2002-11 2002학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수리영역[인문계](수학)

2002학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수리영역[인문계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 경기도교육청에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 2002년 11월 20일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 11월 고2 전국연합학력평가

수리영역[인문계](수학)

시행 : 2002.11.20(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 경기도교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
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원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$\dfrac{3- \sqrt{5}}{2} \left(\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^{2}$을 간단히 하면?

① $\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $1$

④ $2$

⑤ $\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n+2)(n+3)}}$의 값은?

① $-1$

② $- \dfrac{1}{2}$

③ $- \dfrac{1}{3}$

④ $\dfrac{1}{3}$

⑤ $\dfrac{1}{2}$

로그방정식 $\log_{3} (1+\log_{3} x)= 2$의 근을 $x=a^{b}$이라 할 때, $a+b$의 값은? (단, $a$는 소수이고 $b$는 자연수이다.)

① $11$

② $12$

③ $13$

④ $14$

⑤ $15$

부등식 $2002x^{2} -x-2003 \le 0$을 만족하는 정수 $x$의 개수는?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

두 함수 $f (x)=3x-1$, $g(x)= \sqrt{4x+1}$에 대하여 $(f \circ g^{-1}) (5)$의 값은? (단, $g^{-1}$는 $g$의 역함수이다.)

① $14$

② $15$

③ $16$

④ $17$

⑤ $18$

수직선 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$의 시각 $t$에서의 좌표가 각각 $x_{P} =t^{2} -2t -8$, $x_{Q} =t^{2} - 6t +5$로 나타내어진다. 두 점 $P$, $Q$가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 $t$의 값의 범위는?

① $1 < t < 3$

② $0 < t < 1$ 또는 $t > 3$

③ $0 < t < 1$ 또는 $4 < t < 5$

④ $1 < t < 4$ 또는 $t > 5$

⑤ $4 < t < 5$

자연수 $285$에서 일의 자리의 숫자 $5$는 나머지 두 숫자 $2$와 $8$의 평균이다. 자연수 $531$에서 십의 자리의 숫자 $3$은 나머지 두 숫자 $5$와 $1$의 평균이다. 또, 자연수 $408$에서 백의 자리의 숫자 $4$는 나머지 두 숫자 $0$과 $8$의 평균이다. 이와 같이 $300$에서 $350$까지의 자연수 중에서 어느 한 자리의 숫자가 나머지 두 숫자들의 평균이 되는 것은 모두 몇 개인가?

① $6$

② $8$

③ $10$

④ $12$

⑤ $14$

오른쪽 그림과 같은 표 안의 각 빈 칸에 가로줄의 수와 세로줄의 수의 곱을 써 넣기로 한다. 예를 들어 ㉠, ㉡, ㉢에는 각각 $2$, $12$, $60$을 써 넣는다. 어두운 부분의 빈 칸에 써 넣을 모든 수들의 합은?

① $44000$

② $44100$

③ $44200$

④ $44300$

⑤ $44400$

$\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\sin A=\sin 2B$
ㄴ. $\cos \dfrac{A}{2} =\sin B$
ㄷ. $\tan A=\cot 2B$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

두 수 $a$, $b$는 집합 $\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$의 원소이다. 행렬 $$X= \begin{pmatrix} a & -1 \\-b & 4\end{pmatrix}$$ 의 역행렬 $X^{-1}$의 모든 성분이 자연수일 때, $a+b$의 값은?

① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

두 자리의 양의 정수 $$N=10a+b\text{ ($a$, $b$는 정수, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$)}$$ 에 대하여 $f (N)$을 $f (N)= \dfrac{N}{a+b}$으로 정의한다. 예를 들어 $f (13)= \dfrac{13}{1+3} = \dfrac{13}{4}$, $f (63)= \dfrac{63}{6+3} =7$이다. 다음 중 $f (N)$의 값이 될 수 있는 것을 모두 고르면?

$1$,   $\dfrac{41}{5}$,   $10$

① $1$

② $\dfrac{41}{5}$

③ $1$, $10$

④ $\dfrac{41}{5}$, $10$

⑤ $1$, $\dfrac{41}{5}$, $10$

오른쪽 그림은 함수 $f (x)=3x(1-x)$의 그래프의 일부이다. $0 \le x \le 1$에서 함수 $y=f (f (x))$의 치역은?

① $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{1}{4} \right\} \right.$

② $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{1}{2} \right\} \right.$

③ $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{9}{16} \right\} \right.$

④ $\left\{y \left|\, 0 \le y \le \dfrac{3}{4} \right\} \right.$

⑤ $\left\{y \,|\, 0 \le y \le 1 \right\}$

그림과 같이 지면 위에 종이가 놓여 있고, 종이 위의 한 점 $P$에서 곧은 철사를 지면에 수직으로 세워 놓았다. 철사의 끝점에서 $1$cm 아래 지점 $T_{1}$을 동쪽으로 구부렸을 때의 철사의 그림자는 [그림1]과 같고, $T_{1}$에서 다시 $1$cm 아래 지점 $T_{2}$를 서쪽으로 구부렸을 때의 철사의 그림자는 [그림2]와 같다.
계속해서 $T_{2}$에서 $1$cm 아래 지점 $T_{3}$을 남쪽으로 구부리고, $T_{3}$에서 $1$cm 아래 지점 $T_{4}$를 북쪽으로 구부린 다음 다시 $T_{4}$에서 $1$cm 아래 지점 $T_{5}$를 동쪽으로 구부렸다. 이 때의 그림자로 옳은 것은? (단, 철사를 구부릴 때는 철사의 밑 부분과 수직이 되도록 한다.)

다항식 $f (x)=(x+1)(x+10)$과 집합 $$A= \left\{a\,|\, 1 \le a \le 30\text{, $a$는 자연수}\right\}$$ 이 있다. $f (a)$의 값이 $6$으로 나누어 떨어지도록 하는 집합 $A$의 원소 $a$의 개수는?

① $10$

② $12$

③ $14$

④ $16$

⑤ $18$

$f (x)=2^{x} +2^{-x}$일 때, 등식 $f (x)=f (x-1)$을 만족하는 $x$의 값은?

① $- \dfrac{1}{4}$

② $- \dfrac{1}{2}$

③ 0

④ $\dfrac{1}{4}$

⑤ $\dfrac{1}{2}$

$0 \le x \le 2$에서 함수 $y=f (x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, $f^{2002} \left(\dfrac{5}{4} \right)$의 값은? (단, $f^{1} (x)=f (x)$, $f^{2} (x)=f (f (x))$, $f^{3} (x)=f (f^{2} (x))$, $\cdots$, $f^{n+1} (x) =f (f^{n} (x))$, $n$은 자연수)

① $0$

② $1$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{5}{4}$

⑤ $2$

다음은 $\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 밑변 $BC$ 위의 임의의 점에서 직선 $AB$, $AC$에 이르는 거리의 합이 일정함을 증명한 것이다.

증명

직선 $BC$를 $x$축, 선분 $BC$의 수직이등분선을 $y$축으로 하면, 점 $A$는 $y$축 위의 점이다.
점 $A$의 좌표를 $(0, a)$ (단, $a > 0$), 직선 $AB$의 방정식을 $y=mx+a$라 놓으면 직선 $AC$의 방정식은 $y=\fbox{　 ㈎ 　}$
변 $BC$ 위의 임의의 점 $P (p, 0)$에서 직선 $AB$, $AC$에 이르는 거리의 합을 $l$이라 하면 $$l= \dfrac{\left| mp+a \right|}{\sqrt{\fbox{　 ㈏ 　}}} + \dfrac{\left| -mp+a \right|}{\sqrt{\fbox{　 ㈏ 　}}}$$ 그런데, $mp+a \ge 0$, $-mp+a \ge 0$이므로 $l= \dfrac{\fbox{　 ㈐ 　}}{\sqrt{\fbox{　 ㈏ 　}}}$
따라서, $l$은 $p$의 값에 관계없이 일정하다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 나열하면?

① $mx-a$, $m^{2} +a^{2}$, $a$

② $mx+a$, $m^{2} +a^{2}$, $a$

③ $-mx+a$, $m^{2} +1$, $3a$

④ $-mx-a$, $m^{2} +1$, $2a$

⑤ $-mx+a$, $m^{2} +1$, $2a$

다음은 연속한 세 자연수의 세제곱의 합은 어떤 수의 배수임을 증명하는 과정이다.

증명

$n$이 $2$ 이상의 자연수일 때
$P=(n-1)^{3} +n^{3} +\fbox{　 ㈎ 　}$(이)라 놓으면
$P$ $=(n^{3} -3n^{2} +3n-1)+n^{3} +\fbox{　 ㈎ 　}$
$P$ $=3(n^{3} -n)+\fbox{　 ㈏ 　}$
$P$ $=3n(n-1)(n+1)+\fbox{　 ㈏ 　}$
그런데 $n(n-1)(n+1)$은 연속한 세 자연수의 곱이므로 $6$의 배수이다. 따라서 $3n(n-1)(n+1)$은 $18$의 배수이고 $\fbox{　 ㈏ 　}$은 $\fbox{　 ㈐ 　}$의 배수이다.
따라서 $P$는 $\fbox{　 ㈐ 　}$의 배수이다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식 또는 수를 순서대로 나열하면?

① $(n+1)^{3}$, $6n$, $9$

② $(n+1)^{3}$, $9n$, $9$

③ $(n+1)^{3}$, $6n$, $18$

④ $n^{3} +1$, $9n$, $18$

⑤ $n^{3} +1$, $6n$, $6$

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} -ax+b=0$의 두 근이 모두 양의 정수일 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $a$, $b$는 모두 양수이다.
ㄴ. 두 근은 모두 $a$보다 작다.
ㄷ. $b$가 홀수이면 $a$도 홀수이다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 등차수열 $$1, 4, 7, 10, 13, \cdots$$ $$100, 96, 92, 88, 84, \cdots$$ 의 공통된 수의 개수는?

① $7$

② $8$

③ $9$

④ $10$

⑤ $11$

최고차 항의 계수가 양수인 삼차함수 $y=f (x)$가 다음 세 조건을 만족한다.

㈎ 극대값과 극소값의 차는 $6$이다.
㈏ 극대점과 극소점의 중점이 $(1, 2)$이다.
㈐ $y=f (x)$의 그래프는 점 $(3, -1)$을 지난다.

이 때, 방정식 $f^{\prime} (x)=0$의 두 근의 곱은?

① $-1$

② $-2$

③ $-3$

④ $-4$

⑤ $-5$

집합 $S= \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$에 대하여 $$X \subset S,  n(X) \ge 2$$ 를 만족하는 집합 $X$의 최대인 원소와 최소인 원소의 합을 $s(X)$라 하자. 예를 들면 $X= \left\{1, 2, 3 \right\}$일 때, $s(X)=1+3=4$이다. 이 때, $s(X)=7$을 만족하는 집합 $X$의 개수는? (단, $n(X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

① $16$

② $19$

③ $20$

④ $21$

⑤ $24$

어느 백화점에서 ㈎, ㈏ 두 종류의 물건을 산 후 모두 $12, 160$원을 지불하고 받은 영수증의 내역은 아래 그림과 같았다.

영 수 증
품목	소매가	부가가치세		소계
㈎	$\square \square \square \square$원	면세	0원	$\square \square \square \square$원
㈏	$\triangle \triangle \triangle \triangle$원	과세(10\%)	$\triangle \triangle \triangle$원	$■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■$
합계				12,160원
○○○백화점

㈎는 부가가치세가 없었고, ㈏는 소매가의 $10\%$가 부가가치세로 과세되어 소계란에 그 합이 적혀있었다. ㈏의 소매가는 ㈎의 소매가의 두 배이었을 때, $■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■\hspace*{-.25em}■$ 안에 적혀있는 금액은?

① $8,260$원

② $8,310$원

③ $8,360$원

④ $8,410$원

⑤ $8,460$원

기종 ＼ 차종	소형차	중형차
수동	$a$	$b$
자동	$c$	$d$

오른쪽 표와 같이 자동차 공장에서 생산된 차량의 차종별, 기종별 대수를 행렬 $\begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix}$로 나타내기로 한다. A, B 두 자동차 공장에서 하루에 생산되는 차량의 대수를 각각 행렬로 나타내면 $\begin{pmatrix} 30 & 20 \\40 & 10 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 40 & 30 \\10 & 20 \end{pmatrix}$이다. 지난 달 A, B 두 공장이 작업한 날 수는 서로 다르고 두 공장에서 생산된 수동 소형차는 모두 $1050$대, 자동 중형차는 모두 $430$대이었다면 지난달에 두 공장에서 생산된 차량의 총 대수는?

① $2980$대

② $3000$대

③ $3040$대

④ $3100$대

⑤ $3120$대

전체집합 $U= \left\{1, 2, 3, 4, \cdots, 10 \right\}$의 두 부분집합 $$A= \left\{1, 3, 5, 7, 9 \right\},  B= \left\{3, 4, 5, 6, 7 \right\}$$ 에 대하여 집합 $A-B^{c}$의 모든 원소의 총합을 구하시오.

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f (2)=3$, $f^{\prime} (2)=4$일 때, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\left\{f (x) \right\}^{2} - \left\{f (2) \right\}^{2}}{x-2}$의 값을 구하시오.

양의 실수 $a$를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림했을 때의 정수 값을 $\left< a \right> $로 나타내자. 방정식 $\left< 3x-1 \right>= 25$를 만족하는 $x$에 대하여 $\left< x \right> $의 값을 구하시오.

세 행렬 $A= \begin{pmatrix} 3 & 4\\5 & 6 \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} 6 & 3\\4 & 5 \end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}$가 등식 $AX-BX=(A-B)(2A-B+E)$를 만족할 때, $a+b+c+d$의 값을 구하시오. (단, $E$는 단위행렬이다.)

세 자연수 $a$, $b$, $c$의 최대공약수가 $3$이고, 등식 $2^{a} \cdot 5^{b} =400^{c}$을 만족할 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 축사 한 쪽 귀퉁이에 길이가 $27$m인 철망으로 울타리를 치려고 한다. $\overline{AB} = \overline{AE}$, $\overline{BC} = \overline{DE}$일 때, 울타리로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이의 최대값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, 축사의 벽면에는 울타리를 치지 않는다.)