1991-11 대학수학능력시험 제4차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제4차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1991년 11월 27일 (수)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제4차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1991.11.27(수)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

“모든 중학생은 고등학교에 진학한다.”의 부정인 명제는?

① 고등학교에 진학하는 중학생은 없다.

② 어떤 중학생은 고등학교에 진학한다.

③ 고등학교에 진학하지 않는 중학생도 있다.

④ 모든 중학생은 고등학교에 진학하지 않는다.

⑤ 고등학교에 진학하지 않는 중학생은 없다.

$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$일 때, 다음 식의 값은? $$\dfrac{\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{y^{3}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}$$

① $3\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$

② $3\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$

③ $9$

④ $5\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$

⑤ $7\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$

다음 명제 중 참인 것은?

① $\sin x=\sin y$이면 $x=y$이다.

② $\alpha$가 순허수이면 $\overline{\alpha}=\alpha$이다. (단, $\overline{\alpha}$는 $\alpha$의 켤레복소수)

③ $x>y$이면 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{y}$이다.

④ $0<x<1$이면 $\log_{\tfrac{1}{3}}x>\log_{\tfrac{1}{4}}x$이다.

⑤ $x=3^{(3^{3})}$이면 $x^{\tfrac{1}{3}}=3^{3}$이다.

실수에서 정의된 함수 $f(x)$의 값이 항상 양이고, 임의의 실수 $a$, $b$에 대하여 $$f(a+b)=f(a)f(b)$$ 인 성질을 만족할 때, 다음 중 참이 아닌 것은?

① $f(0)=1$

② $f(-a)=\dfrac{1}{f(a)}$

③ $f(a)=\sqrt{f(2a)}$

④ $b>a$이면 $f(b)>f(a)$

⑤ $f(3a)=\left\{f(a)\right\}^{3}$

오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변의 길이를 $10\%$ 늘이고, 다른 한 변의 길이는 $10\%$ 줄여서 새로운 삼각형을 만들 때, 삼각형의 넓이는?

① $1\%$ 감소한다.

② $1\%$ 증가한다.

③ $11\%$ 감소한다.

④ $11\%$ 증가한다.

⑤ 변화가 없다.

어떤 농부가 길이 $700$m의 철망을 가지고, 오른쪽 그림과 같이 네 개의 작은 직사각형으로 이루어진 직사각형 모양의 가축의 우리를 만들려고 한다. 이때 전체 우리의 넓이를 최대로 하는 바깥 직사각형의 가로, 세로의 길이 중 짧은 것은 몇 m인가?

① $60$

② $70$

③ $80$

④ $90$

⑤ $100$

$\triangle ABC$의 넓이 $S$는 $S=\dfrac{a^{2}\sin B \sin C}{2\sin (B+C)}$로 나타낼 수 있다. 이것의 증명 과정은 다음과 같다.

증명

사인법칙에 의하여
$c=\fbox{\phantom{$\dfrac{11}{2}$}}=\dfrac{a\sin C}{\sin \left\{180\degree-(B+C)\right\}}=\dfrac{a\sin C}{\sin (B+C)}$
그러므로
$S=\dfrac{1}{2}\fbox{\phantom{$\dfrac{11}{2}$}}=\dfrac{1}{2}a\dfrac{a \sin C}{2\sin (B+C)}\sin B=\dfrac{a^{2}\sin B \sin C}{2\sin (B+C)}$

위에서 $\fbox{\phantom{AA}}$ 안에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $\dfrac{a\sin B}{\sin C}$, $bc\sin C$

② $\dfrac{a\sin C}{\sin B}$, $bc\sin B$

③ $\dfrac{a\sin C}{\sin B}$, $ab\sin C$

④ $\dfrac{a\sin A}{\sin C}$, $ac\sin B$

⑤ $\dfrac{a\sin C}{\sin A}$, $ac\sin B$

오른쪽 그림과 같이 직사각형의 내부에 임의의 선분이 한 변에 평행하게 놓여 있다. 선분의 끝점과 꼭지점 사이의 거리를 $a$, $b$, $c$, $d$로 나타낼 때, 다음 중 항상 성립하는 것은?

① $\sqrt{a}+\sqrt{c}=\sqrt{b}+\sqrt{d}$

② $a+c=b+d$

③ $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}$

⑤ $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{d^{2}}$

부등식 $\log_{2}(2\sin^{2}x+\cos x)>1$의 해는? (단, $0\le x<2\pi$)

① $0\le x<\dfrac{\pi}{3}$ 또는 $\dfrac{5}{3}\pi <x< 2\pi$

② $0\le x<\dfrac{\pi}{3}$

③ $\dfrac{2}{3}\pi <x< \dfrac{4}{3}\pi$

④ $\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3}{2}\pi$

⑤ $\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $\dfrac{3}{2}\pi <x< \dfrac{5}{3}\pi$

길이가 $a$인 선분이 있다. 첫 번째 시행에서 이 선분을 $3$등분하고 그 중간 부분을 버린다. 두 번째 시행에서는 첫 번째 시행의 결과로 남은 두 선분을 각각 $3$등분하고 그 중간부분을 버린다. 이와 같은 과정을 계속한다고 했을 때, 20번째 시행 후 남은 선분들의 길이의 합은?

① $\dfrac{1}{20^{2}}a$

② $\dfrac{1}{2^{20}}a$

③ $\dfrac{2}{3^{20}}a$

④ $\dfrac{2^{20}}{3^{20}}a$

⑤ $\left(1-\dfrac{1}{3^{20}}\right)a$

평면 위에서 질량이 같은 질점들을 한 점을 중심으로 가장 쉽게 회전시키려면 각 점으로부터 회전중심까지의 거리의 제곱의 합이 가장 작아야 한다. 평면 위의 점 $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,1)$에 각각 질량이 같은 질점이 놓여 있을 때, 이들 세 질점을 가장 쉽게 회전시키는 회전중심 $P$의 좌표는?

① $P\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)$

② $P\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right)$

③ $P\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

④ $P\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$

⑤ $P\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{101}ni^{n}$를 계산하면? (단, $i^{2}=-1$)

① $50+50i$

② $51+50i$

③ $51+51i$

④ $50+51i$

⑤ $49+49i$

한 원 $O$에서 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴 $OAB$를 생각하자. $0< \theta \le \fbox{\phantom{M}}$일 때, 부채꼴 $OAB$와 넓이가 같은 삼각형 $OAC$가 존재한다. (단, 점 $C$는 원 위의 점이다.) $\fbox{\phantom{M}}$ 안에 알맞은 최대의 수는?

① $1$

② $\dfrac{\pi}{3}$

③ $\dfrac{\pi}{2}$

④ $2$

⑤ $\dfrac{2\pi}{3}$

$a_{n}$은 $1$부터 $n$까지의 자연수를 모두 곱한 수의 일의 자리수이다. 이때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{10^{n}}$의 값은?

① $0.12$

② $0.1264$

③ $0.\dot{1}\dot{2}$

④ $0.\dot{1}26\dot{4}$

⑤ 무한대로 발산한다.

$x$, $y$에 대한 연립방정식 $$\begin{cases}ax+by=t\\cx+dy=t^{2}\end{cases}$$에서 계수로 이루어진 행렬 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$의 역행렬은 $A^{-1}=\begin{pmatrix}4&\dfrac{1}{3}\\2&\dfrac{2}{3}\rule{0pt}{3.5ex}\end{pmatrix}$이다. 실수 $t$가 변할 때, $x+y$의 최소값은?

① $-12$

② $-9$

③ $-3$

④ $0$

⑤ $3$

다음 중 임의의 실수 $a$, $b$에 대하여 부등식 $$f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\le \dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$ 를 만족하는 함수 $y=f(x)$의 그래프가 될 수 없는 것은?

실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 최대 정수를 $[x]$로 나타내자. 좌표평면 위에 방정식 $$[x]^{2}+[y]^{2}=1$$ 을 만족하는 점 $(x,y)$의 집합을 빗금으로 나타낸 것은? (단, 점선은 영역에 포함되지 않는다.)

포물선 $y=\dfrac{1}{8}(x^{2}-2x-3)$ 위에 꼭지점이 아닌 점 $P_{1}(x_{1},y_{1})$을 임의로 택하고 그 점에서의 접선과 $x$축과의 교점을 $(x_{2},0)$이라 하자. 또 포물선 위의 점 $P(x_{2},y_{2})$에서의 접선과 $x$축과의 교점을 $(x_{3},0)$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하면 수열 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$이 얻어진다. 다음 그림은 $x_{1}=6$일 때의 예를 보여주고 있다.
그러면 $x_{1}=\dfrac{1}{2}$일 때, $n$이 커짐에 따른 $x_{n}$의 변화 상태는?

① $-1$로 가까워진다.

② $0$으로 가까워진다.

③ $1$로 가까워진다.

④ $3$으로 가까워진다.

⑤ 음의 무한대로 발산한다.

극한값 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}(2^{n}+3^{n})^{1\over n}$은 다음 성질 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 이용해서 구할 수 있다.

성질 Ⅰ : 모든 자연수 $n$에 대해서 $a_{n}\le b_{n}\le c_{n}$이고, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}c_{n}=\alpha$이면 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_{n}=\alpha$이다.
성질 Ⅱ : $a>0$, $b>0$이면 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}a\cdot b^{1\over n}=a$이다.
성질 Ⅲ : 모든 자연수 $n$에 대해서 $0< a\le b$이면 $b\le (a^{n}+b^{n})^{1\over n}\le b\cdot 2^{1\over n}$이다.

이때 위의 성질 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 어떤 순서로 적용해야 하는가?

① Ⅰ$\to$Ⅱ$\to$Ⅲ

② Ⅱ$\to$Ⅰ$\to$Ⅲ

③ Ⅲ$\to$Ⅱ$\to$Ⅰ

④ Ⅲ$\to$Ⅰ$\to$Ⅱ

⑤ Ⅰ$\to$Ⅲ$\to$Ⅱ

어느 관광지에는 $1$, $2$ 두 지점 사이에 그림과 같이 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$의 관광 코스가 있다. $i$($i$는 $1$ 또는 $2$)지점에서 $j$($j$는 $1$ 또는 $2$)지점까지 갈 수 있는 관광 코스의 수를 $(i, j)$성분으로 하는 행렬을 $A$라고 하면 $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}$이다. $i$지점을 출발하여 두 코스를 이어서 관광(같은 코스를 두 번 관광하는 경우도 포함)하고 $j$지점에서 관광을 마치는 방법의 수를 $(i, j)$성분으로 하는 행렬은 다음 중 어느 것인가?

① $2A$

② $A^{2}$

③ $A+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

④ $2A+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$

⑤ $A^{2}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$