2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 서울교육청에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 10월 2일 (수)에 시행되었습니다.
2002학년도 10월 고3 전국연합학력평가
수리영역[예체능계](수학)
시행 : 2002.10.2(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 서울교육청
$(1+i)^{2} +(1+i)^{4}$의 값은? (단, $i= \sqrt{-1}$)
① $4+2i$
② $-4+2i$
③ $4-2i$
④ $-4$
⑤ $4i$
$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} +mx+2=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta $에 대하여, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} =-3$일 때 상수 $m$의 값은?
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
$\left(1+\sin \dfrac{\pi}{4}\right)\left(1-\cos \dfrac{\pi}{4}\right)\left(1+\tan \dfrac{\pi}{4}\right)$의 값은?
① $\dfrac{1}{2}$
② $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
④ $1$
⑤ $\sqrt{2}$
다항식 $(x+1)^{3} +3(x+1)^{2} +3(x+1)+1$을 $x+2$로 나눈 나머지는?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 연산 $\triangle$를
$$A\triangle B = (A-B) \cup (B-A)$$
로 정의할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $A\triangle B = B\triangle A$
ㄴ. $A\triangle A = U$
ㄷ. $A^{c} \triangle B^{c} =A\triangle B$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
철수가 가지고 있는 계산기는 $\fbox{$\sqrt{ }$}$키를 누르면 화면에 나타나 있는 양수의 양의 제곱근을 계산하여 그 값을 화면에 나타낸다. 아래와 같은 순서로 키를 눌렀을 때 화면에 나타나는 값은?
$$\fbox{2}\,\,\,\,\fbox{$\sqrt{ }$}\,\,\,\,\fbox{$\sqrt{ }$}\,\,\,\,\fbox{$\times$}\,\,\,\,\fbox{4}\,\,\,\,\fbox{$=$}$$
① $2^{3\over4}$
② $2^{5\over4}$
③ $2^{7\over4}$
④ $2^{9\over4}$
⑤ $2^{11\over4}$
이차부등식 $x^{2} -2x-8 < 0$의 해와 부등식 $ | x-a | < b$의 해가 서로 같을 때, 두 상수 $a$, $b$의 곱 $a b$의 값은?
① $-5$
② $-3$
③ $-1$
④ $1$
⑤ $3$
다음 그림과 같이 네 막대 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{PQ}$, $\overline{PR}$는 네 점 $B$, $P$, $Q$, $R$에서 움직일 수 있도록 연결되어 있다. 두 점 $Q$와 $R$는 각각 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$의 중점이고 $\overline{PQ} = \overline{RB}$, $\overline{BQ} = \overline{RP}$이다.
막대 $\overline{AB}$가 $A$를 중심으로 회전할 수 있도록 $A$의 위치를 고정하고 점 $P$가 반지름의 길이가 $1$인 원을 따라 움직일 때, 점 $C$가 그리는 자취는? (단, 네 막대는 한 평면 위에 있다.)
① 반지름의 길이가 $\dfrac{1}{2}$인 원
② 반지름의 길이가 $1$인 원
③ 반지름의 길이가 $2$인 원
④ 길이가 $1$인 선분
⑤ 길이가 $2$인 선분
오른쪽 그림은 두 함수 $y=2^{x}$, $y=x$의 그래프이다. 이 때, $\log_{2} a b$의 값은? (단, 점선은 $x$축 또는 $y$축에 평행하다.)
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
임의의 실수 $x$에 대하여 함수 $f(x)$를 ‘$x$와 $x$에 가장 가까운 정수의 차’로 정의하자. 예를 들면
$$f (-1.3) =0.3,\,\,\,\,f (2) =0,\,\,\,\,f (2.6)=0.4$$
이다. $-3 \le x \le 3$일 때, $x$축과 함수 $f(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는?
① $1$
② $\dfrac{3}{2}$
③ $2$
④ $\dfrac{5}{2}$
⑤ $3$
원 $(x-1)^{2} +y^{2} = 1$과 $y=\cos x$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. 점 $P$의 $x$좌표를 $\theta $라 할 때, 다음 중 $\theta $와 값이 같은 것은?
① $\sin \theta $
② $\cos \theta $
③ $\tan \theta $
④ $1-\cos \theta $
⑤ $1-\sin \theta $
아래 $36$개의 칸에 다음과 같은 규칙으로 1부터 36까지의 수를 차례대로 써 넣으려고 한다.
어떤 수 $n$의 다음 수 $n+1$은 $n$이 적힌 칸의 인접한 칸 (상, 하, 좌, 우 중 어느 하나의 칸)에 써 넣는다.
이 규칙대로 표에 써 넣은 수의 일부분이 위와 같을 때, ㈎에 쓰여진 수는?
① $14$
② $18$
③ $24$
④ $28$
⑤ $32$
병규, 준호, 민기, 영철이가 여행 중 기념품 가게에서 각자 한 장의 티셔츠를 샀다. 기념품 가게에서 판매하는 티셔츠는 P, Q, R 세 종류이고 P, Q를 산 사람은 각각 $1$명, R를 산 사람은 2명이었다. 이 때, 병규는 나머지 세 사람과 다른 티셔츠를 샀고, 준호와 영철이는 서로 다른 티셔츠를 샀으며, 민기와 영철이도 서로 다른 티셔츠를 샀다. [보기] 중 항상 옳은 것은?
보기
ㄱ. 병규는 P를 샀다.
ㄴ. 준호는 Q를 샀다.
ㄷ. 민기는 R를 샀다.
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다음 [그림1]은 한 변의 길이가 2인 정육각형을 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 나눈 것이다. 이 정육각형을 [그림2]와 같이 한 변의 길이가 1인 마름모 중 똑바로 세워진 모양( )은 빨간 색, 왼쪽으로 기울어진 모양( )은 파란 색, 오른쪽으로 기울어진 모양( )은 노란 색으로 구분하여 칠하려고 한다. 이와 같은 방법으로 겹치치 않도록 모두 색을 칠했을 때 빨간 색을 칠한 모양 ( )의 총 개수는?
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
다음은 명제 ‘$a$, $b$가 자연수일 때 $a^{2} + b^{2}$이 $3$으로 나누어 떨어지면 $a^{n} + b^{n}$ ($n = 3$, $4$, $5$, $\cdots$)도 $3$으로 나누어 떨어진다’를 증명하는 과정이다.
$a$, $b$를 $3$으로 나누었을 때의 몫을 각각 $q_{1}$, $q_{2}$라 하고 나머지를 각각 $r_{1}$, $r_{2}$라 하면
$a = 3 q_{1} + r_{1}$, $b = 3 q_{2} + r_{2}$
$\therefore$ $a^{2} + b^{2}= ( 3 q_{1} + r_{1} )^{2} + ( 3 q_{2} + r_{2} )^{2}= 3 \left( 3 {q_{1}}^{2} + 3 {q_{2}}^{2} +\fbox{ ㈎ }\right)+ {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2}$
$a^{2} + b^{2}$이 $3$으로 나누어 떨어지므로
$r_{1} =\fbox{ ㈏ }$, $r_{2} =\fbox{ ㈐ }$
따라서, $a^{n} + b^{n}$ ($n = 3$, $4$, $5$, $\cdots$)은 $3$으로 나누어 떨어진다.
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
① $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$, $1$, $1$
② $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$, $0$, $0$
③ $2 q_{1} r_{1} + 2 q_{2} r_{2}$, $2$, $2$
④ $2 q_{1} q_{2} + 2 r_{1} r_{2}$, $1$, $1$
⑤ $2 q_{1} q_{2} + 2 r_{1} r_{2}$, $0$, $0$
반지름의 길이가 $1$인 원 $O$와 이 원의 내부에 중심 $O$가 아닌 정점 $A$가 있다. 다음은 이 원의 원주 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, $\sin ( \angle OPA)$의 최대값을 구하는 과정이다.
삼각형 $OPA$에서 사인법칙을 이용하면
$\sin ( \angle OPA) = \fbox{ ㈎ }\cdot \dfrac{\sin ( \angle PAO)}{\overline{OP}}= \fbox{ ㈎ }\cdot \sin ( \angle PAO)$
$\angle PAO=\fbox{ ㈏ }$일 때,
$\sin ( \angle PAO)$가 최대이므로
$\sin ( \angle OPA)$의 최대값은 $\fbox{ ㈐ }$이다.
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
① $\overline{OA}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{OA}$
② $\overline{OA}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{1}{2} \overline{OA}$
③ $\overline{OA}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \overline{OA}$
④ $\overline{AP}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \overline{OA}$
⑤ $\overline{AP}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{OA}$
집합 $X= \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$에서 $X$로의 함수 $f$의 대응관계가 오른쪽 그림과 같을 때 다음 중 합성함수 $f \circ f$의 대응관계를 그림으로 나타낸 것은?
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 한 변의 길이가 $2$인 정육각형 $ABCDEF$가 있다. 두 점 $A$, $F$의 좌표가 각각 $( 1, 0 )$, $( -1, 0 )$이고, 두 선분 $AD$와 $BF$의 교점을 $G ( a, b )$라 할 때, $ab$의 값은?
① $\sqrt{3}$
② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
오른쪽 그림과 같이 두 원
$$C_{1} : x^{2} +y^{2} =25,\,\,\,\,\,\,\,C_{2} : (x-3)^{2} +(y-4)^{2} =16$$
의 두 교점을 $A$, $B$라 하자. 두 점 $A$, $B$에서 각각 $C_{1}$에 접하는 두 접선의 교점을 $P ( a, b )$라 할 때, $\dfrac{b}{a}$의 값은?
① $\dfrac{3}{4}$
② $\dfrac{4}{5}$
③ $1$
④ $\dfrac{5}{4}$
⑤ $\dfrac{4}{3}$
함수 $y=x^{2} -1$의 그래프와 직선 $y=ax$ ($a > 0$)가 만나는 두 점 $P$, $Q$에 대하여 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = 10$이 성립할 때, 상수 $a$의 값은? (단, $O$는 원점이다.)
① $3$
② $2 \sqrt{2}$
③ $\sqrt{6}$
④ $\sqrt{5}$
⑤ $2$
방정식 $|\log_{2} x +1 | =2^{x} +1$의 실근을 $\alpha$라 할 때, 다음 중 옳은 것은?
① $0 < \alpha < \dfrac{1}{2}$
② $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$
③ $1 < \alpha < \dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{3}{2} < \alpha < 2$
⑤ $2 < \alpha < 3$
오른쪽 그림과 같이 길이가 각각 $5$, $2$, $2$, $3$인 네 토막의 곧은 철사를 연결 부위($A$, $B$, $C$, $D$)가 움직일 수 있도록 서로 연결하였다. 이 때, 이를 움직여서 만들 수 있는 삼각형의 넓이의 최대값은?
① $5$
② $6$
③ $4 \sqrt{2}$
④ $3 \sqrt{5}$
⑤ $4 \sqrt{3}$
두 다항식 $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$와 $x^{2} + a x + b$의 최대공약수가 $x - 1$이고, 최소공배수가 $x^{4} - 5 x^{2} + 4$가 되도록 상수 $a$와 $b$의 값을 정할 때, $a b$의 값은?
① $-6$
② $-4$
③ $-2$
④ $1$
⑤ $3$
다음은 2002년 7월22일 어느 신문에 실린 기사의 일부이다.
청정지역인 제주에서도 강산성비가 내려 환경오염이 날로 가속화하고 있다. 22일 제주도 보건환경연구원에 따르면 올해 들어 주거지역과 산림지역의 산성도를 측정한 결과 주거지역은 수소이온농도(pH)가 $1\sim5$월 평균 $4.80$으로 정상 빗물의 수소이온농도(pH $5.6$)에 비해 강한 산성비로 나타났다. 월별 수소이온농도는 1월 $4.44$, 2월 $5.15$, 3월 $5.35$, 4월 $4.82$, 5월 $5.04$로 특히 1월과 4월에는 강한 산성비가 내렸다. 산림지역에 내린 비도 $1\sim5$월 평균 pH가 $4.86$으로 나타나 강산성비였다.
<이하 생략>
수소이온농도는 용액 1L 속에 존재하는 수소이온의 그램이온수의 역수의 상용로그를 취하여 구하며 기호 pH로 나타낸다. 즉,
$$\text{pH}= \log_{10} \dfrac{1}{[ H^{+} ]}\text{ (단, $[ H^{+} ]$는 수소이온의 그램이온수)}$$
위의 글에서 1월과 5월의 수소이온의 그램이온수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\dfrac{a}{b}$의 값은? (단, $10^{2\over5} = \dfrac{5}{2}$로 계산한다.)
① $\dfrac{3}{2}$
② $\dfrac{5}{3}$
③ $\dfrac{5}{2}$
④ $3$
⑤ $4$
다음 등식이 성립하도록 $\fbox{\phantom{A}}$ 안에 알맞은 값을 정하시오.
$$2^{17} + 4^{8} + 16^{4} = 2^{\text{□}}$$
$P = \sqrt{4+2 \sqrt{3}} + \sqrt{4-2 \sqrt{3}}$일 때, $P^{2}$의 값을 구하시오.
곡선 $y = ( x + 1 ) ( x - 2 )$ 위의 두 점 $P$, $Q$가 원점에 대하여 대칭일 때, $\overline{PQ}^{2}$의 값을 구하시오.
두 이차방정식 $x^{2} -ax+b=0$과 $x^{2} -bx+a=0$이 모두 두 개의 양의 근을 갖도록 두 실수 $a$, $b$의 값을 정할 때, $x^{2} -ax+b=0$의 근을 $\alpha $, $\beta $, $x^{2} -bx+a=0$의 근을 $\gamma$, $\delta$라 하자. 이 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{4}{\gamma} + \dfrac{4}{\delta}$의 최소값을 구하시오.
어느 인터넷 쇼핑몰에서 A, B, C 세 가지 종류의 선물세트를 주문 받아 판매하려고 한다. 그림과 같이 A세트는 비누 3장과 치약 2개, B세트는 치약 2개와 샴푸 1개, C세트는 샴푸 1개와 비누 3장씩 들어 있다. 주문 받은 세 종류의 선물세트를 만들기 위하여 비누는 690장, 치약은 346개, 샴푸는 225개가 필요하였다. 이 때, 주문받은 A세트의 개수를 구하시오.
여자 $100$명당 남자의 수를 성비라 한다. 오른쪽 표는 어느 남녀 공학인 고등학교의 학년별 성비이다.
각 학년의 여학생의 수가 모두 같을 때, 이 학교 전체 학생 수에 대한 남학생 수의 비율이 몇 $\%$인지를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.
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