2002-11 2003학년도 대학수학능력시험 수리영역[자연계](수학)

2003학년도 대학수학능력시험 수리영역[자연계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 11월 6일 (수)에 시행되었습니다.

2003학년도 대학수학능력시험

수리영역[자연계](수학)

시행 : 2002.11.6(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
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$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{16}$을 간단히 하면?

① $2$

② $4$

③ $\sqrt{2 }$

④ $2 \sqrt{2 }$

⑤ $2 \sqrt{2 }$

이차방정식 $x^{2} -5x-2=0$의 두 근을 $\alpha $와 $\beta $라 할 때, $$\dfrac{1}{\alpha +1} + \dfrac{1}{\beta +1}$$ 의 값은?

① $2$

② $3$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{7}{4}$

⑤ $\dfrac{5}{2}$

두 벡터 $\overrightarrow{a} =(-1, 3)$과 $\overrightarrow{b} =(2, 1)$에 대하여 내적 $$\overrightarrow{a} \bullet \left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$$ 의 값은?

① $11$

② $13$

③ $15$

④ $17$

⑤ $19$

두 행렬 $E= \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$과 $A= \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$이 있다. 두 상수 $a$와 $b$가 $(E+2A)^{2} =aE+bA$를 만족시킬 때, $a+b$의 값은?

① $6$

② $7$

③ $8$

④ $9$

⑤ $10$

그림과 같이 원점을 중심으로 하는 타원의 한 초점을 $F$라 하고, 이 타원이 $y$축과 만나는 한 점을 $A$라고 하자. 직선 $AF$의 방정식이 $y= \dfrac{1}{2} x-1$일 때, 이 타원의 장축의 길이는?

① $4 \sqrt{2}$

② $2 \sqrt{7}$

③ $5$

④ $2 \sqrt{6}$

⑤ $2 \sqrt{5}$

복소평면 위에서 어떤 복소수 $z$를 나타내는 점 $P$의 위치가 그림과 같을 때, [보기]중에서 직선 $OP$ 위에 있는 복소수를 모두 고르면? (단, $z$는 $z$의 켤레복소수이다.)

보기

ㄱ. $z$
ㄴ. $-z$
ㄷ. $\dfrac{1}{z}$
ㄹ. $- \dfrac{1}{z}$

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄷ

③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ

⑤ ㄷ, ㄹ

한 모서리의 길이가 각각 $2$와 $3$인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭지점 $O$와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 $OA$와 $OB$에 대하여 $\angle AOB$의 크기를 $\theta $라고 할 때, $\cos \theta $의 값은?

① $\dfrac{1}{3}$

② $\dfrac{1}{2}$

③ $\dfrac{3}{5}$

④ $\dfrac{2}{3}$

⑤ $\dfrac{3}{4}$

함수 $f (x)$는 연속함수이고 모든 실수 $x$에 대하여 다음 등식이 성립한다. $$f (x)-2 \displaystyle\int_{0}^{x} e^{t} f (t) dt =1$$ 이때, $f^{\prime\prime} (0)$의 값은? (단, $e$는 자연로그의 밑이고, $f^{\prime\prime} (x)$는 $f (x)$의 이계도함수이다.)

① $2$

② $4$

③ $6$

④ $8$

⑤ $10$

중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $R$인 구면거울이 있다. 그림과 같이 $OX$축에 평행하게 입사된 빛이 거울에 반사된 후 축과 만나는 점을 $A$라고 할 때, 선분 $OA$의 길이는? (단, 입사각과 반사각의 크기는 $\theta $로 같고, $0\degree < \theta < 20\degree $이다.)

① $\dfrac{R}{2\cos \theta}$

② $\dfrac{R}{2\sin \theta}$

③ $R (1-\cos \theta)$

④ $\dfrac{R}{2\cos 2 \theta}$

⑤ $\dfrac{R}{2\sin 2 \theta}$

제$1$사분면 위의 점 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$이 주어졌을 때, 자연수 $n$에 대하여 점 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$을 다음과 같이 정의한다. $$\begin{pmatrix}x_{2n-1}\\y_{2n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos 45\degree &-\sin 45\degree \\\sin 45\degree & \cos 45\degree \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2n-2}\\y_{2n-2}\end{pmatrix},\,\,\,\,\begin{pmatrix}x_{2n}\\y_{2n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0 \\0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2n-1}\\y_{2n-1}\end{pmatrix}$$ 이때, 점 $P_{2003}$의 좌표는?

① $(x_{0}, y_{0})$

② $(x_{0}, -y_{0})$

③ $\left(\dfrac{x_{0} -y_{0}}{\sqrt{2}}, \dfrac{x_{0} +y_{0}}{\sqrt{2}} \right)$

④ $\left(\dfrac{x_{0} +y_{0}}{\sqrt{2}}, \dfrac{x_{0} -y_{0}}{\sqrt{2}} \right)$

⑤ $\left(\dfrac{x_{0} +y_{0}}{\sqrt{2}}, \dfrac{-x_{0} +y_{0}}{\sqrt{2}} \right)$

A와 B 두 팀이 축구 경기에서 연장전까지 $0:0$으로 승부를 가리지 못하여 승부차기를 하였다. 각 팀당 $5$명의 선수가 A팀부터 시작하여 $1$명씩 교대로 승부차기를 할 때, B팀이 $5:4$로 이길 확률은? (단, 각 선수의 승부차기는 독립시행이고 성공할 확률은 $0.8$이다.)

① $0.2 \times 0.8^{8}$

② $0.8^{8}$

③ $0.2 \times 0.8^{9}$

④ $0.8^{9}$

⑤ $0.8^{10}$

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f (x)$와 $g (x)$에 대하여 함수 $h (x)$를 다음과 같이 정의한다. $$h (x)= \dfrac{1}{3} f (x)+ \dfrac{2}{3} g (x)$$ [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 어떤 점에서 만나면 $y=h (x)$의 그래프는 그 교점을 지난다.
ㄴ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 모두 $y$축에 대하여 대칭이면 $y=h (x)$의 그래프도 $y$축에 대하여 대칭이다.
ㄷ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$가 모두 일대일 대응이면 $y=h (x)$도 일대일 대응이다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 $a$에 대하여 부등식 $(x-8)(x-15)(x-a) < 0$을 만족시키는 자연수 $x$의 개수를 $f (a)$라고 할 때, $f (a)$의 최소값은?

① $14$

② $12$

③ $10$

④ $8$

⑤ $6$

$n$이 자연수일 때, [보기]의 부등식 중 항상 성립하는 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\log_{2} (n+3) > \log_{2} (n+2)$
ㄴ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+2)$
ㄷ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+3)$

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 제$1$행에는 $1$개, 제$2$행에는 $2$개, $\cdots$, 제$100$행에는 $100$개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 써 넣었다.

(규칙 1) 각 행의 양쪽 끝 직사각형에는 $1$부터 $100$까지의 자연수를 순서대로 써 넣는다.
(규칙 2) 각 행의 안쪽 직사각형에는 바로 위 행의 인접한 직사각형에 쓰인 두 수의 합을 써 넣는다.

이때, $b-a$의 값은?

① $4878$

② $4872$

③ $4864$

④ $4858$

⑤ $4852$

그림과 같이 삼차함수 $y=f (x)$가 극대값 $f (1)=1$과 극소값 $f (3)=-3$을 가지며, $f (0)=-3$이다. 이때, $\displaystyle\int_{0}^{3} {} \left| f^{\prime} (x) \right| dx$의 값은?

① $6$

② $7$

③ $8$

④ $9$

⑤ $10$

[그림1]의 연산장치는 입력값이 $A$와 $B$일 때 출력값 $C$를 표에 주어진 것과 같이 결정한다. 이 연산장치 $4$개를 [그림2]와 같이 연결하였다.
출력값이 $T_{1} =1$, $T_{2} =0$이 되는 입력값 $S_{1}$, $S_{2}$를 [보기] 중에서 모두 고르면?

보기

ㄱ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 0$
ㄴ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 1$
ㄷ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 0$
ㄹ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 1$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄷ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 세 자연수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $$P=(b^{2} -a^{2})(c^{2} -a^{2})(c^{2} -b^{2})$$ 이 $12$의 배수임을 증명한 것이다.

증명

$a$, $b$, $c$를 각각 $2$로 나누었을 때 나머지는 $\fbox{　 ㈎ 　}$ 같다.
이 중 나머지가 같은 두 수를 $a$와 $b$라고 하면
$b^{2} - a^{2}$은 $4$의 배수이다.
그러므로 $P$도 $4$의 배수이다. $\cdots$ ㉠
다음으로, $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 $3$으로 나누었을 때 나머지를 알아보자.
$a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 각각 $3$으로 나눈 나머지는 $\fbox{　 ㈏ 　}$이므로 $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ 중에는 $3$으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 $2$개가 있다.
그러므로 $P$는 $3$의 배수이다. $\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡으로부터 $P$는 $12$의 배수이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① ㈎ : 모두 / ㈏ : $0$ 또는 $1$

② ㈎ : 모두 / ㈏ : $1$ 또는 $2$

③ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $1$

④ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $2$

⑤ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $1$ 또는 $2$

그림과 같이 길이가 $a$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 선분 $PA$와 선분 $PB$의 중점을 각각 $M$과 $N$이라고 하면, $\overline{PA}^{2} +\overline{PB}^{2} =\fbox{　 ㈎ 　}$이다. 따라서 $\overline{AN}^{2} +\overline{BM}^{2} =\fbox{　 ㈏ 　}$이므로 $\overline{AN} \cdot \overline{BM}$의 최대값은 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$

② ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$

③ ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{3}{4} a^{2}$

④ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$

⑤ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$

그림과 같이 $\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 점 $P$에서 변 $AB$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $Q$, 변 $AC$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $R$라고 하자.
$\overline{BP} = x$와 $\overline{PQ} + \overline{PR} = y$에 대하여 $y$를 $x$의 함수로 나타낼 때, 그 그래프의 개형은?

좌표평면에서 중심이 $(a, b)$이고 $x$축에 접하는 원이 두 점 $A (0, 5)$와 $B (8, 1)$을 지난다. 이때, 원의 중심 $(a, b)$와 직선 $AB$ 사이의 거리는? (단, $0 \le a \le 8$)

① $\sqrt{3 }$

② $\sqrt{5 }$

③ $\sqrt{6 }$

④ $\sqrt{7 }$

⑤ $2 \sqrt{2 }$

겨울철에 바람이 불면 바람이 불지 않을 때보다 더 춥게 느껴진다. 이와 같이 실제 느껴지는 온도를 체감온도라고 하며, 기온을 $t$, 풍속을 $v$, 복사량을 $I$라고 할 때 체감온도 $T$는 다음과 같다고 한다. $$T =t - 4 \sqrt{v } + 12 I$$ 어느 해의 대학수학능력시험 날, 어떤 지역의 오후의 기온은 오전보다 $6$도 상승했지만 오후의 풍속이 오전의 $4$배가 되어 체감온도는 변하지 않았다. 이 지역의 그날 오전의 풍속은? (단, 그날 오전과 오후의 복사량 $I$의 값은 같았다.)

① $3$

② $2.75$

③ $2.5$

④ $2.25$

⑤ $2$

광통신에서는 광섬유를 이용하여 신호를 먼 곳까지 보낸다. 신호가 광섬유를 $1$km 지날 때마다 신호의 세기는 $1$km 전의 세기의 $99 \%$가 된다고 하자. 신호의 세기가 처음 세기의 $\dfrac{1}{2}$이 되는 곳에 중계소를 설치하려고 할 때, 처음 신호를 보내는 곳에서 중계소까지 광섬유의 길이는 약 몇 km인가? (단, $\log 2=0.3010$, $\log 9.9=0.9956$으로 계산한다.)

① $68$

② $78$

③ $88$

④ $98$

⑤ $108$

어떤 제품의 생산량이 $x$일 때 생산비를 $f (x)$라고 하자. 이때, $\dfrac{f (x)}{x}$를 평균생산비라 하고, $AC$로 나타낸다. 또, $f (x)$가 미분가능하면 $f^{\prime} (x)$를 생산량이 $x$일 때의 한계생산비라 하고 $MC$로 나타낸다. 평균생산비 $AC= \dfrac{f (x)}{x}$의 그래프가 그림과 같고 $x=q$에서 극소값을 가질 때, $x=q$ 근방에서 한계생산비 $MC=f^{\prime} (x)$의 그래프의 개형은?

전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$와 $B$에 대하여 $$A \cap B^{c} =A,\,\,\,\,n (A)=9,\,\,\,\,n (B)=14$$ 일 때, $n (A \cup B)$의 값을 구하시오. (단, $n (X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty } \left\{ \dfrac{1+(-1)^{n}}{3} \right\}^{n}$의 합을 $S$라고 할 때, $20S$의 값을 구하시오.

다항식 $f (x)=x^{3} +x^{2} +2x+1$에 대하여 $f (x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{1}$, $f (x)$를 $x+a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{2}$라고 하자. $R_{1} +R_{2} =6$일 때, $f (x)$를 $x-a^{2}$으로 나눈 나머지를 구하시오.

방정식 $x^{3} =1$의 한 허근을 $\omega $라고 할 때, 자연수 $n$에 대하여 함수 $f (n)$을 다음과 같이 정의한다. $$f (n)= \dfrac{\omega^{2n}}{\omega^{n} +1}$$ 이때, $f (1)+f (2)+f (3)+ \cdots +f (20)$의 값을 구하시오.

$x$에 대한 방정식 $\ln x-x+20-n=0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 $n$의 개수를 구하시오.

다음은 첫째 항이 $a - 15 d$, 공차가 $d$, 항의 개수가 $31$인 등차수열이다. $$a-15 d,\,\,\,\,\cdots ,\,\,\,\,a-d,\,\,\,\,a,\,\,\,\,a+d,\,\,\,\,\cdots ,\,\,\,\,a+15 d$$ 위 항들의 값의 표준편차를 $\sigma $라고 할 때, $\dfrac{\sigma}{d}$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $d > 0$이고 $\sqrt{5 } =2.24$로 계산한다.)