2003학년도 대학수학능력시험 수리영역[예체능계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 11월 6일 (수)에 시행되었습니다.
2003학년도 대학수학능력시험
수리영역[예체능계](수학)
시행 : 2002.11.6(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원
$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{16}$을 간단히 하면?
① $2$
② $4$
③ $\sqrt{2 }$
④ $2 \sqrt{2 }$
⑤ $2 \sqrt{2 }$
이차방정식 $x^{2} -5x-2=0$의 두 근을 $\alpha $와 $\beta $라 할 때,
$$\dfrac{1}{\alpha +1} + \dfrac{1}{\beta +1}$$
의 값은?
① $2$
② $3$
③ $\dfrac{3}{2}$
④ $\dfrac{7}{4}$
⑤ $\dfrac{5}{2}$
함수 $f (x)= \dfrac{x+1}{x-1}$에 대하여 $(f \circ f)(10)$의 값은?
① $\dfrac{1}{10}$
② $\dfrac{9}{10}$
③ $\dfrac{10}{9}$
④ $9$
⑤ $10$
$3x = 2y$일 때, $\dfrac{x^{2} + y^{2}}{ (x + y)^{2}}$의 값은? (단, $xy \ne 0$)
① $\dfrac{3}{5}$
② $\dfrac{4}{5}$
③ $\dfrac{9}{25}$
④ $\dfrac{11}{25}$
⑤ $\dfrac{13}{25}$
전체집합 $U$의 세 부분집합 $P$, $Q$, $R$가 각각 세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합이고, 두 명제 $p \to q$와 $q \to r$가 모두 참일 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $P \subset R$
ㄴ. $(P \cup Q) \subset R^{c}$
ㄷ. $(P^{c} \cap R^{c}) \subset Q^{c}$
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
두 상수 $a$와 $b$에 대하여 부등식 $x^{2} +ax+b \le 0$의 해가 $-1 \le x \le 3$일 때, 부등식 $x^{2} -ax+b \le 0$의 해는?
① $-3 \le x \le -1$
② $-2 \le x \le 2$
③ $-3 \le x \le 1$
④ $-1 \le x \le 2$
⑤ $1 \le x \le 3$
두 상수 $a$와 $b$에 대하여 두 다항식 $x^{2} +x+a$와 $x^{2} -ax+b$의 최대공약수가 $x-1$일 때, $a+b$의 값은?
① $-1$
② $-2$
③ $-3$
④ $-4$
⑤ $-5$
$a$와 $b$가 실수일 때, $\left| \dfrac{a+b}{ 2} -a\right|+ \left| \dfrac{a+b}{ 2} -b \right|$를 간단히 하면?
① $0$
② $\dfrac{| a+b |}{ 2}$
③ $\dfrac{| a-b |}{ 2}$
④ $| a + b |$
⑤ $| a-b |$
중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $R$인 구면거울이 있다. 그림과 같이 $OX$축에 평행하게 입사된 빛이 거울에 반사된 후 축과 만나는 점을 $A$라고 할 때, 선분 $OA$의 길이는? (단, 입사각과 반사각의 크기는 $\theta $로 같고, $0\degree < \theta < 20\degree $이다.)
① $\dfrac{R}{2\cos \theta}$
② $\dfrac{R}{2\sin \theta}$
③ $R (1-\cos \theta)$
④ $\dfrac{R}{2\cos 2 \theta}$
⑤ $\dfrac{R}{2\sin 2 \theta}$
$(z-1)^{2}$이 실수가 되는 복소수 $z$전체의 집합을 $A$라고 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $z \in A$이면 $z-1$은 순허수이다.
ㄴ. $z \in A$이면 $\overline{z} \in A$이다. (단, $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.)
ㄷ. $z_{1} \in A$이고 $z_{2} \in A$이면 $z_{1} z_{2} \in A$이다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
그림과 같이 사각형 $ABCD$는 선분 $BC$를 지름으로 하는 원 $O$에 내접하고 있다. $\overline{BC} =13$이고 $\overline{CD} =5$일 때, $\sin A$의 값은?
① $\dfrac{12}{13}$
② $\dfrac{7}{13}$
③ $\dfrac{5}{13}$
④ $\dfrac{7}{12}$
⑤ $\dfrac{5}{12}$
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f (x)$와 $g (x)$에 대하여 함수 $h (x)$를 다음과 같이 정의한다.
$$h (x)= \dfrac{1}{3} f (x)+ \dfrac{2}{3} g (x)$$
[보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 어떤 점에서 만나면 $y=h (x)$의 그래프는 그 교점을 지난다.
ㄴ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 모두 $y$축에 대하여 대칭이면 $y=h (x)$의 그래프도 $y$축에 대하여 대칭이다.
ㄷ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$가 모두 일대일 대응이면 $y=h (x)$도 일대일 대응이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
양의 실수 $a$와 $b$에 대하여 집합 $A$와 $B$를 다음과 같이 정의한다.
$$A= \left\{ x \,|\, (x-a) (x+a) \le 0 \right\},\,\,\,\,B=\left\{ x \,|\, | x-1 | \le b\right\}$$
이때, $A \cap B= \phi $이기 위한 필요충분조건은?
① $a-b < 1$
② $a-b > 1$
③ $a+b=1$
④ $a+b < 1$
⑤ $a+b > 1$
$n$이 자연수일 때, [보기]의 부등식 중 항상 성립하는 것을 모두 고르면?
보기
ㄱ. $\log_{2} (n+3) > \log_{2} (n+2)$
ㄴ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+2)$
ㄷ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+3)$
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
[그림1]과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 12cm, 8cm인 직사각형 모양의 타일이 있다. 아래쪽에서 반지름의 길이가 3cm인 반원 모양을 오려내어 위쪽에 붙이고, 오른쪽에서 반지름의 길이가 1cm인 반원 모양을 오려내어 왼쪽에 붙여 [그림2]와 같은 모양의 타일을 만들었다. 이러한 타일 24개를 겹치지 않고 빈틈없이 이어 붙인 후 직사각형 모양의 벽면에 붙였더니 아래 그림처럼 타일의 가장자리가 벽면의 각 모서리에 꼭 들어맞았다. 이때, 벽면에서 타일이 붙어 있지 않은 흰색 부분의 넓이는 몇 $\text{cm}^{2}$인가?
① $221$
② $231$
③ $241$
④ $251$
⑤ $261$
자연수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$을 다음과 같이 정의한다.
$$A_{n} = \left\{ \left[\dfrac{1^{2}}{n} \right], \left[\dfrac{2^{2}}{n} \right], \left[\dfrac{3^{2}}{n} \right], \cdots , \left[\dfrac{n^{2}}{n} \right] \right\}$$
여기서 $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다. 예를 들면, $A_{1} = \left\{ \left[\dfrac{1^{2}}{1} \right] \right\} = \left\{ 1 \right\}$, $A_{2} = \left\{ \left[\dfrac{1^{2}}{2} \right], \left[\dfrac{2^{2}}{2} \right] \right\} = \left\{ 0, 2 \right\}$이다. 집합 $A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$ 중 $3$을 원소로 갖는 집합을 모두 찾으면?
① $A_{3}$
② $A_{3}$, $A_{4}$
③ $A_{4}$, $A_{5}$
④ $A_{3}$, $A_{5}$
⑤ $A_{3}$, $A_{4}$, $A_{5}$
[그림1]의 연산장치는 입력값이 $A$와 $B$일 때 출력값 $C$를 표에 주어진 것과 같이 결정한다. 이 연산장치 $4$개를 [그림2]와 같이 연결하였다.
출력값이 $T_{1} =1$, $T_{2} =0$이 되는 입력값 $S_{1}$, $S_{2}$를 [보기] 중에서 모두 고르면?
보기
ㄱ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 0$
ㄴ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 1$
ㄷ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 0$
ㄹ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 1$
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄷ, ㄹ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다음은 세 자연수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여
$$P=(b^{2} -a^{2})(c^{2} -a^{2})(c^{2} -b^{2})$$
이 $12$의 배수임을 증명한 것이다.
증명
$a$, $b$, $c$를 각각 $2$로 나누었을 때 나머지는 $\fbox{ ㈎ }$ 같다.
이 중 나머지가 같은 두 수를 $a$와 $b$라고 하면
$b^{2} - a^{2}$은 $4$의 배수이다.
그러므로 $P$도 $4$의 배수이다. $\cdots$ ㉠
다음으로, $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 $3$으로 나누었을 때 나머지를 알아보자.
$a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 각각 $3$으로 나눈 나머지는 $\fbox{ ㈏ }$이므로 $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ 중에는 $3$으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 $2$개가 있다.
그러므로 $P$는 $3$의 배수이다. $\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡으로부터 $P$는 $12$의 배수이다.
위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?
① ㈎ : 모두 / ㈏ : $0$ 또는 $1$
② ㈎ : 모두 / ㈏ : $1$ 또는 $2$
③ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $1$
④ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $2$
⑤ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $1$ 또는 $2$
그림과 같이 길이가 $a$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 선분 $PA$와 선분 $PB$의 중점을 각각 $M$과 $N$이라고 하면, $\overline{PA}^{2} +\overline{PB}^{2} =\fbox{ ㈎ }$이다. 따라서 $\overline{AN}^{2} +\overline{BM}^{2} =\fbox{ ㈏ }$이므로 $\overline{AN} \cdot \overline{BM}$의 최대값은 $\fbox{ ㈐ }$이다.
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?
① ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$
② ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$
③ ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{3}{4} a^{2}$
④ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$
⑤ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$
그림과 같이 $\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 점 $P$에서 변 $AB$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $Q$, 변 $AC$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $R$라고 하자.
$\overline{BP} = x$와 $\overline{PQ} + \overline{PR} = y$에 대하여 $y$를 $x$의 함수로 나타낼 때, 그 그래프의 개형은?
좌표평면에서 중심이 $(a, b)$이고 $x$축에 접하는 원이 두 점 $A (0, 5)$와 $B (8, 1)$을 지난다. 이때, 원의 중심 $(a, b)$와 직선 $AB$ 사이의 거리는? (단, $0 \le a \le 8$)
① $\sqrt{3 }$
② $\sqrt{5 }$
③ $\sqrt{6 }$
④ $\sqrt{7 }$
⑤ $2 \sqrt{2 }$
겨울철에 바람이 불면 바람이 불지 않을 때보다 더 춥게 느껴진다. 이와 같이 실제 느껴지는 온도를 체감온도라고 하며, 기온을 $t$, 풍속을 $v$, 복사량을 $I$라고 할 때 체감온도 $T$는 다음과 같다고 한다.
$$T =t - 4 \sqrt{v } + 12 I$$
어느 해의 대학수학능력시험 날, 어떤 지역의 오후의 기온은 오전보다 $6$도 상승했지만 오후의 풍속이 오전의 $4$배가 되어 체감온도는 변하지 않았다. 이 지역의 그날 오전의 풍속은? (단, 그날 오전과 오후의 복사량 $I$의 값은 같았다.)
① $3$
② $2.75$
③ $2.5$
④ $2.25$
⑤ $2$
광통신에서는 광섬유를 이용하여 신호를 먼 곳까지 보낸다. 신호가 광섬유를 $1$km 지날 때마다 신호의 세기는 $1$km 전의 세기의 $99 \%$가 된다고 하자. 신호의 세기가 처음 세기의 $\dfrac{1}{2}$이 되는 곳에 중계소를 설치하려고 할 때, 처음 신호를 보내는 곳에서 중계소까지 광섬유의 길이는 약 몇 km인가? (단, $\log 2=0.3010$, $\log 9.9=0.9956$으로 계산한다.)
① $68$
② $78$
③ $88$
④ $98$
⑤ $108$
다음은 어떤 상품의 수요와 공급에 관한 시장균형모형을 설명한 것이다.
이 상품의 가격 $P$의 변화에 따른 수요량을 $Q_{1}$, 공급량을 $Q_{2}$라고 하면 아래와 같이 이들을 각각 $P$에 대한 일차함수로 나타낼 수 있다.
$$Q_{1} =a-b P,\,\,\,\,Q_{2} = -c+d P$$
여기서 $a$, $b$, $c$, $d$는 양수이다. 두 함수 $Q_{1}$과 $Q_{2}$의 그래프의 교점 $A$가 제1사분면에 있을 때 시장균형가격이 결정된다.
위의 모형에서 시장균형가격이 결정되기 위한 $a$, $b$, $c$, $d$ 사이의 관계로 알맞은 것은?
① $ad - bc=0$
② $ac - bd=0$
③ $ad - bc > 0$
④ $ad - bc < 0$
⑤ $ac - bd > 0$
전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$와 $B$에 대하여
$$A \cap B^{c} =A,\,\,\,\,n (A)=9,\,\,\,\,n (B)=14$$
일 때, $n (A \cup B)$의 값을 구하시오. (단, $n (X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)
$\log_{2} \dfrac{24}{5} + \log_{2} \dfrac{80}{3}$의 값을 구하시오.
다항식 $f (x)=x^{3} +x^{2} +2x+1$에 대하여 $f (x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{1}$, $f (x)$를 $x+a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{2}$라고 하자. $R_{1} +R_{2} =6$일 때, $f (x)$를 $x-a^{2}$으로 나눈 나머지를 구하시오.
좌표평면에서 다음 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 구하시오.
$$\begin{cases} y \le -| x - 1 | + 3 \\ y \ge | x | \end{cases}$$
두 실수 $x$와 $y$가 방정식 $x - y + 4 = 0$을 만족시킬 때, $x^{2} +y^{2}$의 최소값을 구하시오.
$\triangle ABC$에서 $\angle A=60\degree $, $\overline{AB} =9$, $\overline{AC} =6$일 때 변 $BC$의 길이를 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\sqrt{7} = 2.65$로 계산한다.)
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