2002-11 2003학년도 대학수학능력시험 수리영역[인문계](수학)

2003학년도 대학수학능력시험 수리영역[인문계](수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 3학년 학생을 대상으로 2002년 11월 6일 (수)에 시행되었습니다.

2003학년도 대학수학능력시험

수리영역[인문계](수학)

시행 : 2002.11.6(수)
대상 : 고등학교 3학년
출제 : 교육과정평가원

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$\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{16}$을 간단히 하면?

① $2$

② $4$

③ $\sqrt{2 }$

④ $2 \sqrt{2 }$

⑤ $2 \sqrt{2 }$

이차방정식 $x^{2} -5x-2=0$의 두 근을 $\alpha $와 $\beta $라 할 때, $$\dfrac{1}{\alpha +1} + \dfrac{1}{\beta +1}$$ 의 값은?

① $2$

② $3$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $\dfrac{7}{4}$

⑤ $\dfrac{5}{2}$

함수 $f (x)= \dfrac{x+1}{x-1}$에 대하여 $(f \circ f)(10)$의 값은?

① $\dfrac{1}{10}$

② $\dfrac{9}{10}$

③ $\dfrac{10}{9}$

④ $9$

⑤ $10$

두 행렬 $E= \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$과 $A= \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$이 있다. 두 상수 $a$와 $b$가 $(E+2A)^{2} =aE+bA$를 만족시킬 때, $a+b$의 값은?

① $6$

② $7$

③ $8$

④ $9$

⑤ $10$

전체집합 $U$의 세 부분집합 $P$, $Q$, $R$가 각각 세 조건 $p$, $q$, $r$의 진리집합이고, 두 명제 $p \to q$와 $q \to r$가 모두 참일 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $P \subset R$
ㄴ. $(P \cup Q) \subset R^{c}$
ㄷ. $(P^{c} \cap R^{c}) \subset Q^{c}$

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 상수 $a$와 $b$에 대하여 부등식 $x^{2} +ax+b \le 0$의 해가 $-1 \le x \le 3$일 때, 부등식 $x^{2} -ax+b \le 0$의 해는?

① $-3 \le x \le -1$

② $-2 \le x \le 2$

③ $-3 \le x \le 1$

④ $-1 \le x \le 2$

⑤ $1 \le x \le 3$

두 상수 $a$와 $b$에 대하여 두 다항식 $x^{2} +x+a$와 $x^{2} -ax+b$의 최대공약수가 $x-1$일 때, $a+b$의 값은?

① $-1$

② $-2$

③ $-3$

④ $-4$

⑤ $-5$

곡선 $y= \sqrt{x }$와 $x$축 및 직선 $x=4$로 둘러싸인 도형을 $x$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피는?

① $8 \pi$

② $7 \pi$

③ $6 \pi$

④ $5 \pi$

⑤ $4 \pi$

중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $R$인 구면거울이 있다. 그림과 같이 $OX$축에 평행하게 입사된 빛이 거울에 반사된 후 축과 만나는 점을 $A$라고 할 때, 선분 $OA$의 길이는? (단, 입사각과 반사각의 크기는 $\theta $로 같고, $0\degree < \theta < 20\degree $이다.)

① $\dfrac{R}{2\cos \theta}$

② $\dfrac{R}{2\sin \theta}$

③ $R (1-\cos \theta)$

④ $\dfrac{R}{2\cos 2 \theta}$

⑤ $\dfrac{R}{2\sin 2 \theta}$

$(z-1)^{2}$이 실수가 되는 복소수 $z$전체의 집합을 $A$라고 할 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $z \in A$이면 $z-1$은 순허수이다.
ㄴ. $z \in A$이면 $\overline{z} \in A$이다. (단, $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.)
ㄷ. $z_{1} \in A$이고 $z_{2} \in A$이면 $z_{1} z_{2} \in A$이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

A와 B 두 팀이 축구 경기에서 연장전까지 $0:0$으로 승부를 가리지 못하여 승부차기를 하였다. 각 팀당 $5$명의 선수가 A팀부터 시작하여 $1$명씩 교대로 승부차기를 할 때, B팀이 $5:4$로 이길 확률은? (단, 각 선수의 승부차기는 독립시행이고 성공할 확률은 $0.8$이다.)

① $0.2 \times 0.8^{8}$

② $0.8^{8}$

③ $0.2 \times 0.8^{9}$

④ $0.8^{9}$

⑤ $0.8^{10}$

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f (x)$와 $g (x)$에 대하여 함수 $h (x)$를 다음과 같이 정의한다. $$h (x)= \dfrac{1}{3} f (x)+ \dfrac{2}{3} g (x)$$ [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 어떤 점에서 만나면 $y=h (x)$의 그래프는 그 교점을 지난다.
ㄴ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$의 그래프가 모두 $y$축에 대하여 대칭이면 $y=h (x)$의 그래프도 $y$축에 대하여 대칭이다.
ㄷ. $y=f (x)$와 $y=g (x)$가 모두 일대일 대응이면 $y=h (x)$도 일대일 대응이다.

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 $a$와 $b$에 대하여 집합 $A$와 $B$를 다음과 같이 정의한다. $$A= \left\{ x \,|\, (x-a) (x+a) \le 0 \right\},\,\,\,\,B=\left\{ x \,|\, | x-1 | \le b\right\}$$ 이때, $A \cap B= \phi $이기 위한 필요충분조건은?

① $a-b < 1$

② $a-b > 1$

③ $a+b=1$

④ $a+b < 1$

⑤ $a+b > 1$

$n$이 자연수일 때, [보기]의 부등식 중 항상 성립하는 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $\log_{2} (n+3) > \log_{2} (n+2)$
ㄴ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+2)$
ㄷ. $\log_{2} (n+2) > \log_{3} (n+3)$

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 제$1$행에는 $1$개, 제$2$행에는 $2$개, $\cdots$, 제$100$행에는 $100$개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 써 넣었다.

(규칙 1) 각 행의 양쪽 끝 직사각형에는 $1$부터 $100$까지의 자연수를 순서대로 써 넣는다.
(규칙 2) 각 행의 안쪽 직사각형에는 바로 위 행의 인접한 직사각형에 쓰인 두 수의 합을 써 넣는다.

이때, $b-a$의 값은?

① $4878$

② $4872$

③ $4864$

④ $4858$

⑤ $4852$

그림과 같이 삼차함수 $y=f (x)$가 극대값 $f (1)=1$과 극소값 $f (3)=-3$을 가지며, $f (0)=-3$이다. 이때, $\displaystyle\int_{0}^{3} {} \left| f^{\prime} (x) \right| dx$의 값은?

① $6$

② $7$

③ $8$

④ $9$

⑤ $10$

[그림1]의 연산장치는 입력값이 $A$와 $B$일 때 출력값 $C$를 표에 주어진 것과 같이 결정한다. 이 연산장치 $4$개를 [그림2]와 같이 연결하였다.
출력값이 $T_{1} =1$, $T_{2} =0$이 되는 입력값 $S_{1}$, $S_{2}$를 [보기] 중에서 모두 고르면?

보기

ㄱ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 0$
ㄴ. $S_{1} = 0$, $S_{2} = 1$
ㄷ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 0$
ㄹ. $S_{1} = 1$, $S_{2} = 1$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄷ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 세 자연수 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$)에 대하여 $$P=(b^{2} -a^{2})(c^{2} -a^{2})(c^{2} -b^{2})$$ 이 $12$의 배수임을 증명한 것이다.

증명

$a$, $b$, $c$를 각각 $2$로 나누었을 때 나머지는 $\fbox{　 ㈎ 　}$ 같다.
이 중 나머지가 같은 두 수를 $a$와 $b$라고 하면
$b^{2} - a^{2}$은 $4$의 배수이다.
그러므로 $P$도 $4$의 배수이다. $\cdots$ ㉠
다음으로, $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 $3$으로 나누었을 때 나머지를 알아보자.
$a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$을 각각 $3$으로 나눈 나머지는 $\fbox{　 ㈏ 　}$이므로 $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ 중에는 $3$으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 $2$개가 있다.
그러므로 $P$는 $3$의 배수이다. $\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡으로부터 $P$는 $12$의 배수이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① ㈎ : 모두 / ㈏ : $0$ 또는 $1$

② ㈎ : 모두 / ㈏ : $1$ 또는 $2$

③ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $1$

④ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $0$ 또는 $2$

⑤ ㈎ : 적어도 $2$개가 / ㈏ : $1$ 또는 $2$

그림과 같이 길이가 $a$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 선분 $PA$와 선분 $PB$의 중점을 각각 $M$과 $N$이라고 하면, $\overline{PA}^{2} +\overline{PB}^{2} =\fbox{　 ㈎ 　}$이다. 따라서 $\overline{AN}^{2} +\overline{BM}^{2} =\fbox{　 ㈏ 　}$이므로 $\overline{AN} \cdot \overline{BM}$의 최대값은 $\fbox{　 ㈐ 　}$이다.
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은?

① ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$

② ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$

③ ㈎ : $a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{3}{4} a^{2}$

④ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{3}{2} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{\sqrt{5 }}{2} a^{2}$

⑤ ㈎ : $2 a^{2}$ / ㈏ : $\dfrac{5}{4} a^{2}$ / ㈐ : $\dfrac{5}{8} a^{2}$

그림과 같이 $\overline{AB} = \overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 점 $P$에서 변 $AB$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $Q$, 변 $AC$ 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 $R$라고 하자.
$\overline{BP} = x$와 $\overline{PQ} + \overline{PR} = y$에 대하여 $y$를 $x$의 함수로 나타낼 때, 그 그래프의 개형은?

좌표평면에서 중심이 $(a, b)$이고 $x$축에 접하는 원이 두 점 $A (0, 5)$와 $B (8, 1)$을 지난다. 이때, 원의 중심 $(a, b)$와 직선 $AB$ 사이의 거리는? (단, $0 \le a \le 8$)

① $\sqrt{3 }$

② $\sqrt{5 }$

③ $\sqrt{6 }$

④ $\sqrt{7 }$

⑤ $2 \sqrt{2 }$

겨울철에 바람이 불면 바람이 불지 않을 때보다 더 춥게 느껴진다. 이와 같이 실제 느껴지는 온도를 체감온도라고 하며, 기온을 $t$, 풍속을 $v$, 복사량을 $I$라고 할 때 체감온도 $T$는 다음과 같다고 한다. $$T =t - 4 \sqrt{v } + 12 I$$ 어느 해의 대학수학능력시험 날, 어떤 지역의 오후의 기온은 오전보다 $6$도 상승했지만 오후의 풍속이 오전의 $4$배가 되어 체감온도는 변하지 않았다. 이 지역의 그날 오전의 풍속은? (단, 그날 오전과 오후의 복사량 $I$의 값은 같았다.)

① $3$

② $2.75$

③ $2.5$

④ $2.25$

⑤ $2$

광통신에서는 광섬유를 이용하여 신호를 먼 곳까지 보낸다. 신호가 광섬유를 $1$km 지날 때마다 신호의 세기는 $1$km 전의 세기의 $99 \%$가 된다고 하자. 신호의 세기가 처음 세기의 $\dfrac{1}{2}$이 되는 곳에 중계소를 설치하려고 할 때, 처음 신호를 보내는 곳에서 중계소까지 광섬유의 길이는 약 몇 km인가? (단, $\log 2=0.3010$, $\log 9.9=0.9956$으로 계산한다.)

① $68$

② $78$

③ $88$

④ $98$

⑤ $108$

다음은 어떤 상품의 수요와 공급에 관한 시장균형모형을 설명한 것이다.

이 상품의 가격 $P$의 변화에 따른 수요량을 $Q_{1}$, 공급량을 $Q_{2}$라고 하면 아래와 같이 이들을 각각 $P$에 대한 일차함수로 나타낼 수 있다. $$Q_{1} =a-b P,\,\,\,\,Q_{2} = -c+d P$$ 여기서 $a$, $b$, $c$, $d$는 양수이다. 두 함수 $Q_{1}$과 $Q_{2}$의 그래프의 교점 $A$가 제1사분면에 있을 때 시장균형가격이 결정된다.

위의 모형에서 시장균형가격이 결정되기 위한 $a$, $b$, $c$, $d$ 사이의 관계로 알맞은 것은?

① $ad - bc=0$

② $ac - bd=0$

③ $ad - bc > 0$

④ $ad - bc < 0$

⑤ $ac - bd > 0$

전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$와 $B$에 대하여 $$A \cap B^{c} =A,\,\,\,\,n (A)=9,\,\,\,\,n (B)=14$$ 일 때, $n (A \cup B)$의 값을 구하시오. (단, $n (X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty } \left\{ \dfrac{1+(-1)^{n}}{3} \right\}^{n}$의 합을 $S$라고 할 때, $20S$의 값을 구하시오.

다항식 $f (x)=x^{3} +x^{2} +2x+1$에 대하여 $f (x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{1}$, $f (x)$를 $x+a$로 나누었을 때의 나머지를 $R_{2}$라고 하자. $R_{1} +R_{2} =6$일 때, $f (x)$를 $x-a^{2}$으로 나눈 나머지를 구하시오.

방정식 $x^{3} =1$의 한 허근을 $\omega $라고 할 때, 자연수 $n$에 대하여 함수 $f (n)$을 다음과 같이 정의한다. $$f (n)= \dfrac{\omega^{2n}}{\omega^{n} +1}$$ 이때, $f (1)+f (2)+f (3)+ \cdots +f (20)$의 값을 구하시오.

$x$에 대한 삼차방정식 $x^{3} -6x^{2} -n=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $n$의 개수를 구하시오.

다음은 첫째 항이 $a - 15 d$, 공차가 $d$, 항의 개수가 $31$인 등차수열이다. $$a-15 d,\,\,\,\,\cdots ,\,\,\,\,a-d,\,\,\,\,a,\,\,\,\,a+d,\,\,\,\,\cdots ,\,\,\,\,a+15 d$$ 위 항들의 값의 표준편차를 $\sigma $라고 할 때, $\dfrac{\sigma}{d}$의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $d > 0$이고 $\sqrt{5 } =2.24$로 계산한다.)