}$가 $A$를 중심으로 회전할 수 있도록 $A$의 위치를 고정하고 점 $P$가 반지름의 길이가 $1$인 원을 따라 움직일 때, 점 $C$가 그리는 자취는? (단, 네 막대는 한 평면 위에 있다.)

① 반지름의 길이가 $\dfrac{1}{2}$인 원

② 반지름의 길이가 $1$인 원

③ 반지름의 길이가 $2$인 원

④ 길이가 $1$인 선분

⑤ 길이가 $2$인 선분

$\triangle \triangle \triangle $국의 전화번호 중 뒤의 네 자리가 $$\triangle \triangle \triangle -2322,\,\,\,\,\triangle \triangle \triangle - 0010,\,\,\,\,\triangle \triangle \triangle - 9090,\,\,\,\,\cdots$$ 등과 같이 두 종류의 숫자로만 된 전화번호는 모두 몇 가지 만들 수 있는가?

① $600$

② $610$

③ $620$

④ $630$

⑤ $640$

임의의 실수 $x$에 대하여 함수 $f(x)$를 ‘$x$와 $x$에 가장 가까운 정수의 차’로 정의하자. 예를 들면 $$f (-1.3) =0.3,\,\,\,\,f (2) =0,\,\,\,\,f (2.6)=0.4$$ 이다. $-3 \le x \le 3$일 때, $x$축과 함수 $f(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① $1$

② $\dfrac{3}{2}$

③ $2$

④ $\dfrac{5}{2}$

⑤ $3$

함수 $f (x)$가 연속일 때, 다음 중 임의의 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{a\over2} \left\{ f (x)+f (a-x) \right\} dx$와 값이 같은 것은?

① $2 \displaystyle\int_{0}^{a\over2} f (x)dx$

② $\displaystyle\int_{-{a\over2}}^{a\over2} f (x)dx$

③ $\displaystyle\int_{0}^{a} f (x)dx$

④ $2 \displaystyle\int_{a\over2}^{a} f (x)dx$

⑤ $\displaystyle\int_{-a}^{a} f (x)dx$

아래 $36$개의 칸에 다음과 같은 규칙으로 1부터 36까지의 수를 차례대로 써 넣으려고 한다.

어떤 수 $n$의 다음 수 $n+1$은 $n$이 적힌 칸의 인접한 칸 (상, 하, 좌, 우 중 어느 하나의 칸)에 써 넣는다.

10		20	21
				16
			㈎
		3		1	36

이 규칙대로 표에 써 넣은 수의 일부분이 위와 같을 때, ㈎에 쓰여진 수는?

① $14$

② $18$

③ $24$

④ $28$

⑤ $32$

행렬 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$로 나타내어지는 일차변환 $f$에 대하여 점 $P_{0} (1, 0 )$이 변환 $f$에 의하여 옮겨진 점을 $P_{1}$, 점 $P_{1}$이 변환 $f$에 의하여 옮겨진 점을 $P_{2}$, 점 $P_{2}$가 변환 $f$에 의하여 옮겨진 점을 $P_{3}$, $\cdots $이라 하자. 이 때, 점 $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, $P_{4}$, $P_{5}$를 차례로 연결하여 만든 오각형의 넓이는?

① $11$

② $12$

③ $13$

④ $14$

⑤ $15$

평면 위에 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형들이 그물 모양으로 서로 연결되어 있다. 다음 그림과 같은 규칙으로 $1$에서부터 출발하여 차례대로 꼭지점에 수를 적어갈 때, $1$이 적힌 꼭지점에서 $331$이 적힌 꼭지점까지의 거리는?

① $10$

② $11$

③ $12$

④ $13$

⑤ $14$

다음은 명제 ‘$a$, $b$가 자연수일 때 $a^{2} + b^{2}$이 $3$으로 나누어 떨어지면 $a^{n} + b^{n}$ ($n = 3$, $4$, $5$, $\cdots$)도 $3$으로 나누어 떨어진다’를 증명하는 과정이다.

$a$, $b$를 $3$으로 나누었을 때의 몫을 각각 $q_{1}$, $q_{2}$라 하고 나머지를 각각 $r_{1}$, $r_{2}$라 하면
$a = 3 q_{1} + r_{1}$, $b = 3 q_{2} + r_{2}$
$\therefore$ $a^{2} + b^{2}= ( 3 q_{1} + r_{1} )^{2} + ( 3 q_{2} + r_{2} )^{2}= 3 \left( 3 {q_{1}}^{2} + 3 {q_{2}}^{2} +\fbox{　 ㈎ 　}\right)+ {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2}$
$a^{2} + b^{2}$이 $3$으로 나누어 떨어지므로
$r_{1} =\fbox{　 ㈏ 　}$, $r_{2} =\fbox{　 ㈐ 　}$
따라서, $a^{n} + b^{n}$ ($n = 3$, $4$, $5$, $\cdots$)은 $3$으로 나누어 떨어진다.

위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

① $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$,  $1$,  $1$

② $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$,  $0$,  $0$

③ $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$,  $2$,  $2$

④ $2 q_{1} q_{2} + 2 r_{1} r_{2}$,  $1$,  $1$

⑤ $2 q_{1} q_{2} + 2 r_{1} r_{2}$,  $0$,  $0$

반지름의 길이가 $1$인 원 $O$와 이 원의 내부에 중심 $O$가 아닌 정점 $A$가 있다. 다음은 이 원의 원주 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, $\sin ( \angle OPA)$의 최대값을 구하는 과정이다.

삼각형 $OPA$에서 사인법칙을 이용하면
$\sin ( \angle OPA) = \fbox{　 ㈎ 　}\cdot \dfrac{\sin ( \angle PAO)}{\overline{OP}}= \fbox{　 ㈎ 　}\cdot \sin ( \angle PAO)$
$\angle PAO=\fbox{　 ㈏ 　}$일 때,
$\sin ( \angle PAO)$가 최대이므로
$\sin ( \angle OPA)$의 최대값은 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.

위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

① $\overline{OA}$,  $\dfrac{\pi}{2}$,  $\overline{OA}$

② $\overline{OA}$,  $\dfrac{\pi}{3}$,  $\dfrac{1}{2} \overline{OA}$

③ $\overline{OA}$,  $\dfrac{\pi}{2}$,  $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \overline{OA}$

④ $\overline{AP}$,  $\dfrac{\pi}{3}$,  $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \overline{OA}$

⑤ $\overline{AP}$,  $\dfrac{\pi}{2}$,  $\overline{OA}$

정답이 하나인 오지선다형의 문항에서 맞으면 5점을 주고 적은 답이 틀리면 적당히 감점을 하며 답을 적지 않으면 0점을 준다. 이 문항의 답을 임의로 적을 때 기대되는 점수가 0이 되도록 하려면, 적은 답이 틀리면 몇 점을 감점해야 하는가?

① $0.75$점

② $0.8$점

③ $1$점

④ $1.2$점

⑤ $1.25$점

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 한 변의 길이가 $2$인 정육각형 $ABCDEF$가 있다. 두 점 $A$, $F$의 좌표가 각각 $( 1, 0 )$, $( -1, 0 )$이고, 두 선분 $AD$와 $BF$의 교점을 $G ( a, b )$라 할 때, $ab$의 값은?

① $\sqrt{3}$

② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

그림과 같이 $\overline{AB} = 1$, $\overline{BF} = 2$, $\overline{FG} = 3$인 직육면체 $ABCD$-$EFGH$에서 두 벡터 $\overrightarrow{DF}$와 $\overrightarrow{HF}$의 내적 $\overrightarrow{DF} \bullet \overrightarrow{HF}$의 값은?

① $-10$

② $-5$

③ $0$

④ $5$

⑤ $10$

강우량이란 어떤 시간 내에 내린 비가 수평한 지표면 위의 원기둥 모양의 용기에 고인 물의 깊이를 말하며 단위는 보통 mm를 사용한다. 오른쪽 [그림1]과 같이 곡선 $y= \dfrac{1}{8} x^{2}$과 직선 $y=50$으로 둘러싸인 부분을 $y$축 둘레로 회전시켜 만들어지는 회전체 모양의 그릇([그림2])이 있다. 어느 날 내린 비의 강우량이 90mm일 때, 야외에 똑바로 세워져 있는 이 빈 그릇에 고인 물의 깊이는? (단, 그릇의 두께는 무시한다.)

① $20$cm

② $25$cm

③ $30$cm

④ $35$cm

⑤ $40$cm

오른쪽 그림과 같이 두 반직선 $OX$, $OY$가 이루는 각의 크기를 $\theta $라 하고 반직선 $OX$ 위에 한 점 $A$를 잡자. 점 $A$를 지나고 반직선 $OX$와 이루는 각의 크기가 $2 \theta $인 직선 $l$이 반직선 $OY$와 만나는 점을 $B$라 하자. 이 때, $\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{OB}}$의 값은?

① $0$

② $\dfrac{1}{4}$

③ $\dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $1$

좌표공간에서 평행한 두 평면 $$\alpha : x+2y+2z=1,    \beta : x+2y+2z=7$$ 에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는?

① $2$

② $\dfrac{7}{3}$

③ $4$

④ $\dfrac{13}{3}$

⑤ $6$

자동차가 시속 72km의 속력으로 직선 도로를 달리고 있다. 이 차의 운전자가 철도건널목 위험 표지판을 보고 위험 표지판을 지나는 순간부터 브레이크를 작동하여 매초 4m/초 씩 일정한 비율로 속력을 줄였더니 건널목 정지선에 정확히 정지하였다. 이 때, 건널목 정지선과 위험 표지판 사이의 거리는?

① $50$m

② $55$m

③ $60$m

④ $65$m

⑤ $70$m

다음은 2002년 7월22일 어느 신문에 실린 기사의 일부이다.

청정지역인 제주에서도 강산성비가 내려 환경오염이 날로 가속화하고 있다. 22일 제주도 보건환경연구원에 따르면 올해 들어 주거지역과 산림지역의 산성도를 측정한 결과 주거지역은 수소이온농도(pH)가 $1\sim5$월 평균 $4.80$으로 정상 빗물의 수소이온농도(pH $5.6$)에 비해 강한 산성비로 나타났다. 월별 수소이온농도는 1월 $4.44$, 2월 $5.15$, 3월 $5.35$, 4월 $4.82$, 5월 $5.04$로 특히 1월과 4월에는 강한 산성비가 내렸다. 산림지역에 내린 비도 $1\sim5$월 평균 pH가 $4.86$으로 나타나 강산성비였다.
<이하 생략>

수소이온농도는 용액 1L 속에 존재하는 수소이온의 그램이온수의 역수의 상용로그를 취하여 구하며 기호 pH로 나타낸다. 즉, $$\text{pH}= \log_{10} \dfrac{1}{[ H^{+} ]}\text{ (단, $[ H^{+} ]$는 수소이온의 그램이온수)}$$ 위의 글에서 1월과 5월의 수소이온의 그램이온수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\dfrac{a}{b}$의 값은? (단, $10^{2\over5} = \dfrac{5}{2}$로 계산한다.)

① $\dfrac{3}{2}$

② $\dfrac{5}{3}$

③ $\dfrac{5}{2}$

④ $3$

⑤ $4$

다음 등식이 성립하도록 $\fbox{\phantom{A}}$ 안에 알맞은 값을 정하시오. $$2^{17} + 4^{8} + 16^{4} = 2^{\text{□}}$$

이차 정사각행렬 $A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여 등식 $$A \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 이 성립할 때, $x$, $y$에 대한 연립일차방정식 $\begin{cases} ax+by = -2 \\ cx+dy = -1 \end{cases}$의 해를 $x= \alpha$, $y= \beta $라 하자. 이 때, $\alpha + \beta $의 값을 구하시오.

곡선 $y = ( x + 1 ) ( x - 2 )$ 위의 두 점 $P$, $Q$가 원점에 대하여 대칭일 때, $\overline{PQ}^{2}$의 값을 구하시오.

두 이차방정식 $x^{2} -ax+b=0$과 $x^{2} -bx+a=0$이 모두 두 개의 양의 근을 갖도록 두 실수 $a$, $b$의 값을 정할 때, $x^{2} -ax+b=0$의 근을 $\alpha $, $\beta $, $x^{2} -bx+a=0$의 근을 $\gamma$, $\delta$라 하자. 이 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{4}{\gamma} + \dfrac{4}{\delta}$의 최소값을 구하시오.

어느 인터넷 쇼핑몰에서 A, B, C 세 가지 종류의 선물세트를 주문 받아 판매하려고 한다. 그림과 같이 A세트는 비누 3장과 치약 2개, B세트는 치약 2개와 샴푸 1개, C세트는 샴푸 1개와 비누 3장씩 들어 있다. 주문 받은 세 종류의 선물세트를 만들기 위하여 비누는 690장, 치약은 346개, 샴푸는 225개가 필요하였다. 이 때, 주문받은 A세트의 개수를 구하시오.

다음 그림과 같이 폭이 $12$m이고 높이가 $5$m인 어떤 터널의 단면은 도로 면을 장축으로 하는 타원의 반과 같은 모양이다. 이 터널의 위쪽에 길이가 6m인 철제빔이 수평으로 양쪽 벽에 고정되어 있고 그 위에 환풍기가 설치되어 있다. 이 때, 도로 면에서 철제빔까지의 높이가 몇 m인지 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 철제빔의 두께는 생각하지 않고, $\sqrt{3} = 1.7$로 계산한다.)