1992-11 대학수학능력시험 제7차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)

대학수학능력시험 제7차 실험평가 수리ㆍ탐구영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 교육과정평가원에서 출제하였으며,
고등학교 2학년 학생을 대상으로 1992년 11월 10일 (화)에 시행되었습니다.

대학수학능력시험 제7차 실험평가

수리ㆍ탐구영역(수학)

시행 : 1992.11.10(화)
대상 : 고등학교 2학년
출제 : 교육과정평가원

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
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$(1+i)^{16}$의 전개식을 이용하여, 이항계수들의 식 $${}_{16}\text{C}_{0}-{}_{16}\text{C}_{2}+{}_{16}\text{C}_{4}-{}_{16}\text{C}_{6}+\cdots-{}_{16}\text{C}_{14}+{}_{16}\text{C}_{16}$$ 의 값을 구하면? (단, $i$는 허수단위이다.)

① $48$

② $96$

③ $144$

④ $256$

⑤ $289$

$\displaystyle\sum_{n=2}^{50}\log_{10}\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$의 값은?

① $-3+\log_{10}51$

② $-2+\log_{10}51$

③ $-1+\log_{10}50$

④ $-\dfrac{1}{2}+\log_{10}49$

⑤ $-\dfrac{1}{3}+\log_{10}48$

자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 있다. $p(n)$, $p(n+1)$ 중 어느 하나가 참이면 $p(n+2)$가 참임을 알았다. 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 참이기 위한 필요충분조건은?

① $p(1)$이 참이다.

② $p(2)$가 참이다.

③ $p(1)$과 $p(2)$가 참이다.

④ $p(1)$과 $p(3)$이 참이다.

⑤ $p(2)$와 $p(3)$이 참이다.

세 자연수 $a$, $b$, $c$가 다음 두 조건 $$\begin{cases}a^{2}-b^{2}-c^{2}=abc&\cdots\text{ ⑴}\\a^{2}=2(b+c)&\cdots\text{ ⑵}\end{cases}$$ 를 만족할 때, $a+b+c$의 값을 다음과 같이 구하려고 한다.

풀이

먼저 $abc>0$이므로
조건 ⑴로 부터 $a>b$이고 $\fbox{　㉮　}$이다.
따라서 $2a>b+c$이고,
조건 ⑵로 부터 $4a>2(b+c)=a^{2}$이다.
이로부터 $0<a<4$를 얻는다.
그런데 $a$는 $\fbox{　㉯　}$이어야 하므로 $a=\fbox{　㉰　}$이다.
따라서 $a+b+c=\fbox{　㉱　}$이다.

위 풀이과정에서 ㉮, ㉯, ㉰, ㉱에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

① $a>c$, 짝수, $2$, $4$

② $a>c$, 홀수, $3$, $5$

③ $b>c$, 짝수, $2$, $4$

④ $b>c$, 홀수, $3$, $5$

⑤ $b=c$, 짝수, $2$, $4$

그림과 같이 선분 $AB$의 길이와 같은 길이의 실을 점 $P$와 T자의 한 끝 $B$에 고정시킨다. 그리고 연필로 실을 팽팽하게 유지하면서 직선 $l$을 따라 T자를 수평으로 이동시킬 때, 점 $Q$가 그리는 도형은 다음 중 어느 것의 일부인가?

① $l$에 평행인 직선

② $l$에 수직인 직선

③ $P$가 초점인 포물선

④ $A$가 초점인 포물선

⑤ $P$가 중심인 원

좌표평면에 세 점 $A(1,8)$, $B(0,-1)$, $C(1,0)$을 꼭지점으로 하는 $\triangle ABC$가 있다. 직선 $y=a$가 $\triangle ABC$의 넓이를 이등분할 때, $a$의 값은?

① $1$

② $\dfrac{3}{2}$

③ $2$

④ $\dfrac{5}{2}$

⑤ $3$

서로 다른 두 실수 $x$, $y$에 대하여 큰 수를 $x \lor y$, 작은 수를 $x \land y$로 나타내기로 하자. 다음 두 조건 $$\begin{cases}x \lor y=2x^{2}+y^{2}\\x\land y =x+y-1\end{cases}$$ 을 만족하는 실수 $x$, $y$의 합 $x+y$의 값은?

① $-2$

② $-1$

③ $0$

④ $1$

⑤ $2$

어느 공장에서 두 종류의 제품 A, B를 생산하고 있다. 각 제품은 기계Ⅰ을 거친 후 기계Ⅱ에서 완제품이 되며, 각 제품 한 개를 생산하는데 각 기계별로 소요되는 시간과 얻게 되는 이익은 오른쪽 표와 같다. 하루 동안 기계Ⅰ의 최대 가동 시간은 20시간이고 기계Ⅱ의 최대 가동시간은 21시간이다. 이 공장에서 제품을 생산하여 얻을 수 있는 하루의 최대 이익은?

제품	기계Ⅰ(시간)	기계Ⅱ (시간)	이익 (만원)
A	$0.3$	$0.4$	$3$
B	$0.7$	$0.6$	$5$

① $160$만원

② $162$만원

③ $164$만원

④ $166$만원

⑤ $168$만원

$A$는 $2\times 2$행렬이고 $A^{2}=O$이다. 다음 [보기]에 있는 명제 중 참인 것을 모두 고르면?

보기

가. $A=O$이다.
나. $A$는 역행렬을 갖지 않는다.
다. $I-A$는 역행렬을 갖는다.
라. $I+A$는 역행렬을 갖지 않는다.

(단, $I$는 2차의 단위행렬이다.)

① 가, 나

② 나, 다

③ 나, 라

④ 가, 나, 다

⑤ 가, 나, 라

$x_{1}=7$, $x_{2}=a$이고 $$\dfrac{x_{n}+x_{n+2}}{x_{n}\cdot x_{n+2}}=\dfrac{2}{x_{n+1}},\,\,n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$$ 을 만족하는 양수로 된 수열 $\left\{x_{n}\right\}$이 있다. 이때, 집합 $\left\{n\,|\,\text{$x_{n}$은 정수}\right\}$가 무한집합이 되게 하는 $a$의 개수는?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ 없다.

⑤ 무수히 많다.

양수 $x$에 대하여 $I(x)$는 $x$의 상용로그의 정수부분을 나타낸다. 좌표평면에서 $$\left\{(x,y)\,|\,\left\{I(x)\right\}^{2}+\left\{I(y)\right\}^{2}=1\right\}$$ 이 나타내는 영역의 넓이는?

① $1628.2$

② $1630.4$

③ $1632.6$

④ $1634.8$

⑤ $1636.2$

그림과 같이 마을 $P$를 동심원 모양으로 돌아 흐르는 강 건너에 고속도로가 있다. 마을 $P$에서 고속도로까지 최단거리의 도로를 건설하려고 하는데, 지형적인 이유로 교량의 위치는 다음 그림의 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 중 어느 한 곳이어야 한다. 가장 좋은 위치는? (단, $O$는 동심원의 중심이고, 교량은 강을 수직으로 건너도록 설계하며, 고속도로에 대하여 $\overline{PA}$는 평행, $\overline{PE}$는 수직이고 또 $C$는 $\overline{OP}$의 연장선이 강과 만난 점이다.)

① $A$

② $B$

③ $C$

④ $D$

⑤ $E$

실수에서 정의된 함수 $f(x)$가 임의의 실수 $x$에 대하여 $$f(\sin x)=\cos 6x$$ 를 만족할 때, 다음 중 $f(\cos x)$는?

① $\cos 6x$

② $-\cos 6x$

③ $\sin 6x$

④ $-\sin 6x$

⑤ $\sin 12x$

아래 그림을 이용하여 $$\left[\dfrac{1\cdot17}{23}\right]+\left[\dfrac{2\cdot17}{23}\right]+\cdots+\left[\dfrac{22\cdot17}{23}\right]$$ 의 값을 구하면? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대정수이다.)

① $168$

② $176$

③ $189$

④ $195$

⑤ $204$

밑면의 반지름이 각각 $R_{1}$, $R_{2}$ ($R_{1}<R_{2}$)인 직원뿔 A, B가 있다. 직원뿔 A에 내접하는 원기둥 중에서 부피가 최대인 것의 밑면의 반지름을 $r_{1}$, 직원뿔 B에 내접하는 원기둥 중에서 부피가 최대인 것의 밑면의 반지름을 $r_{2}$라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① $r_{1}R_{2}=r_{2}R_{1}$

② $r_{1}R_{2}>r_{2}R_{1}$

③ $r_{1}r_{2}R_{1}=R_{2}$

④ $r_{1}R_{1}=r_{2}R_{2}$

⑤ $r_{1}R_{1}>r_{2}R_{2}$

$f(x)=x^{3}+x-1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $$\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int_{1}^{9}g(x)dx$$ 의 값은?

① $14$

② $15$

③ $16$

④ $17$

⑤ $18$

$y=3(x+1)^{2}$으로 주어진 포물선 $P$가 있다. 이 포물선 $P$를 $x$축, $y$축 및 원점에 대하여 각각 대칭이동하여 얻은 세 개의 포물선과 포물선 $P$로 둘러싸인 도형을 $S$라 하자. 포물선 $P$를 $x$축 방향으로 $1$, $y$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 포물선이 도형 $S$의 넓이를 이등분할 때, $a$의 값은?

① $1-2\sqrt{3}$

② $2-2\sqrt{3}$

③ $3-2\sqrt{3}$

④ $2\sqrt{3}-4$

⑤ $\sqrt{3}-2$

다항함수 $f(x)$가 임의의 실수 $x$에 대하여 $$f(x)=3x^{2}+\displaystyle\int_{0}^{1}(2x-1)f(t)dt$$ 를 만족할 때, $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

아래 그림과 같이 $3$등분된 세 원판에 숫자들이 쓰여 있다. 이제 A, B, C 세 사람이 A대B, B대C 및 C대A의 순으로 두 사람씩 시합을 하는데, 각각 자기의 원판에 화살을 쏘아 맞힌 원판의 숫자가 큰 사람이 이기는 것으로 할 때, 다음 설명 중 옳은 것은?

① A대B의 시합에서 B가 이길 확률이 크다.

② B대C의 시합에서 C가 이길 확률이 크다.

③ C대A의 시합에서 A가 이길 확률이 크다.

④ C대A의 시합에서 C가 이길 확률이 크다.

⑤ 어느 시합에서나 이길 확률은 $\dfrac{1}{2}$씩으로 누구에게나 같다.

A, B 두 팀이 겨루는 어떤 경기에서 4번의 게임을 먼저 이기는 팀이 우승팀이 되고 상대 팀은 준우승팀이 된다. 또 상금은 우승팀 대 준우승팀이 5대3의 비로 받게 된다. 그런데 이번 경기에서는 A팀이 두 번 이기고 B팀이 한 번 이긴 상태에서 부득이 경기를 중단하게 되었다. 각 게임은 비기는 경우가 없도록 진행되며 두 팀의 이길 확률은 게임마다 항상 반반씩이라고 가정할 때, 각 팀의 기대금액에 근거한 상금의 합리적 분배 방법은?

① $A:B=1:1$

② $A:B=2:1$

③ $A:B=5:3$

④ $A:B=11:5$

⑤ $A:B=35:29$