2002-11 2002학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수리영역(수학)

2002학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수리영역(수학)의 문제를 제공합니다.
본 자료는 경기도교육청에서 출제하였으며,
고등학교 1학년 학생을 대상으로 2002년 11월 20일 (수)에 시행되었습니다.

2002학년도 11월 고1 전국연합학력평가

수리영역(수학)

시행 : 2002.11.20(수)
대상 : 고등학교 1학년
출제 : 경기도교육청

사진, 그림, 듣기파일 등은 빠져 있으며,
표, 밑줄 등은 원본과 다를 수 있습니다.
원본 파일을 참고하시기 바랍니다.
원본 파일은 https://korea-test.tistory.com/에 있습니다.

$\dfrac{2}{\sqrt{5} +1} + \dfrac{2}{\sqrt{5} -1}$를 간단히 하면?

① $1$

② $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

③ $2$

④ $\sqrt{5}$

⑤ $2 \sqrt{5}$

$x+y=3$, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} =3$일 때, $xy$의 값은?

① $\dfrac{1}{9}$

② $\dfrac{1}{3}$

③ $1$

④ $3$

⑤ $9$

이차부등식 $x^{2} +2x+a < 0$의 해가 $-4 < x < b$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수)

① $-6$

② $-3$

③ $1$

④ $2$

⑤ $4$

학생 $5$명의 수학 점수의 평균은 $80$점이고, 이들 점수의 편차는 다음과 같다. $$-2,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,0,\,\,\,\,\,\,-1,\,\,\,\,\,\,1$$ 이 때, 학생 $5$명의 수학 점수의 표준편차는?

① $\dfrac{2}{5}$(점)

② $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$(점)

③ $1$(점)

④ $\sqrt{2}$(점)

⑤ $\sqrt{5}$(점)

두 다항식 $x^{3} +2x^{2} -x-2$, $x^{3} -x^{2} -4x+4$의 최대공약수는?

① $x-1$

② $x+1$

③ $x^{2} -1$

④ $x^{2} +x-2$

⑤ $x^{2} -x-2$

직각을 낀 두 변의 길이가 $a$, $b$인 직각삼각형에 한 변의 길이가 $c$인 정사각형이 오른쪽 그림과 같이 내접하고 있다. 이 때, $c$를 $a$와 $b$에 대한 식으로 나타내면?

① $c= \sqrt{ab}$

② $c= \sqrt{a} + \sqrt{b}$

③ $c= \dfrac{a+b}{2}$

④ $c= \dfrac{a+b}{ab}$

⑤ $c= \dfrac{ab}{a+b}$

이차함수 $f (x)=x^{2} +ax+b$에 대하여 $f (-4)=f (2)$가 성립할 때, $f (x)$의 최소값은? (단, $a$, $b$는 상수)

① $f (-8)$

② $f (-2)$

③ $f (-1)$

④ $f (0)$

⑤ $f (6)$

다음은 A, B, C 세 사람의 $3$회에 걸친 수행평가 점수를 수직선 위에 나타낸 것이다.
A, B, C의 수행평가 점수의 표준편차를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a$, $b$, $c$의 대소관계는?

① $a=b=c$

② $a=b < c$

③ $a < b=c$

④ $a < b < c$

⑤ $a < c < b$

모든 실수 $x$에 대하여 등식 $$4x^{2} +3x-4=a(x+1)(x-2)+bx(x-2)+cx(x+1)$$ 이 성립할 때, $abc$의 값은?

① $-4$

② $-6$

③ $-8$

④ $-10$

⑤ $-12$

복소수 $z_{1} =1+2i$에 대하여 $$z_{2} = \overline{z_{1}} +(1+i),\,\,\,\,z_{3} = \overline{z_{2}} +(1+i),\,\,\,\,z_{4} = \overline{z_{3}} +(1+i)$$ 라 하자. 같은 방법으로 $z_{5}$, $z_{6}$, $\cdots$을 차례로 정할 때, $z_{100}$은? (단, $i= \sqrt{-1}$이고 $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.)

① $100+i$

② $100-i$

③ $100+2i$

④ $101-i$

⑤ $101+2i$

$x$에 대한 삼차방정식 $x^{3} -ax^{2} +3x+2=0$의 세 근을 $1$, $\alpha$, $\beta $라 할 때, $\alpha^{2} + \beta^{2}$의 값은?

① $29$

② $31$

③ $33$

④ $35$

⑤ $37$

두 일차함수 $y =ax+c$, $y =bx+c$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 이차함수 $y=ax^{2} +bx+c$의 그래프의 개형은?

집합 $A= \left\{z\, |\, z=a+bi, a^{2} +b^{2} =1\text{, $a$, $b$는 실수}\right\}$가 있다. 이 때, [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, $i= \sqrt{-1}$이고 $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.)

보기

ㄱ. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i \in A$
ㄴ. $z \in A$이면 $\overline{z} \in A$
ㄷ. $z \in A$이면 $z \overline{z} = 1$

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

$a$, $b$, $c$가 실수일 때, $x$에 대한 방정식 $$(x-a)(x+b)(x-c)=(x+a)(x-b)(x+c)$$ 의 근에 대한 설명으로 [보기] 중 옳은 것을 모두 고르면?

보기

ㄱ. $a=1$, $b=1$, $c=2$이면 실근을 갖지 않는다.
ㄴ. $abc=0$이면 실근을 갖는다.
ㄷ. $abc \ne 0$이고 $a=b=c$이면 실근을 갖는다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면에서 원 $x^{2} +y^{2} -4x-6y=0$에 내접하는 직사각형 $OABC$가 있다. 이 때, 직선 $OB$의 기울기는? (단, $O$는 원점이고 선분 $OB$는 직사각형의 대각선이다.)

① $\dfrac{1}{2}$

② $1$

③ $\dfrac{3}{2}$

④ $2$

⑤ $\dfrac{5}{2}$

아래 그림과 같은 판이 있다.
자연수가 적힌 카드를 다음 규칙에 따라 위 판에서 이동시킨다.

㈎ $\fbox{2}$에서 출발하여 이동시킨다.
㈏ 카드에 적힌 수가 칸 안의 수로 나누어 떨어지면 오른쪽으로 한 칸, 나누어 떨어지지 않으면 아래쪽으로 한 칸 이동시킨다.
㈐ ㈏과정을 반복하여 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{100}$ 중 어느 하나에 도착하면 더 이상 이동시키지 않는다.

예를 들면, $3$이 적힌 카드는 $A_{2}$에 도착한다. 위의 규칙에 따라 $1$부터 $100$까지의 자연수가 적힌 카드를 이동시킬 때, $A_{3}$에 도착하는 카드는 몇 장인가?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

다음은 두 홀수 $a$, $b$에 대하여 두 수 $A$, $B$를 $$A= \dfrac{ab-1}{2},  B= \dfrac{a-1}{2} + \dfrac{b-1}{2}$$ 라 할 때, $\fbox{　 ㈏ 　}$임을 증명한 것이다.

증명

$a=2m+1$, $b=2n+1$ ($m$, $n$은 정수)라 하면
$A= \dfrac{ab-1}{2} =\fbox{　 ㈎ 　}+m+n$
$B= \dfrac{a-1}{2} + \dfrac{b-1}{2}=m+n$
$\therefore$ $A-B=\fbox{　 ㈎ 　}$
따라서, $\fbox{　　 ㈏ 　　}$이다.

이 때, ㈏에 알맞은 것은?

① $A$, $B$는 모두 홀수

② $A$, $B$는 모두 짝수

③ $A$, $B$는 모두 짝수이거나 모두 홀수

④ $A$, $B$ 중 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수

⑤ $A$, $B$는 서로 다른 정수

오른쪽 그림에서 삼각형 $ABC$와 삼각형 $OBC$는 정삼각형이다. 다음은 부채꼴 $OBC$의 호 위의 임의의 점 $P$에 대하여 $$\overline{PA}^{2} = \overline{PB}^{2} + \overline{PC}^{2}$$ 이 성립함을 증명한 것이다.

증명

점 $C$를 중심으로 삼각형 $ABP$를 시계방향으로 $60\degree $ 회전이동한 것을 삼각형 $BOQ$라 하자.
이 때, $\angle BPC =\fbox{　 ㈎ 　}$이고,
삼각형 $CPQ$는 $\fbox{　 ㈏ 　}$이다.
따라서, 삼각형 $QBP$에서
$\overline{BQ}^{2} = \overline{PB}^{2} + \overline{PQ}^{2}$이 성립한다.
그런데, $\overline{BQ} = \overline{PA}$, $\overline{PQ} = \overline{PC}$이므로
$\overline{PA}^{2} = \overline{PB}^{2} + \overline{PC}^{2}$

위 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은?

① $120\degree $  정삼각형

② $120\degree $  직각삼각형

③ $145\degree $  정삼각형

④ $150\degree $  직각삼각형

⑤ $150\degree $  정삼각형

집합 $S= \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2^{2}}, \dfrac{1}{2^{3}}, \dfrac{1}{2^{4}} \right\}$의 공집합이 아닌 서로 다른 부분집합을 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $\cdots$, $A_{31}$이라 하자. 이 때, 각각의 집합 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $\cdots$, $A_{31}$에서 최소인 원소를 뽑아 이들을 모두 더하면?

① $\dfrac{1}{2}$

② $1$

③ $2$

④ $4$

⑤ $5$

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$가 있다. 변 $BC$, $CD$ 위에 각각 점 $P$, $Q$를 잡아 삼각형 $APQ$가 정삼각형이 되도록 하였다. 이 때, 선분 $BP$의 길이는?

① $2- \sqrt{3}$

② $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

③ $\sqrt{2} -1$

④ $\dfrac{1}{4}$

⑤ $\dfrac{1}{3}$

아래 성질을 이용하여, $a$, $b$가 정수일 때 $a^{2} +b^{2}$의 값이 될 수 없는 것을 다음 중에서 찾으면?

$n$이 정수일 때, $n^{2}$을 $4$로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$이다.

① $116$

② $202$

③ $295$

④ $369$

⑤ $421$

오른쪽 그림과 같은 원형의 공원이 있다. 이 공원의 둘레의 길이는 $1000$m이고 공원의 가장자리 A지점, B지점, C지점에 각각 매점이 설치되어 있다. 그림에서 매점간의 거리는 원주를 따라 잰 거리이다. 공원 안의 사람들이 매점에 갈 때에는 현 지점에서 가장 가까운 매점에 간다고 한다. 공원의 가장자리에 새로운 매점 D를 사람이 가장 많이 오는 위치에 설치하려 한다. 이 때, 매점 D에 오는 사람들은 공원 안의 전체 사람의 몇 %인가? (단, 공원 안에는 사람들이 골고루 퍼져 있다고 가정한다.)

① $12$

② $18$

③ $21$

④ $25$

⑤ $30$

오른쪽 표는 식품 A $1$kg과 식품 B $1$kg에 들어 있는 단백질과 철분의 양을 나타낸 것이다.

	단백질(g)	철분(mg)
식품A	300	12
식품B	200	36

어떤 사람이 하루에 섭취해야 하는 영양소 중 단백질과 철분의 양은 각각 $100$g, $12$mg이라 한다. 식품 A는 $1$kg에 $2000$원, 식품 B는 $1$kg에 $2500$원일 때, 이 사람이 식품 A와 식품 B만으로 하루에 필요한 단백질과 철분을 섭취하는데 드는 최소비용은?

① $1000$원

② $1200$원

③ $1250$원

④ $1500$원

⑤ $2000$원

어떤 컴퓨터는 작업 중에 여러 개의 작업명령이 들어오면 현재 작업이 끝난 후 순서에 관계없이 처리 시간이 짧은 작업을 먼저 처리한다. 예를 들면, 현재 어떤 작업을 하고 있는 동안 처리시간이 $5$분인 작업명령이 들어온 후 다시 처리시간이 $2$분인 작업명령이 들어온다면, 현재 작업이 끝난 다음 처리시간이 $2$분인 작업을 먼저 처리한다. 이와 같은 컴퓨터가 아래 표와 같은 작업을 A부터 시작할 때, 작업처리 순서는? (단, 이 컴퓨터는 한 순간에 하나의 작업명령만 처리한다.)

작업명	작업명령시각	처리시간(분)
A	10시 00분	5
B	10시 03분	6
C	10시 04분	1
D	10시 07분	7
E	10시 10분	3

① A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ E

② A $\to$ C $\to$ B $\to$ E $\to$ D

③ A $\to$ C $\to$ B $\to$ D $\to$ E

④ A $\to$ C $\to$ D $\to$ B $\to$ E

⑤ A $\to$ E $\to$ C $\to$ B $\to$ D

좌표평면에서 두 점 $A(7, 2)$, $B(3, 5)$ 사이의 거리를 구하시오.

좌표평면에서 한 점 $A(-1, 3)$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 후 다시 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하였더니 점 $A$와 일치하였다. 이 때, $ab$의 값을 구하시오.

일차함수 $f (x)=ax+b$에 대하여 $$f (-1)=3,\,\,\,\,\,\,\,\,f^{-1} (15)=2$$ 가 성립할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수이고 $f^{-1}$는 $f$의 역함수이다.)

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2} -2ax+15-2a^{2} =0$이 두 실근 $\alpha$, $\beta $를 가질 때, $\alpha^{2} + \beta^{2}$의 최소값을 구하시오. (단, $a$는 실수이다.)

농구에서 슛이 성공하였을 때의 점수는 $1$점, $2$점, $3$점 $3$가지가 있다. 슛의 성공 횟수와 총 득점이 정해졌을 때, 득점 방법의 수는 여러 가지가 있다.
예를 들어, 5번 슛을 성공하여 $11$점을 얻었다면 이 점수를 얻을 수 있는 득점 방법의 수는
  $11(점)=3 \times 3(점)+2 \times 1(점)$
  $11(점)=2 \times 3(점)+2 \times 2(점)+1 \times 1(점)$
  $11(점)=1 \times 3(점)+4 \times 2(점)$
와 같이 $3$가지가 있다.
$25$번 슛을 성공하여 $51$점을 얻었을 때, 이 점수를 얻을 수 있는 득점 방법의 수를 구하시오. (단, 슛의 성공 순서는 생각하지 않는다.)

좌표평면 위에 세 점 $O(0, 0)$, $A(2, 2)$, $B(3, 0)$이 있다. 선분 $OB$ 위의 점 $C$와 선분 $AC$ 위의 점 $D$에 대하여 $4$개의 삼각형 $OAD$, $OCD$, $ABD$, $BCD$의 넓이가 모두 같을 때, 점 $D$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.